Методические рекомендации ФИПИ по профильной математике: анализ ошибок ЕГЭ 2023

Текст документа

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, А.В. Семенов

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по МАТЕМАТИКЕ

Москва, 2023

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике представляет собой форму государственной итоговой аттестации, проводимой в целях определения соответствия результатов освоения обучающимися образовательных программ среднего общего образования требованиям федерального государственного образовательного стандарта. ЕГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» и Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования, утвержденным приказом Минпросвещения России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512 (зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952). Контрольные измерительные материалы (далее – КИМ) представляют собой стандартные варианты, соответствующие спецификации и демонстрационному варианту. Содержание КИМ ЕГЭ определяется на основе федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования (ФГОС) (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.05.2012 № 413 с изменениями, внесенными приказами Министерства образования и науки Российской Федерации от 29.12.2014 № 1645, от 31.12.2015 № 1578, от 29.06.2017 № 613, приказами Министерства просвещения Российской Федерации от 24.09.2020 № 519, от 11.12.2020 № 712) с учетом примерной основной образовательной программы среднего общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 28.06.2016 № 2/16з)). Обеспечена преемственность между положениями ФГОС и федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования Российской Федерации от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» с изменениями, внесенными приказами Министерства образования и науки Российской Федерации от 03.06.2008 № 164, от 31.08.2009 № 320, от 19.10.2009 № 427, от 10.11.2011 № 2643, от 24.01.2012 № 39, от 31.01.2012 № 69, от 23.06.2015 № 609, от 07.06.2017 № 506). С 2015 г. ЕГЭ по математике проводится на двух уровнях: базовом и профильном. ЕГЭ базового уровня предназначен для проверки достижения участниками экзамена основных предметных результатов, в частности способности производить бытовые расчеты и использовать математические знания для решения задач, возникающих в повседневной жизни. ЕГЭ профильного уровня предназначен для проверки освоения более широкого круга математических понятий и методов, необходимых для продолжения математического образования. Варианты КИМ единого государственного экзамена по математике составлялись на основе спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2023 г. единого государственного экзамена по математике профильного уровня и кодификатора проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по математике.

ЕГЭ 2023 г. по математике профильного уровня КИМ ЕГЭ 2023 г. по математике профильного уровня степени сохранили преемственность с экзаменационной моделью 2022 г. в тематике, примерном содержании и уровне сложности заданий. Каждый вариант КИМ по математике профильного уровня состоял из двух частей и включал в себя 18 заданий, которые различались по содержанию и сложности: – часть 1 содержала 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби; – часть 2 содержала 7 заданий (задания 12–18) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). 2

Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях и предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Задания части 2 направлены на проверку освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения в профессиональной деятельности и на творческом уровне, и предназначены для более точной дифференциации абитуриентов ведущих вузов. Задания относятся к трем учебным курсам: «Алгебра и начала математического анализа» – 12 заданий; «Геометрия» – 4 задания и «Вероятность и статистика» – 2 задания. Задания варианта КИМ ЕГЭ распределены по уровням сложности: часть 1 содержала 6 заданий базового уровня (задания 1–3, 5–7) и 5 заданий повышенного уровня (задания 4, 8–11); часть 2 содержала 5 заданий повышенного уровня (задания 12–16) и 2 задания высокого уровня сложности (задания 17–18). Правильное выполнение каждого из заданий 1–11 оценивалась 1 баллом. Проверка выполнения заданий 12–18 проводилась экспертами на основе разработанной системы критериев оценивания. Полное правильное решение каждого из заданий 12, 14 и 15 оценивалось 2 баллами; каждого из заданий 13 и 16 – 3 баллами; каждого из заданий 17 и 18 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы – 31. На выполнение экзаменационной работы отводилось 3 часа 55 минут (235 минут). Минимальный пороговый первичный балл ЕГЭ по математике профильного уровня не изменился – 5; минимальный пороговый тестовый балл – 27. В 2023 г. в модель КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня внесены следующие изменения. Содержание КИМ 2023 г. не изменилось по сравнению с экзаменационной моделью 2022 г. В структуру части 1 КИМ внесены изменения, позволяющие участнику экзамена более эффективно организовать работу над заданиями за счет их перегруппировки по тематическим блокам. Работа начинается с заданий по геометрии (задания 1 и 2), затем следует блок заданий по элементам комбинаторики, статистике и теории вероятностей (задания 3 и 4), а затем идут задания по алгебре и началам математического анализа. Таким образом, усилен акцент на проверку освоения элементов содержания, необходимых для успешного продолжения образования в вузах по IT, инженерным, естественнонаучным специальностям. Число участников экзамена профильного уровня снизилось до 294,5 тыс. по сравнению с прошлым годом (около 307,5 тыс. человек в 2022 г.) за счет более осмысленного выбора выпускниками уровня экзамена в рамках завершения перехода на полноценную двухуровневую модель ЕГЭ по математике. Незначительное снижение числа участников базового экзамена отражает тенденцию, характерную для большинства регионов с развитым образовательным кластером: постепенный рост числа выпускников 9 классов, уходящих в систему СПО, а также переход части выпускников, потенциально имеющих оценки 4 и 5, из базового экзамена в профильный. Следует также отметить снижение доли не преодолевших аттестационного порога в основном периоде экзамена, что показывает эффективность принимаемых мер по выявлению и ликвидации пробелов в знаниях экзаменуемых.

