Олимпиада по астрономии 9 класс — региональный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Региональный этап Условия, решения и схема оценивания. 9 класс

Содержание 9.1. Суточное движение звезд над горизонтом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9.2. Рассеянное скопление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9.3. Далекие перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9.4. Рыбак рыбака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9.5. Два спутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 9.6. Галактический пролет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 1 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

9.1. Суточное движение звезд над горизонтом Ю. П. Филиппов

В некоторой точке 𝑂 поверхности Земли наблюдаются две звезды: 𝐴 и 𝐵 . Звезда 𝐴 взошла в 22h 30m местного среднего солнечного времени в 30∘ к северу от точки востока, а звезда 𝐵 зашла за горизонт в 04h 10m по тому же времени в 10∘ к югу от точки запада. Известно, что для наблюдателя, расположенного в точке 𝑂, Полярная звезда оказывается на горизонте каждые 11h 58m . Определите: A) широту точки 𝑂; B) склонения звезд 𝐴 и 𝐵 ; C) разность их прямых восхождений (с точностью до минуты); D) отношение угловых скоростей (до сотых долей) видимого перемещения звезд по небосводу с позиции наблюдателя. Атмосферной рефракцией следует пренебречь.

Решение. Определим широту точки 𝑂. Заметим, что промежуток времени 𝜏 = 11 58 – это 1/2 звездных суток Земли (1 балл). Через указанный промежуток времени Полярная звезда h

должна располагаться в диаметрально противоположных точках своей суточной параллели. Значит, для наблюдателя в точке 𝑂 горизонт рассекает ровно по диаметру ее суточную параллель, в центре которой должен располагаться Северный полюс мира. Следовательно, последний также лежит на горизонте ( ) и его высота равна нулю. Таким образом, ), – астрономическая широта места наблюдения также равна нулю, т. е. 𝜙𝑂 = 0∘ ( точка наблюдения 𝑂 располагалась на земном экваторе.

1 балл

1 балл

Для наблюдателя, расположенного на земном экваторе, ось мира лежит в плоскости математического горизонта (см. рис. 1), а плоскости небесного экватора и суточных параллелей всех звезд перпендикулярны плоскости математического горизонта ( ). При этом небесный экватор совпадает с первым вертикалом, проходящим через точки востока (𝐸 ) и запада (𝑊 ), а круги склонений светил, расположенных в данный момент на горизонте, совпадают с математическим горизонтом в тот же момент ( ). Значит, склонение звезды 𝐴 будет равно

1 балл

1 балл

Рис. 1: К определению склонения звезд. XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 2 из 18

9 класс

Региональный этап

15 января 2025 г.

˘ 𝐴 = +30∘ ( угловому расстоянию от точки востока до точки ее восхода, т. е. 𝛿𝐴 = 𝐸𝑅 Аналогично рассуждая, получаем 𝛿𝐵 = −𝑊˘𝑆 𝐵 = −10∘ (

1 балл).

1 балл).

На экваторе все звезды находятся над горизонтом время 𝜏 . Значит, в момент восхода звезды 𝐵 (𝐵) над горизонтом время равно 𝑇В = 4h 10m + 24h − 𝜏 = 16h 12m ( ). Далее воспользуемся универсальной формулой связи местного звездного времени (𝑠), часового угла светила (𝑡* ) и его прямого восхождения (𝛼* ) ( ):

1 балл

1 балл

(1)

𝑠 = 𝛼* + 𝑡* , ⇒ 𝛼* = 𝑠 − 𝑡* . Тогда разность прямых восхождений звезд будет (

1+1 балл)

∆𝛼 = 𝛼𝐴 − 𝛼𝐵 = (𝑠𝐴 − 𝑡В ) − (𝑠𝐵 − 𝑡В ) = (𝑠𝐴 − 𝑠𝐵 ) = 𝑘(𝑇В − 𝑇В ) = 6h 19m , (𝐴)

(𝐵)

(2)

здесь учтено, что часовые углы точек восхода звезд 𝐴 и 𝐵 одинаковы; 𝑘 = 1.002739 – коэффициент перевода интервала среднего солнечного времени в интервал звездного времени (по сути равный отношению количества звездных секунд (86400) в одних звездных сутках (𝐴) к количеству средних солнечных секунд (86164) в одних сутках); 𝑇В = 22h 30m . Для получения этого результата можно воспользоваться немного другой последовательностью рассуждений. Звезда 𝐵 заходит на 5h 40m позже восхода звезды 𝐴 ( ). За сутки h солнечное и звездное время расходятся примерно на 4 минуты. Значит, за 5 40m разница между звездным и солнечным временем увеличится чуть менее чем на минуту ( ). h m Между восходом звезды 𝐴 и заходом звезды 𝐵 проходит, таким образом, 5 41 (звездное время течет быстрее) ( ). Тогда разность прямых восхождений этих звезд равна h h m h m ∆𝛼 = 12 − 5 41 = 6 19 ( ).

