Методические рекомендации ФИПИ по базовой математике: анализ ошибок ЕГЭ 2024

Текст документа

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, П.И. Самсонов, А.В. Семенов

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ

Москва, 2024

ЕГЭ по математике c 2015 г. проходит на базовом и профильном уровнях. Выбор уровня осуществляет участник экзамена в соответствии с дальнейшей траекторией продолжения образования. ЕГЭ по математике профильного уровня предназначен для планирующих продолжение образования в вузах по специальностям, для обучения на которых требуется повышенный уровень математической подготовки и при поступлении на которые учитывается результат по математике. В КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня проверяется соответствие подготовки экзаменуемых требованиям ФГОС углубленного уровня по математике с акцентом на овладение умениями применять полученные знания при решении задач из смежных областей, проводить доказательные рассуждения, применять знания на практике, а также на развитость логического мышления и сформированность умения работать с различной информацией. ЕГЭ по математике базового уровня предназначен для тех, кто не планирует поступать в вуз или планирует продолжение образования по специальностям, для обучения на которых не требуется повышенная математическая подготовка и экзамен по математике не учитывается при поступлении. В КИМ ЕГЭ по математике базового уровня проверяется требованиям ФГОС базового уровня по математике с акцентом на овладение умениями применять полученные знания на практике и применять математический аппарат в массовых гуманитарных профессиях, а также развитость логического мышления и сформированность умений работать с различной информацией. Информация о результатах ЕГЭ по математике в 2024 г. представлена по каждому из уровней. ЕГЭ 2024 г. по математике профильного уровня Вариант КИМ по математике профильного уровня состоял из двух частей и включал в себя 19 заданий, которые различались по содержанию, сложности и количеству заданий: – часть 1 содержала 12 заданий (задания 1–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби; – часть 2 содержала 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). Задания части 1 направлены на проверку готовности экзаменуемых к продолжению образования в вузах по массовым техническим, экономическим и IT-специальностям. Задания части 2 предназначены для проверки готовности экзаменуемых к продолжению образования в ведущих вузах по техническим, естественно-научным, математическим, экономическим, IT-специальностям и другим специальностям, где нужен высокий уровень владения математическими знаниями. Задания относятся к трем учебным курсам: «Алгебра и начала математического анализа» – 12 заданий; «Геометрия» – 5 заданий; «Вероятность и статистика» – 2 задания. Задания варианта КИМ ЕГЭ распределены по уровням сложности: – часть 1 содержала 7 заданий базового уровня (задания 1–4, 6–8) и 5 заданий повышенного уровня (задания 5, 9–12); – часть 2 содержала 5 заданий повышенного уровня (задания 13–17) и 2 задания высокого уровня сложности (задания 18, 19). Правильное выполнение каждого из заданий 1–12 оценивалось 1 баллом. Проверка выполнения заданий 13–19 проводилась экспертами на основе разработанной системы критериев оценивания. Полное правильное решение каждого из заданий 13, 15 и 16 оценивалось 2 баллами; каждого из заданий 14 и 17 – 3 баллами; каждого из заданий 18 и 19 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы – 32. 2

На выполнение экзаменационной работы отводилось 3 часа 55 минут (235 минут). Минимальный пороговый первичный балл ЕГЭ по математике профильного уровня – 5; минимальный пороговый тестовый балл – 27. В содержание КИМ 2024 г. по сравнению с моделью 2020–2023 гг. внесено изменение – добавлено задание с кратким ответом по теме «Векторы и координаты, скалярное произведение». Такое изменение позволило: – усилить акцент на межпредметные связи, в частности на связь математики с физикой и информатикой; – расширить возможности решения геометрических задач за счет осмысленного применения векторного метода; – способствовать преемственности обучения в высших учебных заведениях, поскольку образовательная программа по высшей математике для многих направлений подготовки содержит разделы, в основе успешного изучения которых лежит умение студентов младших курсов работать с векторами (векторная алгебра, аналитическая геометрия и т.д.). Максимальный первичный балл по сравнению с 2023 г. вырос на 1 балл. В остальном структура части 1 КИМ сохранилась: первый блок «Геометрия», второй блок «Вероятность и статистика», третий, наиболее объемный, блок «Алгебра и функции». Такая структура позволяет участнику экзамена эффективно распределить отведенное на работу время на решения заданий в тематических блоках. На рис. 1 представлены распределения первичных баллов ЕГЭ в 2022–2024 гг.