Средний тестовый балл в 2023 г. остался заметно выше среднего балла 2021 г. Проверяемые элементы содержания, изучаемые в учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа», традиционно осваиваются лучше, чем элементы курса «Геометрия». Результаты профильного и базового экзаменов в этом году не стали 3

исключением. И на базовом, и на профильном уровне участники в целом продемонстрировали приемлемую технику преобразований и вычислений и решения уравнений. Тем не менее ошибки, в том числе при раскрытии скобок и простейших преобразованиях, остаются одной из основных причин неверного выполнения заданий: при правильных рассуждениях и разумном алгоритме решения экзаменуемые часто получают неверный ответ за счет ошибок в решении простейших уравнений и при выполнении арифметических действий. В геометрии иная картина. Преподавание геометрии алгоритмизируется намного хуже, чем алгебры: количество геометрических конфигураций, возникающих даже в несложных задачах с двумя-тремя объектами, огромно. При этом определенный рост акцента в экзамене профильного уровня на важные для инженерных специальностей геометрические задания способствовал росту геометрической подготовки выпускников. Участники профильного экзамена в 2023 г., как и прежде, демонстрируют высокую степень овладения базовыми умениями: решение уравнений различных типов, простейшие геометрические умения. Среди заданий с полным решением наибольшее количество полных баллов, как и в прошлые годы, получено по заданиям 12 и 14. Отдельно следует уровень выполнения практико-ориентированных заданий, связанных с применением математики, что показывает успешность мер по формированию функциональной грамотности; в частности, заметен успех в выполнении заданий на применение математики при решении задач с экономическим содержанием. Задачи по стереометрии (13), планиметрии (16) и уравнение с параметром (17) остаются наиболее сложными задачами части 2 профильного ЕГЭ по математике. Это говорит о том, что необходимо продолжать работу по развитию геометрической составляющей школьной математики, в том числе по формированию наглядных геометрических представлений в основной школе, которые станут базой для изучения стереометрии, правильность планируемых мер по детализации требований ФГОС в части геометрии. К сожалению, непреодоленной остается серьезная проблема: перекос в математической подготовке школьников в сторону решения большого количества тренировочных работ по специализированным сборникам или вариантам прошлых лет. Давая своим ученикам клонированные варианты один за другим, учитель добивается, как ему кажется, безусловного и безукоризненного выполнения работ почти всеми учащимися класса. У него создается ложное мнение, что школьники готовы к сдаче ЕГЭ, и похожее впечатление возникает у самих школьников и их родителей. Проблема в том, что, решая экзаменационные задачи предыдущих лет, школьник готовится к прошлогоднему экзамену, а не к предстоящему. Достаточно ярко это проявилось в снижении процента выполнения экономической задачи, которая при эквивалентной сложности и внешней схожести не решалась буквальным повторением хода решения прошлогодней задачи. Ниже содержится краткий обзор результатов выполнения типичных заданий профильного и базового ЕГЭ по математике в 2023 г. с указанием вероятных причин низкой результативности ряда заданий. Для анализа выполнения заданий КИМ ЕГЭ использованы иллюстрации с заданиями вариантов 2023 г. Каждый из использованных для анализа вариантов выполняли не менее 8000 участников экзамена из разных регионов. Выборку можно считать репрезентативной. Раздел «Геометрия» Рассмотрим задания 1 и 2 с кратким ответом базового уровня. Задание 1 – геометрическая задача на нахождение геометрических величин.

Пример 1 Стороны параллелограмма равны 18 и

20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна

10. Найдите длину высоты, опущенной на бо́льшую сторону параллелограмма.

Пример 2 Площадь треугольника ABC равна 60, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

C D A

Комментарий Задания выполнялись на уровне выше 72 %, что свидетельствует об успешном владении базовыми геометрическими умениями большинством участников экзамена. В примере 1 на умение вычислять площадь параллелограмма распространенной ошибкой являлось установление прямой пропорциональной зависимости между стороной параллелограмма и высотой, проведенной к ней. В примере 2 на умение находить площади подобных треугольников из-за неразвитости геометрических представлений значительное число участников экзамена посчитало, что средняя линия отсекает треугольник, площадь которого равна половине площади исходного. Для выполнения геометрических задач требуется не формальное, а развитое наглядное представление об отношениях площадей подобных фигур. Задание 2 – геометрическая задача на нахождение геометрических величин. Пример 1 Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

Пример 2 Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 30. Найдите объём конуса.

Комментарий Задание выполнили более 60 % участников. Типичная ошибка – неверный учет масштаба. Из-за неразвитости пространственных представлений и незнания формул объемов тел значительное число участников экзамена умножали на 1/2; они не учли, что если радиус вдвое больше, то площадь основания больше вчетверо. Для выполнения геометрических задач 5