1 балл

1 балл

1 балл 1 балл

Угловая скорость видимого перемещения светила по небосводу может быть определена как отношение малого угла ∆𝜉 , на который изменяет свое положение светило на небосводе относительно наблюдателя, расположенного в центре небесной сферы, в результате суточного вращения, к промежутку времени ∆𝑡, за который это изменение произошло ( ):

1 балл

𝜔vis =

∆𝜉 . ∆𝑡

(3)

Рис. 2: К определению угловой скорости видимого перемещения звезды по небосводу. XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 3 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

1 балл

Согласно рис. 2 угол ∆𝜉 можно представить в виде: ∆𝜉 = ℓ/𝑅 ( ), здесь ℓ – малая часть дуги суточной параллели звезды, которую проходит звезда за время ∆𝑡 (в силу малости дуги ℓ, последняя здесь рассматривается как дуга большого круга радиуса 𝑅, где 𝑅 – радиус небесной сферы). С другой стороны, эту дугу можно представить в виде: ℓ = 𝑟 ∆𝜓 ( ), где 𝑟 – радиус суточной параллели звезды, а ∆𝜓 = 𝜔⊕ ∆𝑡 – угол, на который повернулось светило относительно центра своей суточной параллели (𝑂𝑠 ) за время ∆𝑡, 𝜔⊕ – угловая скорость суточного вращения Земли. Заметим, что из треугольника ∆𝑂𝑂𝑆 𝑆𝑆 следует, что cos 𝛿𝐴 = 𝑟/𝑅. Из двух последних результатов следует, что ( )

1 балл

1 балл

(4)

𝜔vis = 𝜔⊕ cos 𝛿.

1 балл):

Тогда искомое отношение угловых скоростей будет ( (𝐴)

𝜔vis

= (𝐵)

𝜔vis

(𝐵)

cos 𝛿𝐴 cos 𝛿𝐵 𝜔 = = 0.88 , или vis = 1.14 . (𝐴) cos 𝛿𝐵 cos 𝛿𝐴 𝜔vis

Критерии оценивания.

16

К1.

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный. Определение астрономической широты места наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Использовано, что интервал 11ч 58м равен 1/2 звездных суток Земли . . . . . . . . . . . . . . 1 Обоснование положения Северного полюса мира на горизонте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определение широты точки 𝑂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Если широта определена правильно, но с неверным или не до конца верным обоснованием, или даже полностью без обоснования, ответы на остальные вопросы оцениваются в полной мере

К2. Определение склонений звезд 𝐴 и 𝐵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 При неверном определении широты задача определения склонений становится совершенно иной и оценивается не более чем 2 баллами при правильном решении.

К3.

Определено взаимное расположение горизонта и небесного экватора . . . . . . . . . . . . . . 1 Явно указано на отсчет склонения от точек востока и запада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определение значений склонения звезд 𝐴 и 𝐵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 1 Определение разности прямых восхождений звезд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . При неверном определении широты данная задача становится совершенно иной и оцени-

вается не более чем 2 баллами при правильном решении.

Вычислено время восхода звезды 𝐵 /время захода звезды 𝐴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Использована связь звездного времени и прямого восхождения светила . . . . . . . . . . . 1 Итоговая формула для ∆𝛼 + численное значение (6ч 19м ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 1 Если участник не учел, что солнечное и звездное время течет с разной скоростью, то оценка за этот этап не может превышать 2 баллов.

К4. Определение отношения угловых скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Представлена формула (3) для определения угловой скорости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Установлена связь между углом ∆𝜉 и дугой ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Представление дуги ℓ в терминах радиуса 𝑟𝐴 и угловой скорости 𝜔⊕ . . . . . . . . . . . . . . 1 Получена итоговая формула (4) для угловой скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Получено численное значение искомого отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 4 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

9.2. Рассеянное скопление Е. Н. Фадеев

В рассеянном скоплении невооруженным глазом видно всего 5 звезд, причем все они 5-ой видимой звездной величины. Глядя в телескоп с диаметром объектива 120 мм, можно увидеть еще некоторое количество звезд этого скопления, причем каждая из них видна как звезда 5𝑚 без телескопа, а от всех таких звезд приходит столько же света, как и от одной звезды 4𝑚 . Увеличение телескопа больше равнозрачкового. Сколько звезд входит в состав скопления, если в телескоп видно все звезды? Чему равна абсолютная звездная величина всего скопления, если расстояние до него равно 150 пк?