Рис. 1. Распределение первичных баллов ЕГЭ профильного уровня в 2022–2024 гг. 3

Характер распределения первичных баллов ЕГЭ в 2024 г. существенным образом не изменился. Распределение стало ближе к нормальному. Хорошо заметен рост долей будущих абитуриентов массовых технических вузов (тех, кому требуется не менее 60 баллов) и абитуриентов ведущих вузов (тех, кто получает высокие баллы). При этом сохраняется высокая дифференцирующая способность экзамена на участке высоких баллов, что очень важно для проведения отбора абитуриентов в ведущие вузы без использования дополнительных вступительных испытаний по математике. В 2024 г. около 5 % участников не преодолели минимальный балл (5 п.б. / 27 т.б.). По сравнению с двумя предыдущими годами доля участников экзамена с результатами от 0 до 40 тестовых баллов, то есть не набравших «вузовский порог» (39 тестовых баллов), значительно снизилась. Также произошло заметное повышение как доли, так и числа участников экзамена, набравших не менее 60 баллов (для этого в 2024 г., как и в 2023 г., требовалось набрать 11 первичных баллов, решив, например, 11 заданий части 1 КИМ). Это достигнуто в первую очередь за счет более успешного выполнения заданий по функциональной грамотности, по вероятности и статистике, заданий на работу с векторами – по разделам, которые особенно важны для дальнейшего образования в IT-сфере. Рост числа абитуриентов технических вузов – результат успешной работы учителей, в том числе, по реализации углубленных курсов математики, подкрепленный на завершающем этапе реализацией межведомственного проекта Рособрнадзора, Минпросвещения и Минобрнауки России по обеспечению учителей и школьников качественными бесплатными электронными материалами по подготовке к ЕГЭ по математике. Более 18 % участников ЕГЭ 2024 г. показали результаты в диапазоне 81–100 баллов. В 2024 г. закрепилась заметная положительная динамика результатов, наблюдаемая последние 10 лет (с коррекцией во время дистанционного обучения, связанного с пандемией ковида). Значительно выросла доля участников, верно решающих задачу по теории вероятностей базового уровня (с 20–25 % в 2015 г. до 92 % в 2024 г.), а доля решающих более сложную задачу на знание вероятностных формул и фактов составляет около 70 % (не больше 50 % в 2022 г.). Выросла доля участников, уверенно владеющих понятийным аппаратом школьного курса математического анализа. Задачи, проверяющие понимание свойств производной, в 2015 г. решили около 40 % участников, в 2024 г. задачи аналогичного уровня сложности и содержания – около 70 % участников; решаемость заданий на исследование функции выросла с 40 % до 80 %. Новую для ЕГЭ задачу на векторы успешно решили около 85 % участников профильного ЕГЭ. Выросла доля участников, уверенно решающих базовые задачи по стереометрии (отношение или сравнение площадей и объемов) – с 30–35 % в 2015 г. до 70–85 % в 2024 г. При этом пока сохраняется на низком уровне процент выполнения заданий по стереометрии в части 2 экзамена, а также заданий по началам математического анализа, связанных с нахождением наибольших значений с использованием производных, и заданий с параметром. В результатах участников ЕГЭ наблюдается высокий уровень освоения метапредметных умений и навыков. Этому способствует содержание предлагаемых задач, необходимость работать с информацией, представленной различными способами: текстом, графиками, схемами, таблицами. Для части заданий участники экзамена самостоятельно преобразовывают условие задачи и показывают взаимосвязь между заданными величинами в удобных для них схемах, таблицах. Задания по теории вероятностей и с экономическими моделями допускают решение в виде дерева анализа возможных вариантов, чем школьники успешно пользуются. В заданиях на числовые зависимости участники экзамена и профильного, и базового уровней показывают навыки исследовательской деятельности 4

и общеучебные умения информационно–логического характера. Структура экзамена позволяет ученику видеть задания сразу в блоках соответствующих разделов школьного курса математики, что положительно отражается на оценке учеником трудности предлагаемых заданий и на установлении им последовательности решения задач экзаменационного варианта и алгоритма решения этих задач. Проверяемые элементы содержания, изучаемые в учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа», традиционно осваиваются лучше, чем элементы курса «Геометрия». На профильном уровне участники в целом продемонстрировали приемлемую технику преобразований и вычислений при решении уравнений. Тем не менее вычислительные ошибки по-прежнему остаются основной причиной неверного выполнения заданий: при правильных рассуждениях и разумном алгоритме решения они часто получают неверный ответ за счет ошибок в решении простейших уравнений и при выполнении арифметических действий. Изучение геометрии намного хуже алгоритмизируется, чем изучение алгебры: количество геометрических конфигураций, возникающих даже в несложных задачах с двумятремя объектами, велико. У школьников создается ложное представление о том, что геометрия «необозрима» и потому намного сложнее алгебры. К сожалению, эта убежденность часто подпитывается учителями, которые полагают, что изучать алгебру легче и продуктивнее, поскольку алгебраических заданий на экзамене больше, чем геометрических. При этом в экзамене профильного уровня определенный рост акцента на важные для инженерных специальностей геометрические задания способствовал началу роста геометрической подготовки выпускников. К сожалению, непреодоленной остается главная и серьезная проблема: «перекос» в математической подготовке школьников в сторону решения большого количества тренировочных работ по специализированным сборникам или вариантам прошлых лет. Давая своим ученикам клонированные варианты один за другим, учитель добивается, как ему кажется, безусловного и безукоризненного выполнения работ почти всеми учащимися класса. У него создается ложное мнение, что школьники готовы к сдаче ЕГЭ, и похожее впечатление возникает у самих школьников и их родителей. Полноценно подготовиться к экзамену можно, лишь изучая математику во всем разнообразии ее методов; необходимо уделять должное внимание развитию логики и математической речи, в том числе устной, умению выражать мысли на бумаге доходчиво, просто и доказательно. В этом могут помочь открытый банк ФИПИ, сборники задач и вариантов, если их использовать как источник идей и для проверки собственных достижений, но не как коллекцию репетиционных материалов. Ниже рассмотрены результаты выполнения типичных заданий профильного ЕГЭ по математике в 2024 г. с указанием вероятных причин низкой результативности ряда заданий. В таблице 1 приведены результаты выполнения заданий профильного ЕГЭ по темам. Таблица 1 Код темы 7.1 7.5 7.3; 7.4 6.2 6.2 2.2; 2.4

Название темы Фигуры на плоскости Координаты и векторы Многогранники. Тела и поверхности вращения Вероятность Вероятность Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения

№в КИМ 1 2 3 4 5 6

Уровень Б Б Б Б П Б

Ср. % вып. 82 85 70 93 73 97

Код темы 1.5; 1.6; 1.8

4.1; 4.2

2.1; 2.2 2.1 3.3; 3.5

4.1; 4.2

2.3 7.1; 7.2; 7.3 2.5; 2.7 1.1; 1.2

7.1 2.9; 2.5; 2.10 1.1; 1.2

Название темы Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента. Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы. Преобразование выражений Производная функции. Производные элементарных функций. Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке Целые и дробно-рациональные уравнения. Иррациональные уравнения Целые и дробно-рациональные уравнения Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени. Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики Производная функции. Производные элементарных функций. Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке Тригонометрические уравнения Фигуры на плоскости. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники Целые и дробно-рациональные неравенства. Показательные и логарифмические неравенства Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел. Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби Фигуры на плоскости Системы и совокупности уравнений и неравенств. Целые и дробно-рациональные неравенства. Уравнения, неравенства и системы с параметрами Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел. Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

№в КИМ 7

Уровень Б

Ср. % вып. 59

Для анализа выполнения заданий КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня использованы иллюстрации с заданиями вариантов 2024 г. Каждое из использованных для анализа заданий выполняли не менее 8000 участников экзамена из разных регионов.