требуется не формальное, а развитое наглядное представление об отношениях объемов круглых тел. Раздел «Вероятность и статистика» Рассмотрим задание 3 с кратким ответом базового уровня и задание 4 с кратким ответом повышенного уровня. Задание 3 – задача по теории вероятностей на прямое вычисление вероятности. Пример 1 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 10 спортсменов из Испании и 6 спортсменов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать спортсмен из Испании. Пример 2 На конференцию приехали учёные из трёх стран: 9 из Португалии, 7 из Финляндии и 4 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Португалии. Задание 4 – задача по теории вероятностей повышенного уровня. Пример 1 В коробке 6 синих, 9 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры. Пример 2 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю. Комментарий Задание 3 выполнило подавляющее большинство участников экзамена, задание 4 выполнили более 70 % участников экзамена, что говорит об успешном овладении выпускниками умениями анализа простейших вероятностных моделей, готовности школы к реализации обновленного ФГОС, предусматривающего систематическое изучение вероятности, и статистика в рамках специально выделенного часа с 7 по 11 класс. Типичные ошибки при выполнении задания 4 показывают важность акцента при изучении курса вероятности и статистики именно на развитие умения анализировать вероятностную модель, а не формально заучивать правила и проводить вычисления по формулам. Раздел «Алгебра и начала математического анализа» Задание 5 проверяет умение решать показательные уравнения, приводящиеся к линейным. Пример 1 Найдите корень уравнения 4

1 . 64 6

Пример 2 Найдите корень уравнения 5

 125.

Комментарий Задание выполнило подавляющее большинство участников экзамена профильного уровня, что говорит о достаточно высоком владении базовыми алгебраическими умениями участниками экзамена профильного уровня. Следует обратить внимание на необходимость проверки ответа подстановкой, а также избегать устного выполнения действий, особенно с отрицательными числами при решении экзаменационных заданий. Задание 6 – нахождение значения логарифмического выражения. % Пример

log 9 28 7  log 7 log 9 7

4. Найдите значение выражения

Комментарий Задание выполнило более половины участников. Анализ веера ответов показывает, что вызывает сложности переход к новому основанию. Следует уделять больше внимания отработке этой важной темы. Задание 7 – поиск точек экстремума функции по изображению графика производной этой функции. Пример 1 На рисунке изображён график y  f '  x  — производной функции f  x  , определённой на интервале

  12;11.

Найдите

количество

точек

максимума

принадлежащих отрезку   11; 5 .

функции

f  x ,

y 3 y = f ’(x) 1 – 12

11 x

–3 Пример 2 На рисунке изображён график y  f '  x  — производной функции f  x  , определённой на интервале   5;14  . Найдите количество точек минимума функции f  x  , принадлежащих отрезку   4; 9 .

y 3 y = f ’(x) 1 –5

14 x

–4 Комментарий Задание выполнило более половины участников экзамена. Выполнение данного задания стабилизировалось после роста в течение многих лет. Указанный уровень выполнения все еще не соответствует стоящим задачам по подготовке абитуриентов массовых технических вузов. Следует усилить акцент в изучении курса начала анализа на наглядные, смысловые вопросы, понимание сути производной, анализ графиков функций, не сводя курс к рутинному вычислению по формулам. Задание 8 – вычисление по формуле. Пример 1 Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f  30 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние d 2 от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

1 1 1   . d1 d 2 f На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах. Пример 2 Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f 0  295 Гц . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону

f v 

f0 (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий v 1 c

на платформе, различает сигналы по тону, если они различаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c  300 м/с. Ответ дайте в м/с.

Комментарий Задание выполнило более половины участников экзамена. Сложности вызывают чтение условия задачи, составление математической модели (что видно по заметной доле не приступивших к заданию) и алгебраические преобразования. Это задание особенно четко 8

показывает готовность к продолжению образования в массовых технических вузах, следует уделять особое внимание отработке указанных навыков. Также следует отметить, что неотработанность умений выполнять задания такого типа является одним из факторов, затрудняющих изучение школьником курса физики в школе. Задание 9 – текстовая задача на работу, на движение. Пример 1 Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба? Пример 2 Два велосипедиста одновременно отправились в 220-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч. Комментарий Задание выполнило более половины участников экзамена. Уровень выполнения задания, к сожалению, стабилизировался и показывает большой ресурс роста результатов, которые можно достичь путем систематической работы по решению текстовых задач как на протяжении всего обучения в школе, так и на завершающем этапе повторения. Типичные ошибки связаны с неумением составить математическую модель, вычислительные ошибки составляют гораздо меньшую долю. Задание 10 – выполнение действий с функциями. Пример 1

f  x  a x пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. y На

рисунке

изображены

графики

функций

видов

g  x   kx ,

y = f (x)

y = g (x) 1

0 A1

Пример 2

f  x   ax  bx  c и g  x   kx , пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. На рисунке изображены графики функций видов

y = f (x) 3 4

y = g (x)

Комментарий Задание выполнило более половины участников экзамена. Задание такого типа было впервые включено в КИМ ЕГЭ по математике в 2022 г. Результат выполнения данного задания говорит о сформированности в значительной степени у учащихся умения работать с графиками элементарных функций и владении умениями характеризовать поведение функций, использовать полученные знания для описания и анализа реальных зависимостей. Но при этом заметна доля участников экзамена профильного уровня, которые, по-видимому, изучали курс алгебры формально, концентрируясь на выполнении технических преобразований, и даже не приступили к данному заданию. Следует уделять, как отмечено выше, больше внимания работе с функциями, их графиками. Задание 11 – задача на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции с использованием производной. Пример 1 Найдите наибольшее значение функции y  7  12 x  4 x Пример 2 Найдите наименьшее значение функции y  x

x на отрезке  0;12 .

x  6 x  3 на отрезке 

0; 40 .

