Определения
Речь идёт только о прямоугольном треугольнике — том, у которого один угол равен 90°.
- Катеты — две стороны, которые образуют прямой угол. Их всегда две.
- Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Она всегда одна и всегда самая длинная сторона треугольника.
В треугольниках с другими углами слов «катет» и «гипотенуза» не используют — там просто стороны.
Как не перепутать
| Признак | Катет | Гипотенуза |
|---|---|---|
| Сколько сторон | Две | Одна |
| Отношение к прямому углу | Образуют его | Лежит напротив него |
| Длина | Короче гипотенузы | Самая длинная сторона |
| Обозначение | Обычно a и b | Обычно c |
Практический приём: найдите прямой угол (он отмечен квадратиком), мысленно поставьте палец в его вершину — две стороны, которые от него отходят, и есть катеты. Оставшаяся сторона — гипотенуза.
Происхождение слов
Оба термина пришли из греческого. «Гипотенуза» буквально означает «натянутая под чем-то» — так называли натянутую тетиву. «Катет» означает «опущенный, отвесный» — отсюда же слово «катет» в значении перпендикуляра. Эта этимология помогает запомнить: катет «стоит отвесно», гипотенуза «натянута наискось».
Теорема Пифагора
Главная формула, связывающая стороны:
c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты.
Словами: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Из неё получаются рабочие формулы:
- гипотенуза: c = √(a² + b²);
- катет: a = √(c² − b²).
Примеры расчётов
1. Катеты 3 и 4. Гипотенуза: √(9 + 16) = √25 = 5.
2. Катеты 6 и 8. Гипотенуза: √(36 + 64) = √100 = 10.
3. Гипотенуза 13, катет 5. Второй катет: √(169 − 25) = √144 = 12.
4. Катеты по 1. Гипотенуза: √2 ≈ 1,41 — иррациональное число, точный ответ оставляют в виде корня.
Пифагоровы тройки — стоит запомнить
| Катет | Катет | Гипотенуза |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Любая тройка, умноженная на одно и то же число, тоже подходит: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26. На контрольных это экономит время.
Свойства катетов, которые спрашивают
- Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
- Если катет равен половине гипотенузы, то угол напротив него равен 30°.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Площадь прямоугольного треугольника считается через катеты: S = (a × b) : 2.
Как связаны с синусом и косинусом
В 8–9 классе появляются отношения сторон:
- синус острого угла = противолежащий катет / гипотенуза;
- косинус острого угла = прилежащий катет / гипотенуза;
- тангенс = противолежащий катет / прилежащий катет.
Поэтому важно с самого начала научиться уверенно называть, какой катет «противолежащий», а какой «прилежащий» для конкретного угла.
Задачи из практики
- Лестница у стены. Лестница 5 м, низ отстоит от стены на 3 м. Высота на стене: √(25 − 9) = 4 м.
- Экран телевизора. Диагональ — это гипотенуза; зная стороны 96 см и 54 см, получаем ≈ 110 см.
- Путь по диагонали. Двор 30 м × 40 м; напрямик — 50 м вместо 70 м по краю.
- Проверка прямого угла. Строители отмеряют 3, 4 и 5 единиц: если сходится, угол прямой.
Обратная теорема
Если для сторон треугольника выполняется c² = a² + b², то треугольник прямоугольный, а сторона c — гипотенуза. Так проверяют, например, треугольник со сторонами 9, 12, 15: 81 + 144 = 225 = 15². Значит, угол между сторонами 9 и 12 прямой.
Частые ошибки
- Называют гипотенузой самую длинную сторону в непрямоугольном треугольнике — термин там неприменим.
- Складывают стороны без возведения в квадрат: 3 + 4 ≠ 5 по смыслу теоремы.
- Ищут катет по формуле сложения вместо вычитания: c² − b², а не c² + b².
- Забывают извлечь корень и записывают в ответ квадрат.
- Путают противолежащий и прилежащий катет при расчёте синуса.
Частые вопросы
Сколько катетов у треугольника? Два, и только у прямоугольного.
Может ли катет быть равен гипотенузе? Нет: гипотенуза всегда строго длиннее любого катета.
Как обозначаются стороны? Обычно катеты — a и b, гипотенуза — c; в учебниках Атанасяна встречается и буквенное обозначение по вершинам.
В каком классе изучают? Понятия вводят в 7 классе, теорему Пифагора — в 8 классе.