Решение. Диаметр хорошо приспособившегося к темноте зрачка около 𝛿 = 6 мм. Диаметр объектива телескопа в 120/6 = 20 раз больше. Поскольку число собранных фотонов зависит от площади входного зрачка (2 балла), значит, от звезды 5 приходит в 20 = 400 раз боль𝑚

ше квантов света. Иначе, количество собранной телескопом световой энергии также зависит от площади объектива и превосходит в 400 раз количество энергии, собираемой невооруженным глазом. В соответствии с формулой Погсона, звездная величина слабых звезд скопления составляет ( )

2 + 2 балла

𝑚 = 5𝑚 + 2.5 lg 202 = 5𝑚 + 5 lg 20 = 5𝑚 + 5𝑚 + 5 lg 2 ≈ 10𝑚 + 5 · 0.3 = 11.5𝑚 .

(5)

Для того, чтобы все слабые звезды светили как одна звезда 5𝑚 , необходимо, чтобы от них приходило в 202 = 400 раз больше фотонов, чем от одной ( ). От звезды 4𝑚 приходит в 100.4 ≈ 2.512 раз больше света, чем от звезды 5𝑚 . Следовательно, число слабых звезд скопления равно 400 · 2.512 ≈ 1005 ( ), а полное число звезд скопления равно 𝑁 = 1010 ( ).

2 балла

2 балла

1 балл

Пусть 𝑥 — освещенность, создаваемая звездой 5𝑚 . Тогда все скопление создает освещенность 5𝑥 + 2.512𝑥 = 7.512𝑥. Видимая звездная величина всего скопления равна ( )

2 балла

𝑚Σ = 5𝑚 − 2.5 lg

7.512𝑥 ≈ 2.8𝑚 . 𝑥

(6)

1+2 балла)

Тогда абсолютная звездная величина скопления (

𝑀 = 𝑚Σ + 5 − 5 lg 𝑙 = 2.8 + 5 − 5 lg 150 ≈ −3.1𝑚 .

(7)

Размер зрачка глаза в темноте у разных людей может колебаться от 4 до 8 мм. В решении использовался средний размер зрачка 6 мм. При иных значениях ответ на первый вопрос будет иным. Для удобства сведем эти значения в таблицу. Замечание 1.

𝛿 , мм 𝑚 𝑁

4 12.3 2266

5 11.9 1452

6 11.5 1010

7 11.2 743

8 10.9 570

Число звезд скопления можно найти другим способом. Освещенность от звезды 4 больше, чем от звезды 11.5𝑚 в 100.4(11.5−4) = 1000 раз. Значит скопление содержит 1000 + 5 звезд. Ответ отличается от приведенного выше, но противоречие только кажущееся. Надо учесть, что в формуле (5) мы округлили значение 𝑚. Возникает такой же эффект, как Замечание 2.

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 5 из 18

9 класс

Региональный этап

15 января 2025 г.

и при измерении больших расстояний маленькой линейкой: абсолютная погрешность растет. Если мы подставим неокругленное (или округленное до большего числа знаков) значение 𝑚, то получим правильный ответ 𝑁 = 1005 + 5 звезд. Поэтому ответ 1000 + 5 звезд является неправильным.

Критерии оценивания.

16

К1.

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный. Определена визуальная звездная величина звезд видимых только в телескоп. . . . . . . . . . Записана формула Погсона в любом из вариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Освещенность зависит от площади или квадрата диаметра входного зрачка . . . . . . 2 Правильное значение звездной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если в качестве диаметра зрачка выбирается величина не из диапазона [4; 8], то оценка уменьшается на 1 балл В случае ошибки на любом из предыдущих этапов вычисление звездной величины не оценивается

К2. Полное количество звезд в скоплении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Есть указание на суммирование освещенностей (света, энергии, фотонов). . . . . . . . .2 Определено количество звезд, видимых только в телескоп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Если допущена ошибка, описанная в замечании 2, оценка уменьшается на 1 балл

К3.

Полное количество звезд в скоплении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Абсолютная звездная величина скопления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Определена суммарная визуальная звездная величина всего скопления . . . . . . . . . . . 2

Если учтены не все звезды, оценка уменьшается на 1 балл

Зависимость освещенности от обратного квадрата расстояния (явно или косвенно)1 Правильное значение звездной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 В случае ошибки на любом из предыдущих этапов вычисление звездной величины не оценивается

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 6 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

9.3. Далекие перспективы А. Ф. Шишкина

В одном романе описано, что ученые создали в Солнечной системе искусственную планету Х со следующими характеристиками: 1) если с планеты Х зарисовать взаимное расположение Земли, Солнца и Х в данный момент и ровно через местный год, то картины совпадут; 2) каждый раз, когда с Земли наблюдается противостояние планеты Х, с планеты Х наблюдается противостояние одной и той же планеты Солнечной Системы. Насколько далеко от Солнца могла бы находиться планета Х? Орбиты всех планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости.