Комментарий Задание выполнило около половины участников экзамена. Для нахождения точки минимума функции нужно было найти производную функции, приравнять производную к нулю, решить простейшее иррациональное уравнение, продолжить исследование, чтобы найти точку минимума. Можно предположить, что сложность задания связана с нахождением производной функции f ( x )  x x и недостаточной отработкой аналитической записи функции перед началом исследования.

преобразований

Задание 12 – тригонометрическое уравнение. Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 2.

Пример а) Решите уравнение sin x  cos 2 x 

2 cos x  sin x  0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

3π ; 3π  .  2 

Комментарий Задание выполняет минимум на 1 балл половина участников. Следует отметить важность развития в курсе математики не только умения находить верный ответ, но и умения полно, обоснованно излагать решение задачи. К сожалению, в данной задаче заметное число участников экзамена пропускают шаги в решении и обосновании, иногда приводя просто ответ, который им кажется очевидным из рисунка, что зачастую приводит к ошибке в ответе или при верном ответе к неполучению балла из-за отсутствия обоснованного решения. При этом путь решения может быть любым, математически корректным и обоснованным, содержащим все ключевые элементы решения, например при выполнении пункта б), с помощью как окружности, так и прямой или неравенств. Задание 13 – геометрическая задача (стереометрия). Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл –

3. Пример

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  3 и BC  2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении

A1M : MD1  1: 2, а точка K — середина ребра DD1 . а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC  90, ADC  60. Комментарий Заметный рост выполнения геометрических заданий части 1 экзаменационной работы создает хорошие предпосылки для роста выполнения геометрических заданий части 2, в том числе стереометрического задания. Основные сложности в выполнении этого задания и высокий процент не приступивших к выполнению этого задания связаны с фактическим игнорированием в значительном количестве школ формирования таких важных умений, как решение двух–четырехходовых стереометрических задач, приведение доказательств стереометрических утверждений. Большой разрыв результатов решения задания по стереометрии части 2 и этих заданий части 1 говорит о том, что на уроках ограничиваются лишь решением простейших наглядных и вычислительных заданий. Следование ФГОС и ФОП среднего общего образования приведет в двух-трехлетней перспективе к существенному росту выполнения таких заданий. Наиболее трудными, как правило, являются логические построения, связанные с доказательством от противного. Отмечая важность развития умений выполнять такие заданий для успешного продолжения образования не только по инженерным, но и по IT-специальностям, следует обратить внимание учителей на необходимость усиления внимание к курсу стереометрии, в особенности к выработке умения решать задачи различными методами, как геометрическими, так и аналитическими. Задание 14 – решение неравенства. Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 2.

Пример

Решите неравенство log 8 x  3 x  3 x  1  log 2 x  1 

5. Комментарий

Верное выполнение заданий данного типа требует развитых умений работы с алгебраическими выражениями, грамотной работы с переменными. Как и в других заданиях с развернутым ответом, участник экзамена должен привести полный, математически корректный и обоснованный путь решения. К сожалению, ряд учителей вместо развития навыков решения неравенств обучает учеников определенным шаблонным путям решения, ошибочно полагая, что только такие решения оцениваются как верные. Это приводит к тому, что заметное число участников экзамена пытается применять некорректные в конкретной задаче подходы к решению и это влечет ошибки в ответах, некорректности в решении, а в ряде случаев невозможность завершить решение задачи. Следует начинать повторение с простейших заданий на решение неравенств и, отработав базовые приемы, переходить к решению разнообразных заданий уровня ЕГЭ, в том числе заданий прошлых лет, опубликованных на сайте ФИПИ. При проверке решений школьников на уроке учителю следует проверять именно математическую корректность и обоснованность решения, а не только совпадение ответа или, напротив, совпадение решения с тем или иным «эталоном». Задание 15 – практико-ориентированная задача. Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл –

2. Пример

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2580 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года? Комментарий Задание имеет практико-ориентированный характер и позволяет участнику экзамена продемонстрировать умения анализировать условие задачи, составлять математическую модель и находить обоснованный ответ, используя изученные математические методы. К сожалению, ряд учителей, вместо развития умения составлять математическую модель «натаскивает» учеников на конкретные алгоритмы решения заданий прошлых лет или даже начинает рассказывать об элементах экономической теории. Следует отметить, что все необходимые сведения приведены в условии задачи, никаких дополнительных знаний для решения задачи не требуется. Основной причиной, по которой участник экзамена не приступает к решению задачи или неверно составляет математическую модель, является как раз попытка безуспешно применять буквально алгоритм решения задания прошлого года. Важно отметить, что подавляющее большинство участников экзамена, нашедших путь решения, верно доводят его до конца, что показывает рост математической культуры выпускников. Задание 16 – геометрическая задача (планиметрия). Задание повышенного уровня с развернутым ответом, максимальный балл – 3. 12

Пример Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O . Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD . а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO  CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM : MB  1:

2. Комментарий

Как отмечено выше, заметный рост выполнения геометрических заданий части 1 экзамена создает хорошие предпосылки для роста выполнения геометрических заданий части 2. Однако, к сожалению, все еще во многих школах уделяется недостаточное внимание преподаванию геометрии в основной школе, и если ликвидировать пробелы при решении задач базового уровня сложности и анализе простейших геометрических конструкций за время повторения реально, то сформировать культуру рассуждений и доказательств, необходимых для полноценного решения многоходовой задачи, крайне тяжело. Введение в рамках обновленного ФГОС углубленного курса геометрии в основной школе, обновление содержания курса геометрии с акцентом на развитие геометрических представлений, геометрической интуиции, культуре рассуждений и доказательств создают хорошую базу для роста геометрической подготовки абитуриентов технических вузов и роста процента выполнения данного задания. Задание 17 – уравнение с параметром. Задание высокого уровня с развернутым ответом, максимальный балл –

4. Пример

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 x 2  5 x  y  3  x  y  3  0,   y  3 x  a имеет ровно два различных решения. Комментарий Заметный рост выполнения задания на полный балл при стабильной доле получивших ненулевой балл показывает тенденцию роста математической культуры выпускников школ, позволяющей довести до конца решение данной задачи высокого уровня сложности. При этом остается большой потенциал роста результатов этой задачи, для чего требуется систематическое формирование соответствующих умений начиная с основной школы. Не следует пропускать изучение простейших задач с параметром как при изучении линейной и квадратичной функций в основной школе, так и при итоговом повторении. Задание 18 – целочисленная арифметика, перебор вариантов, доказательство. Задание высокого уровня с развернутым ответом, максимальный балл –

4. Пример

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %. а) Может ли в этом классе быть 5 девочек? б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка? в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Комментарий Задание позволяет участнику экзамена продемонстрировать уровень сформированности математической культуры, умение применять изученные методы в нестандартной ситуации решения задач, в которой главным компонентом является не преодоление технических сложностей, а поиск пути решения. Задача имеет исследовательский характер, требуя подчас проверки подтверждения или опровержения гипотез. На ненулевой балл выполнило более половины участников экзамена, на полный балл – очень небольшой процент. Задача имеет очень высокий потенциал роста, для ее выполнения важны регулярное решение нетиповых заданий, акцент на развитие мышления, логики, а не только развитие технических навыков. Наиболее эффективно формировать такие навыки начиная с 5–6 класса. Первый пункт задачи имеет конструктивный характер и доступен многим участникам экзамена, поэтому последние годы задача стала приобретать популярность не только у наиболее сильной группы, но и у выпускников с недостаточной общей алгебраической подготовкой, но развитым логическим мышлением. Здесь важно, чтобы учитель верно сориентировал, показал на примерах, что первый пункт не требует специальных знаний – достаточно умения понять условие задачи, небольшой сообразительности и минимального терпения, чтобы обнаружить нужную математическую конструкцию. В старших классах и во время итогового повторения также необходимо решение разнообразных по тематике несложных нетиповых задач, которые имеются в достаточном количестве в банке ФИПИ, открытых банков массовых олимпиад (в том числе школьного этапа ВсОШ), обновленных школьных учебников, позволяющих интегрировать основное и дополнительное образования. Современная модель ЕГЭ по математике профильного уровня выделяет по результатам экзамена пять групп участников в соответствии с их уровнем предметной подготовки (табл. 1). Такая группировка обусловлена качественными различиями в уровне подготовки участников экзамена. Разумеется, группировка условна, а границы групп нечеткие.

Группа Границы первичных баллов Границы тестовых баллов Процент участников

Табл. 1. Группы по уровню подготовки (профильный уровень) 1 2 3 4 5 (мин.) (базовый) (базовый) (повыш.) (высокий) 0–4

8–10

11–19

20–31

0–22 8,8

27–40 17,5

46–58 23,4

64–80 45,1

82–100 5,2

Группа 1. В большинстве своем это школьники, слабо мотивированные к изучению математики. Их участие в профильном экзамене часто нецелесообразно и вызвано ошибочным выбором уровня экзамена. Группа 2. Основа группы – абитуриенты вузов, выбирающие гуманитарные или социально-психологические специальности, но вынужденные сдавать профильный экзамен в связи с требованиями вуза. Группа 3 – участники, успешно освоившие базовый курс математики и способные обучаться на технических специальностях большинства вузов, не предъявляющих высоких требований к математическим знаниям абитуриентов. Группа 4 – выпускники, имеющие достаточный уровень математической подготовки для продолжения образования по большинству специальностей, требующих повышенной и высокой математической компетентности. Группа 5 – участники с отличной подготовкой, которые могут продолжать обучение при самых высоких требованиях к математической подготовке на фундаментальных естественнонаучных и математических специальностях вузов. 14