Раздел «Геометрия» Задания 1, 2 и 3 с кратким ответом базового уровня. Задание 1 – геометрическая задача на нахождение геометрических величин. Пример 1 Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O . Угол ACB равен 59. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Пример 2 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103, угол CAD равен 42. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

B C A

Комментарий. Задание верно выполнили больше 80 % участников экзамена. Большую помощь в решении задачи оказал участникам экзамена приведенный в условии чертеж заданной геометрической конфигурации. Основные ошибки заключались в неверном установлении для вписанного угла соответствующего ему центрального и применении свойств вписанного в окружность четырехугольника. Следует отметить, что практика решения планиметрических задач на готовых чертежах является широко распространенной и при проведении занятий итогового повторения ею не следует пренебрегать. Задание 2 – геометрическая задача на нахождение длины вектора или скалярного произведения векторов. Пример 1

Даны векторы a  2; 0  и b 1; 4  . Найдите длину вектора a  3b. Пример 2

Даны векторы a  5; 3  и b  4; 6 . Найдите скалярное произведение a  b.

Пример 3 На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a  b.

Пример 4 На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a  b.

Комментарий. Задание верно выполнили больше 80 % участников экзамена. В ЕГЭ 2024 г. такое задание было включено впервые, и оно базируется на применении основных свойств векторов и координат. Основные ошибки были связанны с неверным применением формулы скалярного произведения векторов. Задание 3 – геометрическая задача на нахождение геометрических величин. Пример 1 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A1 D, A, B , C , прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB  3, AD  9, AA1  4.

Пример 2 Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Комментарий. Задание верно выполнили больше 70 % участников экзамена. Для успешного решения таких задач необходимы элементарное пространственное воображение и правильность вычисления соответствующих величин, когда заданное тело разбито на несколько частей. Раздел «Вероятность и статистика». Задание 4 с кратким ответом базового уровня и задание 5 с кратким ответом повышенного уровня. Задание 4 – задача по теории вероятностей на прямое вычисление вероятности. Пример 1 Фабрика выпускает сумки. В среднем 4 сумки из 50 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытого дефекта. Пример 2 В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? Задание 5 – задача по теории вероятностей повышенного уровня. Пример 1 Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Пример 2 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние. Комментарий. Задание 4 верно выполнили больше 90 %, задание 5 верно выполнили больше 70 % участников экзамена, что говорит о успешном овладении выпускниками умениями анализа простейших вероятностных моделей, готовности школы к реализации обновленного ФГОС, предусматривающего систематическое изучение вероятности и статистики в рамках специально выделенного часа в учебном плане с 7 по 11 класс. Типичные ошибки при выполнении этих заданий связанны с неумением анализировать вероятностную модель и формальным заучиванием правил для вычислений по формулам. 9

Раздел «Алгебра и начала математического анализа» Задание 6 проверяет умение решать уравнения. Пример 1 Найдите корень уравнения

x  6  4.

Пример 2 Найдите корень уравнения

44  5 x  3.

Комментарий. Задание верно выполнили больше 95 % участников экзамена. Необходимо обратить внимание на важность выполнения проверки найденного корня уравнения. Этот этап решения такого задания является страховкой от ошибки при решении задания. Задание 7 – нахождение значения тригонометрического выражения. Пример 1 Найдите значение выражения 3cos 2α, если sin α  0,2. Пример 2 Найдите значение выражения 3sin

13π 13π  cos . 12 12

Комментарий. Задание верно выполнили около 60 % участников экзамена. Основные ошибки в решении таких заданий связаны с прямолинейным вычислением значения тригонометрического выражения без предварительного преобразования к более простому выражению. Сочетание излишних вычислений и громоздкость проводимых преобразований не позволили многим участникам экзамена получить правильное значение. Задание 8 – поиск точек экстремума функции по изображению графика производной этой функции. Пример 1 На рисунке изображён график y  f '  x  — производной функции f  x  , определённой на интервале

  12;12 .

Найдите

количество

точек

максимума

функции

принадлежащих отрезку   6;11.

f  x ,

y = f ’(x) 1 – 12

12 x

Пример 2 На рисунке изображён график y  f '  x  — производной функции f  x  , определённой на

  20; 4 .

интервале

Найдите

количество

точек

экстремума

функции

принадлежащих отрезку   16;1.

f  x ,

y y = f ’(x)

1 – 20

Комментарий. Задание верно выполнили больше 60 % участников экзамена. Достигнутый уровень выполнения задания не полностью соответствует стоящим перед школой задачам по подготовке абитуриентов массовых технических вузов. Следует обратить внимание на более активное использование в ходе изучения курса «Алгебра и начала математического анализа» наглядных сюжетов, позволяющих достичь понимания обучающимися сути понятия производной функции, анализу графиков функций, не сводя курс к рутинному вычислению по формулам. Задание 9 – вычисление по формуле. Пример 1 Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана – Больцмана, согласно

которому

σ  5,7  10

P  σ S T , где P

мощность

излучения

звезды

Вт),

2 Вт — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в м ), а T — 4 м К 2

температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 26 22 2 1  10 м , а мощность её излучения равна 5,7  10 Вт. Найдите температуру этой 2401

звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Пример 2 Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v 0  90 км/ч , выезжает из него и сразу 2

после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a  16 км/ч . Расстояние (в км) 2

at , где t — время в часах, от мотоциклиста до города вычисляется по формуле S  v 0t  2 прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах. 11

Комментарий. Задание верно выполнили около 70 % участников экзамена. Основные сложности связаны с выполнением алгебраических преобразований и вычислениями. Необходимо уделить особое внимание вопросам вычислительной культуры обучающихся, развитию у них приемов и подходов, направленных на упрощение вычислений. Задание показывает готовность выпускников к продолжению образования в массовых технических вузах. Задании 10 – текстовая задача на работу. Пример 1 Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно? Пример 2 Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля? Комментарий. Задание верно выполнили больше 75 % участников экзамена. Типичные ошибки связаны с неумением составить математическую модель, доля вычислительных ошибок невысока. Задание 11 – выполнение действий с функциями. Пример 1 На рисунке изображён график функции вида f  x  

k . Найдите значение f  30  . x

Пример 2 На рисунке изображён график функции вида f  x   a . Найдите значение f  5  . x