Решение. Поскольку планета X может наблюдаться с Земли в противостоянии, то можно сделать однозначный вывод, что она внешняя (1 балл), причем планета Солнечной Системы, о которой идет речь во втором вопросе, внешняя по отношению к планете Х (1 балл). Таким

образом, это может быть Марс, Юпитер, Сатурн, Уран или Нептун. Так как дальнейшие размышления будут для любой из этих планет аналогичными, будем называть ее планета СС и использовать индекс «с» в формулах. Из условия можно сделать вывод, что орбита планеты Х может располагаться между орбитами Земли и планеты СС. Также планета Х не может вращаться вокруг Солнца в противоположную относительно планеты СС сторону, поскольку в таком случае не будет выполняться второе условие. Действительно, поскольку планета Х внешняя, то ее сидерический период больше сидерического периода Земли. Предположим, что в некоторый момент с Земли наблюдалось одновременно противостояние планет СС и Х. Тогда следующее противостояние X состоится не ранее, чем через полгода, и не позже чем через год, тогда как синодический период планеты СС больше года ( ).

2 балла

Из первой части условия можно сделать вывод, что период обращения планеты Х (𝑇х ) в некоторое целое число раз 𝑛 больше сидерического периода Земли (𝑇з ). Поэтому ( ):

2 балла

𝑇х = 𝑛𝑇з .

(8)

Из второй части условия следует подобная связь между синодическими периодами систем «Земля —Планета Х» (𝑆зх ) и «Планета Х — Планета СС» (𝑆хс ) ( ):

2 балла

𝑆зх = 𝑘𝑆хс ,

(9)

где 𝑘 – целое положительное число. Запишем связь между синодическими и сидерическими периодами ( ): 1 1 1 1 1 1 = − ; = − . (10) 𝑆зх 𝑇з 𝑇х 𝑆хс 𝑇х 𝑇с Здесь 𝑇с — сидерический период рассматриваемой планеты СС. Подставив 𝑇х и 𝑆зх из уравнений (8) и (9), получим

3 балла

1 1 1 = − ; 𝑘𝑆хс 𝑇з 𝑛𝑇з

1 1 1 = − . 𝑆хс 𝑛𝑇з 𝑇с

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

(11)

стр. 7 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

Поделим второе уравнение на первое 𝑇 𝑘𝑆хс 𝑇з 𝑛𝑇з 𝑇с − 𝑛𝑇з 𝑇з 𝑇зс − 𝑛 = · = · . 𝑆хс 𝑛𝑇з − 𝑇з 𝑇с 𝑛𝑇з 𝑇с 𝑛 − 1

(12)

3 бал-

Период планеты СС в земных сидерических периодах обозначим как 𝑃с . Тогда ( ) 𝑃с − 𝑛 𝑘= ⩾ 1. 𝑃с (𝑛 − 1)

ла

(13)

Отсюда

2𝑃с . (14) 𝑃с + 1 При 𝑛 = 1 получаем 𝑃с = 1, то есть сидерический период планеты равен земному году, чего быть не может. При любом значении 𝑃с > 1 значение дроби в правой части остается меньше 2, а значит, других целых решений этого неравенства не существует ни для одной из внешних по отношению к Земле планет Солнечной Системы. 𝑛⩽

Итак, мы получили противоречие. Автор романа ошибся: ученые создать такую планету не могли. Поэтому она не могла находиться ни на каком расстоянии от Земли ( ).

2 балла

Критерии оценивания.

16

К1.

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный. Определение положения планеты X в солнечной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X — внешняя для Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 X — внутренняя для планеты Солнечной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Данные утверждения не обязательно должны быть сделаны явно. Они могут быть понятны из логики решения.

К2. Исследование прямого движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Верная связь между 𝑇x и 𝑇з . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если вместо произвольного натурального

𝑛 рассмотрен только один вариант, оценка

уменьшается на 1 балл.

Верная связь между 𝑆зx и 𝑆хс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если вместо произвольного натурального

𝑘 рассмотрен только один вариант, оценка

уменьшается на 1 балл.

К3. К4.

Верно записаны уравнения (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Условие, из которого можно сделать вывод об отсутствии подходящих орбит . . . . . 3 Вывод об отсутствии подходящих орбит для этого типа движения . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Рассмотрен вариант обратного движения X и сделан правильный вывод . . . . . . . . . . . . . . Окончательный ответ, что планета X не могла находиться в Солнечной системе . . . . . . Оценивается, только если верно рассмотрены и прямое, и обратное движения.