Доля участников из группы 1 значительна. Это означает, что, даже в условиях профильной модели ЕГЭ и уменьшения общего числа участников, в экзамене профильного уровня участвует значительное число школьников, не готовых преодолеть минимальный порог. Участники из группы 1, как правило, ограничиваются 9–11 заданиями с кратким ответом и практически не приступают к задачам, требующим развернутых ответов (менее 0,3 % тех, кто набрал до 20 ТБ, выполнили каждое из заданий 12–17 хотя бы на 1 балл; в задании 18 получили 1 или 2 балла около 7 %). Геометрические задачи, задачи на понимание методов математического анализа и свойств графиков выполняются участниками из этой группы плохо. В большинстве своем это школьники, слабо мотивированные к изучению математики. Их участие в профильном экзамене часто нецелесообразно. Группу 2 можно характеризовать как тех, кто осваивал базовый курс, но не приобрел устойчивых навыков. Это не позволяет им продолжать образование по технической специальности. Многочисленность группы 2 на профильном ЕГЭ по математике часто объясняется противоречивыми требованиями ряда вузов к абитуриентам: это обязательный профильный экзамен, результаты которого учитываются в сумме баллов, но при этом допускаются относительно невысокие требования к математической подготовке. В отличие от группы 1, участники из группы 2 чаще принимаются за решение заданий части 2, о чем свидетельствуют, например, результаты решения тригонометрического уравнения (около 12 % тех, кто набрал от 21 до 40 ТБ, а это преимущественно участники из группы 2, выполнили задание 12 хотя бы на 1 балл, а в задании 18 получили 1 или 2 балла около 25 %). Наличие вычислительных навыков позволяет им относительно успешно справиться с частью 1 экзамена, но, начиная с задания 13 (стереометрия), их результаты почти не отличаются от результатов группы 1, т.е. близки к нулевым значениям. Группа 3 выполняет задания 1–12, как правило, с небольшим количеством ошибок вычислительного характера. В эту группу может перейти заметное число сдавших на отлично экзамен базового уровня. Группа 4, продолжающая укреплять свои позиции в генеральной совокупности участников экзамена, составляет основу абитуриентов и успешных студентов технических вузов. Именно эту группу следует считать целевой при составлении части 2 профильного ЕГЭ. Важную роль в росте доли участников данной группы играет своевременная профориентационная работа со школьниками, в том числе в 9 и 10 классах, с тем чтобы большее число обучающихся выбирали профильный курс математики, хорошо его осваивали и ориентировались на дальнейшей поступление в вузы на современные перспективные специальности. Численный состав группы 5 все же можно считать стабильным по результатам нескольких лет. Это выпускники, которые могут продолжать обучение при самых высоких требованиях к математической подготовке на технических и на фундаментальных естественнонаучных и математических специальностях вузов. Но даже в этой, наиболее подготовленной, группе требуется внимание повышению качества геометрической подготовки. Следует также отметить, что ряд участников данной группы имеют внеконкурсное поступление или существенные льготы при поступлении как победители и призеры Всероссийской олимпиады школьников и олимпиад, входящих в Перечень Минобрнауки. В таблице 2 показано распределение процентов выполнения заданий по группам баллов. Разбиение на группы отличается от разбиения в табл. 11. Проценты округлены до десятых долей.

Приведены традиционные группы участников экзамена: не преодолевшие минимального балла, от минимального балла до 60, 61–80, 81–100 т.б. 1

Табл.

2. Выполнение заданий по группам (разбиение ФЦТ), проценты (профильный уровень)

Задание / балл 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1 10 / 1 11 / 1 12 / 1 12 / 2 13 / 1 13 / 2 13 / 3 14 / 1 14 / 2 15 / 1 15 / 2 16 / 1 16 / 2 16 / 3 17 / 1 17 / 2 17 / 3 17 / 4 18 / 1 18 / 2 18 / 3

Средний процент выполнения 78,7 71,5 92,8 69,1 96,7 78,9 74,7 72,1 71,1 71,6 62,5 6,2 40,9 4,1 0,14 0,66 1,1 17,2 4,3 8,4 6,8 0,17 0,83 6,3 2,0 0,6 3,7 30,2 11,6 0,7 1,7

Группа 1, 0–4 ПБ

Группа 2, 5–10 ПБ

Группа 3, 11–19 ПБ

Группа 4, 20–31 ПБ

Выделяется задание 18, которое на 1 балл выполняет около 7 % участников из группы 1 и около 11 % участников из группы 2. Похожие результаты выполнения последнего задания наблюдались и в прошлые годы. Это говорит о том, что в этих группах есть участники, обладающие математической культурой, достаточно высокой для того, чтобы разобраться в тексте абстрактной математической задачи, экспериментировать с натуральными числами или целыми последовательностями и найти пример, удовлетворяющий условию задачи. При этом эти участники не выполняют, казалось бы, простейших алгоритмов решения тригонометрических уравнений. Таким образом, проявляется существование заметной доли выпускников школ, которые не в полной мере осваивают основную программу по математике, несмотря на то что обладают более чем достаточными для этого математическими способностями. Следует отметить, что данное задание показывает также степень развития математической культуры, умения найти путь 16