Комментарий. Задание верно выполнили больше 85 % участников экзамена. Задание такого типа было впервые включено в ЕГЭ по математике в 2022 г. Результат выполнения данного задания говорит о сформированности у обучающихся умений работать с графиками элементарных функций, характеризовать поведение функций, использовать полученные знания для описания и анализа реальных зависимостей. Следует уделять, как отмечено выше, больше внимания работе с функциями, их графиками. Задание 12 – задача на нахождение точек экстремума функции с использованием производной. Пример 1 Найдите точку максимума функции y  9  ln  x  4   9 x  7. Пример 2 2

Найдите точку максимума функции y  3,5 x  29 x  30  ln x  67. Комментарий. Задание верно выполнили 70 % участников экзамена. Для нахождения точки максимума функции необходимо было верно найти производную функции, решить соответствующее уравнение и определить нужную точку. Основные ошибки связаны с тем, что участники экзамена не следовали стандартному алгоритму, а пытались сократить количество выполняемых действий для получения нужного значения, в результате чего допускалась ошибка и в ответ включалось неверное значение точки максимума. Задание 13 – уравнение с отбором корней, принадлежащих промежутку. Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 2. Пример 1 а) Решите уравнение cos 2 x 

2 sin  x     1  0.

 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  

7π ;  2π  .  2 13

Пример 2 2

а) Решите уравнение 2cos x  3sin( x  )  3  0.

 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 ; 

7π  . 2 

Комментарий. Задание верно выполнили 47 % участников экзамена. Основные ошибки, допущенные в решении этого задания, связаны с неверным применением тригонометрических формул, в частности формул приведения (или формул сложения), а также с неверным решением простейших тригонометрических уравнений. Следует отметить важность развития в курсе математики не только умения находить верный ответ, но и умения полно, обоснованно записывать решение задачи. К сожалению, в данной задаче заметное число участников экзамена пропускает шаги в решении и обосновании, иногда просто приводя ответ, который им кажется очевидным, из рисунка, что зачастую приводит к ошибке в ответе, или при верном ответе к неполучению балла из-за отсутствия обоснованного решения. При этом путь решения может быть любым, математически корректным и обоснованным, содержащим все ключевые элементы решения, например, пункт б можно выполнить при помощи как окружности, так и прямой или неравенств. Задание 14 – геометрическая задача (стереометрия). Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 3. Пример 1 В правильном тетраэдре точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость  перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K . а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD . б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью  , если известно, что

BK  1, KC  3.

Пример 2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK : KC  3:1, а AB  2 и SO  14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD . Комментарий. Задание полностью верно выполнили чуть меньше 5 % участников экзамена. Основные сложности в выполнении этого задания и высокий процент не приступивших к выполнению этого задания связаны с фактическим игнорированием в значительном количестве школ формирования таких важных умений, как решать двух– четырёхходовые стереометрические задачи и проводить доказательства стереометрических утверждений. Большой разрыв в результатах правильного решения заданий по стереометрии частей 1 и 2 говорит о том, что на уроках преимущественно ограничиваются только решением простейших наглядных и вычислительных заданий, без развития столь необходимого для дальнейшего продолжения образования по современным инженерным специальностям умения проводить исследование стереометрической конструкции.

Следование ФГОС и федеральной образовательной программе приведет в двухтрёхлетней перспективе к существенному росту выполнения таких заданий. Наиболее трудными, как правило, являются логические построения, связанные с доказательством от противного. Отмечая важность развития умений выполнять такие задания для успешного продолжения образования не только по инженерным специальностям, но и по IT-специальностям, следует обратить внимание учителей на необходимость в курсе стереометрии формировать у учеников умение решать задачи различными методами, как геометрическими, так и аналитическими. Задание 15 – решение неравенства. Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 2. Пример 1 x

Решите неравенство

x 1

3  9 3  9 43  144   . x x x 3 9 3 9 9  81

Пример 2 x 1

Решите неравенство

8  40  1. x 2  64  32

Комментарий. Задание полностью верно выполнили около 30 % участников экзамена. Верное выполнение заданий данного типа требует развитых умений работы с алгебраическими выражениями, проведения равносильных преобразований, грамотного применения метода замены переменной. Как и в других заданиях с развернутым ответом, участник экзамена может привести любой, полный, математически корректный и обоснованный путь решения. К сожалению, некоторые учителя вместо развития навыков решения неравенств обучают учеников определенным шаблонным путям решения, ошибочно полагая, что только такие решения оцениваются как верные. Это приводит к тому, что заметное число участников экзамена пытается применять некорректные в конкретной задаче подходы к решению, влекущие ошибки в ответах, некорректность в решении, а в ряде случаев невозможность завершить решение задачи. Следует начинать повторение с простейших заданий на решение неравенств и, отработав базовые приемы, переходить к решению разнообразных заданий уровня ЕГЭ, в том числе заданий прошлых лет, опубликованных на сайте ФИПИ. При проверке решений школьников на уроке учителю следует проверять именно математическую корректность и обоснованность решения, а не только совпадение ответа или, напротив, совпадение решения с тем или иным «эталоном». Задание 16 – практико-ориентированная задача. Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 2. Пример 1 В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит? 15