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

2 1

стр. 8 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

9.4. Рыбак рыбака Е. Н. Фадеев

Инопланетные астрономы, живущие на планете, обращающейся вокруг нормальной звезды, обнаружили, что некоторая желтая звезда (нам известная как Солнце) за местный год, равный 5 земным суткам, совершает на небе движение по эллипсу с величиной большой полуоси 7.7 · 10−3 угловой секунды относительно звезд фона. На звездной карте инопланетных астрономов отмечено положение исследуемой звезды. Учитывая, что свет от этой звезды достигает астрономов за 833 местных года, определите: A) Массу звезды, вокруг которой вращается планета астрономов в массах Солнца. B) Созвездие, в котором находится эта звезда для наблюдателей на Земле. C) Можно ли увидеть эту звезду с Земли невооруженным глазом? D) Как мы называем самую яркую звезду, расположенную на карте недалеко от Солнца?

К условию задачи 4

Решение. Определим расстояние от инопланетян до Солнца. Местный год в земного. Поэтому искомое расстояние составляет (2 балла) 𝑙=

5 833 ≈ 11.4 св. лет ≈ 3.5 пк. 365.25

5 раз короче 365.25

(15)

Смещение Солнца на небе инопланетян вызвано явлением параллакса. Под углом 𝜛 = 7.7 · 10−3 ′′ нам видно радиус орбиты планеты 𝑟. Тогда ( )

2 балла

𝑟 = 𝑙𝜛 = 3.5 · 7.7 · 10−3 ≈ 0.027 а. е.

(16)

Пусть 𝑀 — масса звезды инопланетян. В соответствии с обобщенным третьим законом Кеплера ( ) (︂ )︂3 (︂ )︂2 𝑀 𝑟 𝑃⊕ = , (17) 𝑀⊙ 𝑟⊕ 𝑃

2 балла

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 9 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

где 𝑟⊕ и 𝑃⊕ — радиус орбиты и период обращения Земли вокруг Солнца, а 𝑀⊙ — масса Солнца. Подставляя значения, получаем ( )

2 балла

𝑀 = 0.027

(︂

365.25 5

)︂2 ≈ 0.1𝑀⊙ .

(18)

1 балл

На карте мы видим Солнце среди звезд созвездия Скорпион ( ). Самая яркая звезда в этом созвездии называется Антарес ( ). Можно заметить, что Солнце располагается почти точно на эклиптике. Планету инопланетян нам нужно искать в противоположной части неба, то есть в созвездии Тельца ( ).

2 балла 2 балла

Масса звезды соответствует массе небольшого красного карлика. Ближайший к нам красный карлик Проксима Центавра невооруженным глазом не виден. Звезда инопланетян находится примерно втрое дальше, а значит, также не должна быть видна невооруженным глазом ( ).

3 балла

. Вывод о невидимости глазом звезды инопланетян сделан на основе общеизвестной информации. Это не единственный способ рассуждений. Приведем некоторые другие. Замечание

ˆ Типичный блеск ближайших к нам красных карликов 9–10m . Нами получена масса очень небольшого красного карлика, а значит, он точно не относится к ярким представителям своего класса и не будет видим глазом. ˆ Температуры красных карликов составляют около 3000 К. Поскольку светимость звезды пропорциональна четвертой степени температуры, звезда, размером с Солнце и такой температурой, светила бы в 16 раз слабее. Солнце с расстояния 10 пк видно как звезда 4.7m . Тогда с расстояния 3.5 пк оно было бы видно как звезда 4.7 − 5 + 5 lg 3.5 ≈ 2.4m , а в два раза более холодное Солнце имело бы звездную величину 2.4 + 2.5 lg 16 ≈ 5.4m . Такую звезду увидеть на темном небе можно, но надо учесть, что красные карлики меньше Солнца, а такие маломассивные, как в нашем случае, скорее ближе по размерам к Юпитеру. Отсюда делаем вывод о том, что блеск звезды слишком мал. ˆ Для звезд главной последовательности с массами не слишком сильно отличающими от солнечной известна зависимость масса-светимость: 𝐿 ∝ 𝑀 4 . Отсюда можно сделать вывод, что светимость звезды составляет около 0.0001 светимости Солнца. Тогда, рассуждая изложенным выше путем, получим, что блеск звезды составляет 12.4m . В действительности зависимость масса светимость для красных карликов менее крутая, но сути выводов это не меняет. На самом деле даже самый яркий красный карлик невооруженным глазом невиден, или виден далеко не каждым невооруженным глазом, поскольку его звездная величина 6.7m .

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 10 из 18

9 класс

Региональный этап

15 января 2025 г.

Критерии оценивания.

16

К1.