решения задачи в новой ситуации, навыков логического мышления; это является одним из основных личностных результатов математического образования профильного уровня. Важно отметить, что в 2023 г. сохраняется заметный разрыв между уровнями алгебраической и геометрической подготовки выпускников. Наиболее ярко сравнительный анализ успешности освоения курса алгебры и курса геометрии виден на результатах наиболее успешной группы 4. При этом достаточно ограничиться заданиями 12–18 части 2, поскольку задания части 1 участники из этой группы выполняют практически полностью. Если задания 12, 14, 15, 17 и 18 на полный балл выполняют соответственно 95,4 %, 86,3 %, 63,2 %, 57,5 % и 15,9 % участников из группы 4, то задания 13 и 16 на полный балл выполняют лишь соответственно 10,6 % и 13,9 % участников. Основная причина в том, что даже у наиболее подготовленных школьников геометрия вызывает опасения, в то время как главным ресурсом на экзамене является время. Конечно, задача 16 требует немало времени на выполнение и анализ чертежа, поиск ключевых элементов конфигурации, решение множества вспомогательных подзадач. Однако даже стандартная стереометрическая задача 13 у хорошо подготовленного и мотивированного участника экзамена занимает больше времени, чем, к примеру, задача 15, которая требует объективно намного большего объема обработки информации, иногда составления таблицы, применения нескольких алгоритмов и арифметических вычислений с многозначными числами. Можно предположить, что участник экзамена, выполняющий задание 15 и пропускающий задание 13 или выполняющий его с ошибкой, не видит стандартных алгоритмов, которые он мог освоить на уроках. При хорошей подготовке решение задачи 13 занимает в 1,5–2 раза меньше времени, чем задача 15, и не больше, чем задача 14. Часто наиболее подготовленные участники, которые заранее планируют время и выстраивают тактику решения задач на экзамене, относят решение стереометрической задачи на оставшееся время. Отработка стандартных алгоритмов построения сечения, нахождения элементов призмы, правильной пирамиды по-прежнему остается неиспользованным ресурсом повышения уровня математической подготовки выпускников. В прошлом году в наиболее многочисленной группе 2 явно выделялась «граница успешности», совпадающая с этой «границей» между заданиями с кратким и развернутым ответами. В этом году эта «граница» обозначена еще четче. Выполнение заданий 1–11 в группе 2 на уровне не менее чем 42,4 %. Задание 12 – наиболее успешное задание части 2 – выполнено лишь на уровне 11,6 %. Возникает гипотеза, что значительная часть, если не большинство участников из этой группы, попадают в эту группу лишь потому, что не обучены математической речи в той степени, которая необходима для ясного изложения мыслей при выполнении заданий с развернутым ответом. При этом уровень математического мышления, техника математических преобразований и вычислений у них могут быть достаточно развиты. Можно предположить также, что проблема кроется в злоупотреблении письменными видами работы, тестами, краткими ответами; при этом школьники имеют мало практики в устных ответах, развернутых письменных математических сочинениях. Такой школьник может решить уравнение или неравенство, понимает математический смысл задачи, но в силу отсутствия практики не может ясно и последовательно записать решение.

ЕГЭ 2023 г. по математике базового уровня Модель ЕГЭ по математике базового уровня предназначена для государственной итоговой аттестации выпускников, не планирующих продолжения образования в профессиях, предъявляющих специальные требования к уровню математической подготовки. Так как в настоящее время существенно возрастает роль общематематической подготовки в повседневной жизни, в массовых профессиях, в модели ЕГЭ по математике базового уровня усилены акценты на контроль способности применять полученные знания на практике, развитие логического мышления, умение работать с информацией. КИМ ЕГЭ 2023 г. по математике базового уровня сохранили преемственность с экзаменационной моделью 2022 г. в тематике, примерном содержании и уровне сложности заданий. Экзаменационная работа включала в себя 21 задание с кратким ответом базового уровня сложности. Все задания, как и прежде, предполагали краткий числовой ответ, множественный выбор из данного перечня вариантов либо установление соответствия между двумя характеристиками процесса или объектов и направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях. Задания относятся к учебным курсам: «Математика» и «Алгебра и начала математического анализа» – 15 заданий; «Геометрия» – 5 заданий и «Вероятность и статистика» – 1 задание. Правильное выполнение каждого из заданий 1–21 оценивалось 1 баллом. Максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы – 21. На выполнение экзаменационной работы отводилось 3 часа (180 минут). Проверка логических навыков включена во все задания и особенно проявляется в заданиях 18, 19, 21. Традиционно задачи 19 и 21 предполагают не столько применение известных фактов или формул, сколько числовое конструирование (предъявите число, обладающее определенными свойствами) и математическое рассуждение. Задание 20 является классической практико-ориентированной задачей на движение или совместную работу, заданной текстовым условием. Минимальный балл ЕГЭ по математике базового уровня в 2023 г. остался неизменным по сравнению с 2022 г. и составляет 7 первичных баллов (3 тестовых балла). Таким образом, ЕГЭ базового и профильного уровней образует стройную систему итоговой аттестации за курс средней школы, состоящую из двух четко обозначенных комплексов требований в соответствии со ФГОС. Система базовых требований подразумевает возможность подтвердить минимальное владение математическими знаниями и умениями, достаточными для применения в повседневной жизни. Система профильных требований включает в себя проверку знаний и умений, необходимых для продолжения образования в высшей школе по специальностям, требующим хорошей математической подготовки. Содержание КИМ экзаменационных вариантов не изменилась по сравнению с 2022 г. В структуру КИМ внесены изменения, позволяющие участнику экзамена более эффективно организовать работу над заданиями за счет перегруппировки заданий по тематическим блокам. В начале работы собраны практико-ориентированные задания, позволяющие продемонстрировать умение применять полученные знания из различных разделов математики при решении практических задач, затем следуют блоки заданий по геометрии, алгебре и началам математического анализа. В 2023 г. произошел небольшой спад числа участников (в 2023 г. – 351,6 тыс. человек; в 2022 г. – 360,6 тыс. человек), обусловленный как переходом части потенциальных участников ЕГЭ базового уровня в систему СПО, так и переходом части выпускников, 18