Пример 2 В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1260 тыс. рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму платежей за пять лет. Комментарий. Задание полностью верно выполнили около 30 % участников экзамена. Задание имеет практико-ориентированный характер и позволяет участнику экзамена продемонстрировать умения анализировать условие задачи, составлять математическую модель и находить обоснованный ответ, используя изученные математические методы. К сожалению, ряд учителей вместо развития умения составлять математическую модель «натаскивает» учеников на конкретные алгоритмы решения заданий прошлых лет или даже начинает рассказывать элементы экономической теории. Следует отметить, что для успешного решения задачи все необходимые сведения приведены в ее условии, никаких дополнительных знаний не требуется. Ключевой причиной, по которой участник экзамена не приступает к решению задачи или неверно составляет математическую модель, является как раз попытка безуспешно применять буквально алгоритм решения задания прошлых лет. Важно отметить, что подавляющее большинство участников экзамена, нашедших путь решения, верно доводят его до конца, что свидетельствует о росте математической культуры выпускников. Задание 17 – геометрическая задача (планиметрия). Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 3. Пример 1 Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB  CD  3, BC  DE  4. а) Докажите, что AC  CE . б) Найдите длину диагонали BE , если AD  6. Пример 2 Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC . а) Докажите, что AC  9. б) Найдите площадь треугольника ABC , если ACB  90. Комментарий. Задание верно выполнили чуть меньше 10 % участников экзамена. Высокий уровень выполнения геометрических заданий части 1 экзамена создает хорошие предпосылки для роста выполнения геометрических заданий части 2. Однако, к сожалению, во многих школах все еще уделяется недостаточное внимание преподаванию геометрии на уровне основного общего образования, и если ликвидировать пробелы в решении задач базового уровня сложности и анализе простейших геометрических конструкций за время повторения реально, то сформировать культуру рассуждений и доказательств, необходимых для полноценного решения многоходовой задачи, крайне тяжело. Введение в рамках обновленного ФГОС углубленного курса геометрии в основной школе, обновление содержания курса геометрии, с акцентом на развитие геометрических представлений, геометрической интуиции, культуры рассуждений и доказательств создают хорошую основу для улучшения геометрической подготовки абитуриентов технических вузов и успешности выполнения данного задания. 16

Задание 18 – уравнение с параметром. Задание высокого уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 4. Пример 1

 y  x  a  4, 2 4 y  x  8x  0

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно четыре различных решения.

Пример 2 Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений

 x  y  a, имеет ровно два различных решения.  y  x4 Комментарий. Задание верно выполнили 5 % участников экзамена. Для решения этой задачи требуется систематическое формирование соответствующих умений начиная с основной школы. К сожалению, многие учителя не уделяют необходимого внимания изучению предусмотренного ФГОС углубленного уровня основной школы аналитического материала, связанного с простейшими функциями, что не позволяет создать необходимую базу для изучения соответствующего материала в старшей школе. Задание 19 – целочисленная арифметика, перебор вариантов, доказательство. Задание высокого уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 4. Пример 1 В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров? Пример 2 Над парами целых чисел проводится операция: из пары

 3a  b; 3b  a  .

 a; b  получается пара

а) Можно ли из какой-то пары получить пару  5; 5  ?

б) Верно ли, что если пара  c; d  может быть получена из какой-то пары с помощью

данной операции, то и пара  d ; c  тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел

 a; b  и  c; d  выражением a  c  b  d . Найдите наименьшее расстояние от пары  9; 2  до пары, полученной из

какой-то пары с помощью данной операции. 17

Комментарий. Задание полностью верно выполнили 15 % участников экзамена. Оно позволяет участнику экзамена продемонстрировать сформированность математической культуры, умение применять изученные методы в нестандартной ситуации решения задач, в которой главным является не преодоление технических сложностей, а поиск пути решения. Задача имеет исследовательский характер, требуя подчас проверки подтверждения или опровержения гипотез. Следует отметить ряд характерных недочетов, связанных с обоснованностью приведенного участником экзамена ответа. При ответе «Да» на вопросы с формулировками «Может ли?» и «Можно ли?» необходимо привести подтверждающий пример, удовлетворяющий условию задачи. Если ответ на эти вопросы «Нет», то участнику экзамена в решении необходимо показать противоречие или с условием задачи, или с общеизвестным математическим фактом. Частой ошибкой при ответе «Нет» является установление противоречия для какого-нибудь приведенного примера. Задача имеет очень высокий потенциал роста, для ее выполнения важны регулярное решение нетиповых заданий с акцентом на развитие мышления, логики, а не только на развитие технических навыков. Наиболее эффективно формировать такие навыки начиная с 5–6 классов. Первый пункт задачи имеет конструктивный характер, и его выполнение посильно многим участникам экзамена, поэтому последние годы задача стала приобретать популярность не только у наиболее сильной группы, но и у выпускников с недостаточной общей алгебраической подготовкой, но развитым логическим мышлением. Здесь важно, чтобы учитель верно сориентировал, показал на примерах, что первый пункт не требует специальных знаний – достаточно умения понять условие задачи, небольшой сообразительности и минимального терпения, чтобы обнаружить нужную математическую конструкцию. В старших классах и во время итогового повторения также необходимо использовать решения разнообразных по тематике несложных нетиповых задач, которые имеются в достаточном количестве в банке ФИПИ, открытых банков массовых олимпиад (в том числе школьного этапа ВсОШ), обновленных школьных учебников, позволяющих интегрировать основное и дополнительное образование. На ЕГЭ по математике профильного уровня участники продемонстрировали уверенные навыки решения уравнений и преобразований алгебраических выражений, выполнения вычислений и составления математических моделей, чтения графиков и исследования функций. Большинство участников экзамена успешно справилось с заданиями по вероятности и статистике, причем как базового, так и повышенного уровня. При этом количество неверных ответов в задачах базового уровня невелико, что говорит о снижении вычислительных ошибок, понимании числовых границ полученного ответа, проведении верного анализа условия, понимании алгоритма нахождения вероятности случайного события. Задачи, связанные с основами математического анализа, показывают уверенное владение участниками экзамена ключевыми понятиями: «функция», «экстремум функции», «наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке», «производная функции». В 2024 г. наблюдается рост успешности решения геометрических задач, в том числе задач по стереометрии базового и повышенного уровней. Во многом этому способствуют развитость у выпускников пространственного представления геометрических тел и предложенные в условии задачи готовые чертежи с заданными геометрическими фигурами. Участники экзамена успешно справились с впервые включенным в КИМ заданием на выполнение действий с векторами. Следует отметить и снижение количества неверных ответов в задачах по планиметрии базового уровня сложности, что говорит о преимущественно осознанном выборе экзамена ЕГЭ по математике профильного уровня.