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный. Определение массы звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Определение расстояния от звезды до Солнца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Определение радиуса орбиты планеты инопланетян . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Правильная запись 3-го обобщенного закона Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Вычисление массы звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если масса определена не в нужных единицах, то оценка за последний пункт уменьшается на 1 балл В случае ошибки на любом из предыдущих этапов, последний этап не засчитывается

К2. Определение созвездия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Правильное отождествление созвездия на карте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Созвездие Тельца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Если вместо Тельца указано созвездие Овна, то за последний пункт ставится 1 балл при правильных рассуждениях

К3. Вывод невидимости звезды глазом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Если масса звезды определена с ошибкой, то вывод о видимости звезды глазом оценивается из полученного значения массы

К4. Антарес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 11 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

9.5. Два спутника Е. Н. Фадеев

Два спутника Земли — «Метеор» и «Облако» — движутся по круговым орбитам в перпендикулярных плоскостях. В некоторый момент времени «Метеор» пролетел над «Облаком». Спустя четверть оборота «Метеор» мог видеть «Облако» на краю диска Земли. Угловой диаметр Земли при наблюдении с «Облака» равен 𝛽 = 93°. A) На каком угловом расстоянии от края диска Земли будет видно «Облако» с «Метеора» через половину периода «Метеора» после пролета одного спутника над другим? B) Сколько полных оборотов совершит «Метеор», прежде чем, вернувшись в исходную точку, он не сможет увидеть «Облако»? Атмосферной рефракцией пренебречь.

Решение. На рисунке изобразим момент, когда «Метеор» видит «Облако» на краю диска Земли. Пусть 𝑅 = 6371 км — радиус Земли, а 𝑟M и 𝑟O — радиусы орбит «Метеора» и «Облака» соответственно. «Метеор»

𝛽 ′ /2

𝑟M 𝑅 Земля

𝛽/2

«Облако»

𝑟O

Рис. 4: К определению радиусов орбит спутников.

2 балла)

Из рисунка видно, что радиус орбиты «Облака» равен (

𝑟O =

𝑅 ≈ 8783 км. sin 𝛽2

(19)

Стоит отметить, что угол 𝛽/2 = 46.5° ≈ 0.8 рад довольно велик и замена синуса этого угла на сам этот угол в радианах неправомочна (замена справедлива, пока угол много меньше радиана) и приводит к значительной ошибке.

2 балла)

Радиус орбиты «Метеора» равен (

𝑟M = 𝑟O tg

𝛽 𝑅 = ≈ 9255 км. 2 cos 𝛽2

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

(20)

стр. 12 из 18

Региональный этап

9 класс

𝛽′ 2

«Метеор»

𝑟M

15 января 2025 г.

Центр Земли

𝛾 𝑟O

«Облако»

Рис. 5: Положение спутников после половины оборота «Метеора». Зная радиусы орбит спутников, можем найти отношение их периодов обращения с помощью 3-го закона Кеплера ( ):

1+1 балла

𝑃M = 𝑃O

(︂

𝑟M 𝑟O

)︂ 32

(︂ )︂ 3 𝛽 2 = tg ≈ 1.082. 2

(21)

Спустя половину оборота «Метеор» окажется в точке своей орбиты противоположной исходной. «Облако» к этому моменту пройдет половину своей орбиты и еще некоторый угол 𝛾 = (𝑃M /𝑃0 − 1) × 180° ≈ 15° ( ). Мы получили угол «Облако»–центр Земли–«Метеор», а для ответа на первый вопрос нам нужно знать угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли. Обозначим его как 𝛼. Его можно найти с помощью теоремы синусов, если знать расстояние между спутниками 𝑙. Это расстояние можно найти с помощью теоремы косинусов ( ): √︁ 2 2 + 𝑟M − 2𝑟O 𝑟M cos 𝛾 ≈ 2355 км. (22) 𝑙 = 𝑟O

1 балл

2 балла

Отсюда (

2 балла)

(︁ 𝑟

)︁ sin 𝛾 ≈ 71.2°.

(23) 𝑙 Видимый с «Метеора» угловой радиус Земли равен 𝛽 ′ /2 = 90° − 𝛽/2 = 43.5°. Тогда искомый угол между «Облаком» и краем диска Земли ( )

𝛼 = arcsin

1 балл

𝛿 = 𝛼 − 𝛽 ′ /2 = 27.7°.

(24)

В исходной точке «Облако» останется видимым с «Метеора», пока не обгонит его на угол больший 90°. После каждого витка он опережает «Метеор» на угол 2𝛾 . Разделив 90° на 2𝛾 , получаем чуть больше 3. Это означает, что «Метеор» не сможет увидеть «Облако» только после того, как вернется в точку А в четвертый раз ( ).