В 2024 г. отмечается заметно более качественное, чем в прошлые годы, решение заданий повышенного и высокого уровней сложности. Участники экзамена: – успешно решали тригонометрические уравнения и выполняли отбор корней, принадлежащих указанному промежутку; – находили множество решений показательных неравенств; – уверенно анализировали условие и составляли математическую модель в задаче с экономическим содержанием. Следует отметить и положительную динамику в снижении количества вычислительных ошибок. У участников экзамена появилось понимание важности таких элементов решения, как выполнение проверки полученного корня уравнения, выявление ошибки оценкой порядка величины числа и реалистичности полученного результата. Задача по планиметрии повышенного уровня сложности с развернутым ответом в своем условии содержит два вопроса, один из которых – на доказательство, а другой – на вычисление значения заданной величины. При этом утверждение, предложенное для доказательства, может быть использовано в получении ответа на второй вопрос. Такая тактика продвижения в решении задачи участниками экзамена использовалась достаточно часто и свидетельствует о самостоятельности в поиске пути решения, хорошей геометрической эрудиции. Немаловажным условием успеха в решении таких задач играет предусмотренная на ЕГЭ возможность решить задачу разными способами, применять различные подходы и методы решения. Сохранилась положительная динамика в результативности решения первых пунктов задачи высокого уровня на анализ числовых зависимостей. Участники экзамена, применяя различные математические рассуждения, давали обоснованные ответы, демонстрируя высокий уровень математической культуры и логического мышления. Задачи высокого уровня сложности, для решения которых требуется применять несколько различных алгоритмов решения, проводить исследование заданной математической модели в зависимости от параметра, пока еще вызывают затруднения у участников экзамена. Однако наметилась тенденция к желанию у участников экзамена продвинуться в решении таких задач как можно дальше, получить промежуточный, но значимый результат. В таблице 2 показано распределение процентов выполнения заданий по группам первичных баллов ЕГЭ по математике профильного уровня. Таблица 2 Задание

Средний процент выполнения 82,4 84,9 69,9 92,8 72,6 97,1 59,0 61,2 68,5 75,5 84,7 69,6

Группа 1, 0–4 ПБ

Группа 2, 5–10 ПБ

Группа 3, 11–17 ПБ

Группа 4, 18–32 ПБ

Задание

Средний процент выполнения 47,0 4,0 27,3 28,8 8,6 5,2 15,4

Группа 1, 0–4 ПБ

Группа 2, 5–10 ПБ

Группа 3, 11–17 ПБ

Группа 4, 18–32 ПБ

Выделяется задание 19, которое на 1 балл выполняют около 7 % участников из группы 1 и около 11 % участников из группы 2. Похожие результаты выполнения этого задания наблюдались и в прошлые годы. Это говорит о том, что в этих группах есть участники, обладающие математической культурой, достаточно высокой для того, чтобы разобраться в тексте абстрактной математической задачи, экспериментировать с натуральными числами или целыми последовательностями и найти пример, удовлетворяющий условию задачи. При этом эти участники не выполняют, казалось бы, простейшие алгоритмы решения тригонометрических уравнений. Таким образом, проявляется существование заметной доли выпускников школ, которые не в полной мере осваивают основную программу по математике, несмотря на то что обладают более чем достаточными для этого математическими способностями. Следует отметить: данное задание показывает также степень развития математической культуры, умения найти путь решения задачи в новой ситуации, навыков логического мышления, что является одним из основных личностных результатов математического образования профильного уровня. Важно отметить, что в 2024 г. сохранился заметный разрыв между уровнями алгебраической и геометрической подготовки выпускников. Наиболее ярко сравнительный анализ успешности освоения курса алгебры и курса геометрии виден на результатах наиболее успешной группы 4. При этом достаточно ограничиться заданиями 13–19 части 2, поскольку задания части 1 участники из этой группы выполняют практически полностью. Если задания 13, 15, 16, 18 и 19 на полный балл выполняют соответственно 95,4 %, 86,3 %, 63,2 %, 57,5 % и 15,9 % участников из группы 4, то задания 14 и 17 на полный балл выполняют лишь 10,6 % и 13,9 % участников. Основная причина – в том, что даже у наиболее подготовленных школьников геометрия вызывает опасения, в то время как главным ресурсом на экзамене является время. Конечно, задача 16 требует немало времени на выполнение и анализ чертежа, поиск ключевых элементов конфигурации, решения множества вспомогательных подзадач. Однако даже стандартная стереометрическая задача 14 у хорошо подготовленного и мотивированного участника экзамена занимает больше времени, чем, например, задача 16, которая требует объективно намного большего объема обработки информации, иногда составления таблицы, применения нескольких алгоритмов и арифметических вычислений с многозначными числами. Можно предположить, что участник экзамена, выполняющий задание 16 и пропускающий задание 14 или выполняющий его с ошибкой, не видит стандартных алгоритмов, которые он мог освоить на уроках. При хорошей подготовке решение задачи 14 занимает в полтора-два раза меньше времени, чем задача 16, и не больше, чем задача 15. Часто наиболее подготовленные участники, которые заранее планируют время и выстраивают тактику решения задач на экзамене, относят решение стереометрической задачи на оставшееся время. Отработка стандартных алгоритмов построения сечения, нахождения элементов призмы, правильной пирамиды по-прежнему остается неиспользованным ресурсом повышения уровня математической подготовки выпускников. 20