3 балла

Ответ на последний вопрос можно получить немного иначе. Выразим синодический период «Облака» для «Метеора» 𝑆 через периоды обращения этих спутников 𝑃O и 𝑃M :

𝑆=

𝑃O 𝑃M 𝑃M 𝑃O = ≈ 12.2𝑃M . 𝑃M − 𝑃O 𝑃M 1 − 𝑃𝑃O

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

(25) стр. 13 из 18

9 класс

Региональный этап

15 января 2025 г.

За синодический период «Облако» обгонит «Метеор» на один оборот. Значит, обгон на четверть оборота состоится за четверть синодического периода, то есть 3.1𝑃M . Мы снова пришли к тому же выводу.

Критерии оценивания.

16

К1.

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный. Определены радиусы орбит либо высоты спутников над поверхностью Земли . . . . . . . . . Правильный метод вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 В частности, если вместо синуса угла в формулах (19) и (20) используется сам угол, то этот балл не выставляется, но остальное решение оценивается полностью

Значение для «Облака» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Значение для «Метеора» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Вычисление обоих значений оценивается только если сам метод вычисления был верным

К2. Отношение периодов спутников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Запись 3 закона Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Вычисление отношения периодов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Засчитывается только при правильной формуле

К3. Определено угловое расстояние от «Облака» до края диска Земли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 К4.

Угол между спутниками при центре Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Линейное расстояние между спутниками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Расчет углового расстояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ответ на второй вопрос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Явно указаны 90 градусов или четверть оборота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Верно определено количество витков любым разумным способом . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

За каждый недостающий/лишний в ответе виток оценка за последний пункт снижается на 1 балл

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 14 из 18

9 класс

Региональный этап

15 января 2025 г.

9.6. Галактический пролет В. Б. Игнатьев

В плоскости Галактики вдали от тяготеющих тел двигаются две звезды 𝑆1 и 𝑆2 . Можно считать, что звезды двигаются равномерно и прямолинейно, гравитационным влиянием друг на друга можно пренебречь. Длина вектора скорости показывает расстояние, пройденное звездой за 10 000 лет. Определите следующие величины: A) Минимально возможное расстояние между двумя звездами в парсеках. B) Через какое время в прошлом или в будущем это произойдет? Ответ дайте в годах. C) Относительную скорость звезды 𝑆1 для наблюдателя из окрестностей звезды 𝑆2 в километрах в секунду. D) Собственное движение звезды 𝑆1 со звезды 𝑆2 в начальный момент времени и в момент минимального пролета, выраженное в угловых секундах в год. На рисунке изображен вид из северного полюса Галактики.

К условию задачи 6

Решение. Перейдем в систему отсчета одной из звезд. Поскольку нас спрашивают про звезду 𝑆1 со звезды 𝑆2 , то для решения задачи разумно перейти в систему отсчета 𝑆2 .

В этой системе отсчета найдем вектор относительной скорости звезды 𝑆1 . Для этого √ к концу вектора 𝑣1 приложим вектор −𝑣2 . Длина получившегося вектора равна 𝑣отн = 3 2 ( √ ), то есть за 10 000 лет звезда преодолела 3 2 пк. Тогда относительная скорость равна ( ) √ √ 2 · 3 пк 2 · 3 · 3.086 · 1013 км = = 416 км/с (26) 𝑣отн = 10 000 лет 10 000 · 3.15 · 107 c

ла

2 бал-

2+2 балла

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 15 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

Рис. 7: Определение относительной скорости и минимального расстояния Тем самым мы получили ответ на

третий вопрос задачи.

Обратим внимание, что звезда 𝑆1 сейчас удаляется от 𝑆2 . Значит, пролет на минимальном расстоянии был в прошлом ( ). Нарисуем штриховой линией путь звезды 𝑆1 в нашей системе отсчета. Перпендикуляр к этой штрихованной линии будет являться как раз минимальным расстоянием. Из чертежа видно, что минимальное расстояние составляет √ ). А время, когда было это событие, равно ( ) 𝑟min = 2 = 1.4 пк (

1 балл

2 балла

∆𝑡 =

3 балла

5 · 10 000 лет ≈ 16 700 лет назад. 3

(27)

Альтернативный вариант решения может быть следующим. Участник может составить уравнение движения каждой из звезд, найти зависимость расстояния от времени и искать время (при помощи производной или иным способом), при котором расстояние становится минимальным.

чет-

На этом заканчивается первая часть задачи, и мы переходим к более астрономическому вопросу. Трансверсальная (часто говорят тангенциальная) скорость звезды может быть вычислена с помощью формулы ( )

вертому

1 балл

𝜇′′ /год км/с, (28) 𝜋 ′′ где численный коэффициент 4.74 получается от деления значения одной астрономической единицы на число секунд в году, 𝜇 – собственное движение звезды (или угловая скорость), которое астрономы измеряют в угловых секундах в год. 𝑣𝜏 = 4.74

Сначала рассмотрим момент, когда звезда находилась на минимальном расстоянии. В этом случае относительная скорость равна трансверсальной ( ), а лучевая скорость равна

1 балл

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 16 из 18

Региональный этап

9 класс

нулю. Расстояние равно минимальному расстоянию лу (28), получим ( )

1 балл

𝜇𝑚𝑖𝑛 =

15 января 2025 г.

2 пк. Подставив значения в форму-

𝑣𝜏 416 𝑣𝜏 𝜋 ′′ √ = 62 ′′ /год. = = 4.74 4.74 · 𝑟 (пк) 4.74 · 2

(29)

Теперь перейдем к начальному моменту времени. Для этого случая рассмотрим два различных подхода, чтобы показать возможные решения участников. Вариант 1. В лоб. Обозначим угол между вектором ⃗𝑣отн и лучом зрения как 𝛾 . Тогда искомая тангенциальная скорость равна 𝑣𝜏 = 𝑣отн sin 𝛾 ( ). Обозначим положение звезды 𝑆1 на минимальном расстоянии от звезды 𝑆2 как 𝑆1(𝑚𝑖𝑛) . Треугольник △𝑆1 𝑆2 𝑆1(𝑚𝑖𝑛) прямоугольный, а угол при вершине 𝑆1 равен 𝛾 . Длины обоих катетов этого треугольника мы нашли ранее. Тогда расстояние между – гипотенузу треугольника – можно найти из теоремы Пифагора: √︁ звездами √ √ √ √ 𝑆1 𝑆2 = 𝑟0 = ( 2)2 + (5 2)2 = 52 = 2 13 пк ( ). К такому же ответу мы придем, если построим прямоугольный√треугольник √ с гипотенузой 𝑟0 и катетами,√проведенными по линиям сетки на рисунке: 𝑟0 = 42 + 62 = 52. Тогда sin 𝛾 = 𝑟𝑚𝑖𝑛 /𝑟0 = 1/ 26.

2 балла

2 балла

Рис. 8: Определение трансверсальной скорости

1 балл):

Подставим полученные значения в формулу для собственного движения (

𝜇0 =

𝑣𝜏 𝑣отн sin 𝛾 416 км/с 416 √ √ = √ ≈ 2.4′′ /год. = = 4.74 · 𝑟0 4.74 · 𝑟0 4.74 · 26 · 2 13 4.74 · 26 2

(30)

Вариант 2. С использованием прицельного параметра Минимальное расстояние 𝑟𝑚𝑖𝑛 иногда называют прицельным параметром. Как мы уже показали в первом варианте, можно записать: {︃ 𝑣𝜏 = 𝑣отн sin 𝛾 (31) 𝑟min = 𝑟0 sin 𝛾 XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 17 из 18

Региональный этап

9 класс

15 января 2025 г.

Отсюда, исключая sin 𝛾 , получаем

𝑣𝜏 𝑟min = 𝑣отн 𝑟0

Тогда

𝑣𝜏 𝑟min = 2 𝑣отн · 𝑟0 𝑟0

2 𝑣𝜏 𝑟min = 𝑣отн · 𝑟0 𝑟min · 𝑟02

(32)

2 𝑣отн 𝑟min 𝑣𝜏 = · 𝑟0 𝑟min 𝑟02

(33)

Подставляя в формулу (28) и учитывая выражение (29), получим

𝜇0 =

𝑣𝜏 𝑟2 2 = 𝜇𝑚𝑖𝑛 · min = 62 · = 2.4 ′′ /год. 2 4.74 · 𝑟0 𝑟0 52

(34)

Критерии оценивания.

20

К1.

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный. Определение минимального расстояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Построение вектора относительной скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Верный численный ответ в парсеках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если верный ответ дан не в парсеках, то вместо 2-х баллов ставится только 1 Этот пункт ставится только за верный ответ. В случае получения неверного ответа критерий 1 не оценивается, а все последующие пункты оцениваются в зависимости от численных значений в решении участника.

К2. Определение времени, когда было минимальное расстояние между звездами . . . . . . . . . . 4 К3.

Утверждение, что это было в прошлом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Определение величины ∆𝑡 c точностью до 500 лет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Определение относительной скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Построение вектора относительной скорости в терминах условия задачи оценивается в пер-

вом критерии

К4.

Определение относительной скорости в терминах условия задачи (пк/год). . . . . . . .2 Верный численный ответ в км/с . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Определение собственных движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Запись формулы для собственного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определение трансверсальной скорости для наименьшего расстояния . . . . . . . . . . . . . 1 Определение трансверсальной скорости в начальный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Определение взаимного расстояния в начальный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Определение собственного движения для наименьшего расстояния . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определение собственного движения в начальный момент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 18 из 18