В прошлом году в наиболее многочисленной группе 2 явно выделялась «граница успешности», совпадающая с границей между заданиями с кратким и развернутым ответами. В этом году эта «граница» проявляется еще ярче. Задания 1–12 в группе 2 выполняют не менее чем 42,4 %. Задание 13 – наиболее успешное задание части 2 – выполнено лишь на уровне 11,6 %. Возникает предположение, что значительная часть, если не большинство, участников из этой группы попадают в нее лишь потому, что не обучены математической речи в той степени, которая необходима для ясного изложения мыслей при выполнении заданий с развернутым ответом. При этом у них отмечается высокий уровень математического мышления, техника математических преобразований и вычислений может быть достаточно развита. Можно также предположить, что проблема кроется в злоупотреблении письменными видами работы, тестами, краткими ответами; при этом школьники имеют мало практики в устных ответах, развернутых письменных математических сочинениях. Такой школьник может решить уравнение или неравенство, понимает математический смысл задачи, но в силу отсутствия практики не может ясно и последовательно записать решение. Методическую помощь учителям и обучающимся при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня могут оказать материалы, размещенные на сайте ФИПИ (www.fipi.ru): – документы, определяющие структуру и содержание КИМ ЕГЭ 2025 г.; – открытый банк заданий ЕГЭ по математике профильного уровня; – Методические рекомендации на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ прошлых лет (2021–2024 гг.); Также будут полезны материалы межведомственного проекта Рособрнадзора, Минобрнауки и Минпросвещения России, размещенные на сайте <https://физикадлявсех.рф/>. Важнейших фактором повышения числа успешно сдающих ЕГЭ по математике профильного уровня является переход к углубленному изучению математики с 7 класса. Существенным недостатком в подготовке к ЕГЭ по математике является непрерывное решение с обучающимися вариантов экзамена прошлых лет (или из сборников типовых вариантов), обусловленное стремлением разобрать как можно больше типов задач. Целесообразно наряду с системным изучением школьного курса математики проводить уроки и занятия тематического повторения, уделять особое внимание решению задач, которые обучающиеся решают уверенно. Основное внимание при подготовке учащихся к государственной итоговой аттестации должно быть сосредоточено на подготовке именно к выполнению части 1 (тестовой) экзаменационной работы. Для успешного выполнения заданий 13–17 необходим дифференцированный подход в работе с наиболее подготовленными учащимися. Это относится и к работе на уроке, и к дифференциации домашних заданий и заданий, предлагаемых учащимся на контрольных, проверочных, диагностических работах. Следует обратить внимание на развитие метапредметных умений и навыков обучающихся в процессе решения задач. Необходимо уделять внимание способам установления зависимости: между величинами в задаче, между условием и вопросом, между результатом решения составленной математической модели и условием (интерпретацией результата). Важным условием успешности является обсуждение различных подходов и методов решения одной и той же задачи, сравнения различных способов решение, их трудоемкости и способов упрощения. Целесообразно на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний явно выделять, какой математический факт или какое утверждение стали ключевыми в решении, и позволили успешно решить задачу. Необходимо обратить внимание на изучение геометрии не только непосредственно с 7 класса, когда начинается систематическое изучение этого предмета, но и наглядных аспектов геометрии в 5–6 классах и начальной школе. Обучающиеся в ходе изучения геометрии должны последовательно овладевать навыками и методами решения задач. Важно 21

обращать внимание на возможность применения разных подходов и способов решения одной и тоже задачи, всесторонне показывать, что нет необходимости искать единственный путь решения предложенной задачи, даже вариативность нахождения промежуточных элементов должна быть обсуждена на уроке. Для успешного выполнения задания 15 (решение неравенств) необходимо обратить внимание на изучение метода интервалов при решении неравенств. Именно формальное применение этого метода приводит к большому количеству ошибок у участников экзамена, причем важно сформировать устойчивые умения решения неравенств еще в курсе алгебры основной школы. Необходимым условием успешной подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ для учителя является в первую очередь изучение и осмысление нормативных документов: кодификатора элементов содержания КИМ и спецификации экзаменационной работы по математике ЕГЭ. Эти документы публикуются вместе с демонстрационными вариантами ЕГЭ. При организации дифференцированного обучения учащихся 10–11 классов к ЕГЭ по математике профильного уровня необходимо учитывать результаты 2024 г. и организовывать группы с акцентом на темах, которые вызвали затруднения: – «Планиметрические задачи на нахождение геометрических величин»; – «Стереометрические задачи на нахождение геометрических величин»; – «Решение рациональных, дробно-рациональных, квадратных, показательных, логарифмических неравенств и их систем»; – «Текстовые задачи»; – «Производные и первообразные элементарных функций», «Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремумы». При организации образовательного процесса нужно соблюдать соотношение количества уроков алгебры, геометрии и теории вероятностей и статистики. Систему контроля знаний, умений и навыков обучающихся надо выстраивать, исходя из организации дифференцированного обучения посредством практикумов, содержащих наборы задач по разным темам, допускающие в том числе и самопроверку. Это позволит обучающимся из «группы риска» отработать умения в решении более простых задач, а более подготовленным обеспечить быстрый переход к решению задач повышенного уровня. Безусловно, даже при подготовке к экзамену на профильном уровне внимание учащихся должно быть сосредоточено именно на выполнении заданий с кратким ответом. И дело не в том, что успешное выполнение этих заданий обеспечивает получение удовлетворительного тестового балла, а в том, что это дает возможность обеспечить повторение значительно большего объема материала, сосредоточить внимание учащихся на обсуждении подходов к решению тех или иных задач, выбору способов их решения и сопоставлению этих способов, а также на проверке полученных ответов на правдоподобие и т.п. При этом следует ориентироваться не только (и не столько) на демонстрационные варианты, но и на открытый банк задач, который содержательно соответствует минимальному уровню требований к подготовке учащихся. Но в процессе такой работы акцент должен быть сделан не на «натаскивание» учащихся на «получение правильного ответа в определенной форме», а на достижение или осознанности знаний, формирование умений применять полученные знания в практической деятельности, анализировать, сопоставлять, делать выводы, подчас в нестандартной ситуации. Таким образом, не следует в процессе обучения злоупотреблять тестовой формой контроля; необходимо, чтобы учащийся предъявлял свои рассуждения как материал для дальнейшего их анализа и обсуждения. Эти требования к преподаванию математики не являются новыми, но, к сожалению, в значительной степени остаются декларацией, которая плохо соотносится с действительностью. Безусловно, перестройка в подходе к процессу обучения требует перестройки в сознании не только учащихся, но и учителей, а значит, потребует весьма значительного времени. 22

Отдельное внимание следует уделять изучению стереометрии: традиционно задания по стереометрии имеют самые низкие проценты выполнения. Как уже было отмечено, во многом это связано с тем, что стереометрические задания не дают много первичных баллов, а для того, чтобы научиться их решать, требуется много сил и времени. Также это может быть следствием того, что вместо изучения стереометрии в старших классах большая доля времени уделяется решению простейших задач по планиметрии, обеспечивающих выпускникам удовлетворительные баллы на ЕГЭ. Необходимо органичное включение повторения планиметрии в курс стереометрии. Учителям, собирающимся работать в 11 классе в 2024/25 учебном году, необходимо провести поэлементный анализ заданий, традиционно вызывающих затруднения у выпускников, используя методические материалы прошлых лет. Нужно включать задания, аналогичные КИМ ЕГЭ, при объяснении учебного материала, при решении задач по всем курсам математики, не ограничиваясь только учебником, и не заменять изучение тем по программе 11 класса «натаскиванием» на задания ЕГЭ. ЕГЭ 2024 г. по математике базового уровня ЕГЭ по математике базового уровня предназначен для проведения государственной итоговой аттестации выпускников, не планирующих продолжения образования в профессиях, предъявляющих специальные требования к уровню математической подготовки. В КИМ ЕГЭ по математике базового уровня проверяется овладение ФГОС базового уровня по математике с акцентом на применение полученных знаний на практике, развитость логического мышления, сформированность умений работать с различной информацией и применять математический аппарат в массовых гуманитарных профессиях КИМ ЕГЭ по математике базового уровня содержали 21 задание с кратким ответом базового уровня. В начале работы предложены практико-ориентированные задания, позволяющие участнику экзамена продемонстрировать умение применять полученные знания из различных разделов математики при решении практико-ориентированных задач, затем следуют блоки заданий по геометрии, алгебре и началам математического анализа. Модель КИМ ЕГЭ базового уровня по сравнению с 2023 г. не изменилась. На рис. 2 представлено распределение первичных баллов участников ЕГЭ по математике базового уровня в 2022–2024 гг.

Рис. 2. Распределение первичных баллов ЕГЭ базового уровня в 2022–2024 гг. По сравнению с 2023 г. в 2024 г. характер распределения первичных баллов практически не изменился. В 2024 г. сохранилась долгосрочная тенденция роста математической подготовки выпускников школы, не планирующих поступать в вузы на специальности, в конкурсе на которые учитывается математика. В частности, если 10 лет назад аттестационный порог составлял три задания при высоком проценте неуспешности, то сейчас аттестационный порог 7 заданий, преодолевают около 96 % участников экзамена. Низкие результаты выпускников, получивших неудовлетворительную отметку за ЕГЭ по математике базового уровня, связаны со слабым освоением программы начальной и основной школы (в части слабых вычислительных навыков, недостаточных навыков смыслового чтения, неумения пользоваться алгоритмом решения задач и др.), что свидетельствует о несвоевременном выявлении и отсутствии необходимой работы по ликвидации пробелов в знаниях. Полноценно подготовиться к экзамену можно, лишь системно изучая математику во всем разнообразии ее методов. Также важно уделять должное внимание развитию логики. В этом могут помочь открытый банк ФИПИ и другие общедоступные ресурсы. Ниже рассмотрены результаты выполнения типичных заданий базового ЕГЭ по математике в 2024 г. с указанием вероятных причин низкой результативности ряда заданий. В таблице 3 приведены результаты выполнения заданий базового ЕГЭ по темам. Таблица 3 Код темы 1.1 5.2 1.1; 3.2

1.8; 2.1 6.2 1.1; 1.2; 1.8 3.2; 3.3; 4.2

Название темы Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел Логика Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел. Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке Преобразование выражений. Целые и дробнорациональные уравнения Вероятность Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел. Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби. Преобразование выражений Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства

№в КИМ 1

Уровень Ср. % вып. Б 92

Код темы

5.2 7.1 7.1 7.3; 7.4 7.1 7.3; 7.4 1.2; 1.8 1.2 1.3; 1.4; 1.5; 1.6; 1.8

2.1; 2.4 2.5 1.2; 1.3; 1.4; 1.6; 2.5; 2.7

1.1 1.1; 1.2

Название темы и график. Свойства и график корня n-ой степени. Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке Логика Фигуры на плоскости Фигуры на плоскости Многогранники. Тела и поверхности вращения Фигуры на плоскости Многогранники. Тела и поверхности вращения Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби. Преобразование выражений Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями. Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени. Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента. Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы. Преобразование выражений Целые и дробно-рациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения Целые и дробно-рациональные неравенства Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби. Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени. Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени. Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы. Целые и дробно-рациональные неравенства. Показательные и логарифмические неравенства Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел. Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

№в КИМ

Уровень Ср. % вып.

Б Б Б Б Б Б Б

Для анализа выполнения заданий КИМ ЕГЭ использованы иллюстрации с заданиями вариантов 2024 г. Каждое из использованных для анализа заданий выполняли не менее 7000 участников экзамена из разных регионов. Выборку можно считать репрезентативной. Варианты КИМ ЕГЭ по математике базового уровня полностью составляются из заданий, представленных в открытом банке заданий. Наличие открытого банка заданий 25

позволяет учителю использовать эти задания как при обучении, так и при организации повторения. Задание 1. Текстовая задача практического содержания. Пример 1 Стоимость проездного билета на месяц составляет 580 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 20 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку? Пример 2 В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 3 недели? Комментарий. Задание верно выполнили больше 90 % участников экзамена. Данное задание показало, что у 8 % участников экзамена есть сложности с построением простейшей математической модели, недостаточно сформированы арифметические навыки и, как следствие, заведомо есть сложности в освоении не только курса математики, но и курсов других естественных наук. Необходимо своевременно выявлять указанные пробелы и ликвидировать их путем систематических упражнений. Задание 2. Практическая задача на проверку сформированности у выпускника представлений о величине – массе, времени, длине. Пример 1 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) рост жирафа 1) 500 см Б) радиус Земли 2) 6400 км В) ширина футбольного поля 3) 68 м Г) толщина лезвия бритвы 4) 0,08 мм В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Пример 2 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) масса куриного яйца 1) 130 т Б) масса активного вещества в таблетке 2) 250 мг В) масса литрового пакета сока 3) 55 г Г) масса взрослого кита 4) 1 кг В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Комментарий. Задание верно выполнили 95 % участников экзамена. Высокая успешность выполнения задания обусловлена тем, что для получения верного ответа достаточно владеть читательской грамотностью и элементарными жизненными представлениями о величине (в данном случае о массе и длине).