потенциально имеющих оценки 4 и 5 на экзамене базового уровня, на ЕГЭ профильного уровня. Это обусловило некоторое снижение доли получивших оценку 5. Важно отметить снижение доли не преодолевших аттестационного порога (в 2023 г. – 2,5 %, в 2022 г. – 3,9 %), что показывает эффективность системы выявления и ликвидации пробелов в знаниях, а также системной методической поддержки школ с низкими образовательными результатами на федеральном и региональном уровнях. Для анализа использованы иллюстрации с заданиями вариантов 2023 г. Каждый из использованных для анализа вариантов выполняли не менее 6000 участников экзамена из разных регионов. Выборку можно считать репрезентативной. Варианты базового экзамена полностью собираются из банка заданий. Наличие открытого банка заданий позволяет учителю использовать эти задания как при обучении, так и при организации повторения. Задание 1 – текстовая задача практического содержания. Пример 1 Шоколадка стоит 20 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Какое наибольшее число шоколадок можно получить на 150 рублей в воскресенье? Пример 2 Стоимость проездного билета на месяц составляет 650 рублей, а стоимость билета на одну поездку 28 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку? Комментарий Данное задание показало, что более 15 % участников экзамена имеют сложности с построением простейшей математической модели и недостаточно сформированные арифметические навыки и как следствие заведомо имеют сложности в освоении не только курса математики, но и других естественных наук. Необходимо своевременно выявлять указанные пробелы и ликвидировать их путем систематических упражнений. Задание 2 – практическая задача на проверку сформированности у выпускника представлений о величине – массе, времени, длине. Пример 1 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) масса молекулы водорода Б) масса Земли В) масса активного вещества в таблетке Г) масса взрослого слона

ЗНАЧЕНИЯ 1) 500 мг 24 2) 5,9726  10 кг  27 3) 3,3464  10 кг 4) 5 т

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.

Пример 2 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) расстояние от Земли до Луны Б) расстояние от Москвы до Сочи В) расстояние между соседними троллейбусными остановками Г) диаметр монеты

1) 2) 3) 4)

ЗНАЧЕНИЯ 385 000 км 1600 км 300 м 20 мм

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Комментарий Высокая успешность выполнения задания обусловлена тем, что для получения верного ответа достаточно владеть читательской грамотностью и элементарными жизненными представлениями о величине (в данном случае о массе и длине). Задание 3 – практико-ориентированная задача на чтение графиков, диаграмм. Пример 1 На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 14 по 28 июля 2008 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — цена олова в долларах США за тонну. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями.

Определите по рисунку, какого числа цена олова на момент закрытия торгов была наибольшей за данный период. Пример 2 На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указаны номера месяцев, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями.

Определите по рисунку, в каком месяце среднемесячная температура в Сочи была наименьшей за данный период. В ответе запишите номер этого месяца. Комментарий Высокая успешность выполнения задания обусловлена тем, что для получения верного ответа достаточно владеть чтением графиков и диаграмм, применяемых в реальной жизни. Задание 4 – текстовая задача на вычисление по формуле. Пример 1 Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P  I R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите R (в омах), если P  180 Вт и I  6 А. 2

Пример 2 Второй закон Ньютона можно записать в виде F  ma , где F — сила (в ньютонах), действующая на тело, m — его масса (в килограммах), a — ускорение (в м/с 2

), с которым движется тело. Найдите m (в килограммах), если F  221 Н и a  17 м/с . 2

Комментарий Задачу решили три четверти участников экзамена базового уровня. Задание 5. Задача по теории вероятностей. Пример 1 Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный монитор работает? Пример 2 Фабрика выпускает сумки. В среднем из 150 сумок, поступивших в продажу, 3 сумки имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без скрытого дефекта. Комментарий Задачу решили более половины участников экзамена базового уровня. Задание 6 – текстовая задача практического содержания.

Пример 1 В городском парке работает 5 аттракционов: карусель, колесо обозрения, автодром, «Ромашка» и «Весёлый тир». В кассах продаётся 6 видов билетов, каждый из которых на один или на два аттракциона. Сведения о стоимости билетов представлены в таблице. Номер билета 1 2 3 4 5 6

Набор аттракционов «Весёлый тир», автодром «Ромашка», колесо обозрения «Весёлый тир», «Ромашка» Колесо обозрения, карусель «Ромашка» Карусель, автодром

Стоимость (руб.) 550 450 300 300 150 200

Какие билеты должен купить Андрей, чтобы посетить все пять аттракционов и потратить не больше 900 рублей? В ответе запишите какой-нибудь один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Пример 2 Путешественник из Москвы хочет посетить четыре города Золотого кольца России: Владимир, Ярославль, Суздаль и Ростов Великий. Турагентство предлагает маршруты с посещением некоторых городов Золотого кольца. Сведения о стоимости билетов и маршрутах представлены в таблице. Номер маршрута 1 2 3 4 5 6

Посещаемые города Ярославль, Ростов Великий Суздаль Ярославль, Владимир Суздаль, Ярославль, Ростов Великий Владимир, Ростов Великий Владимир, Суздаль

Стоимость (руб.) 2000 1650 2350 3650 2350 2900

Какие маршруты должен выбрать путешественник, чтобы побывать во всех четырёх городах и потратить меньше 5000 рублей? В ответе запишите какой-нибудь один набор маршрутов без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Комментарий Высокая успешность выполнения этого задания свидетельствует о том, что основная часть участников экзамена владеет умениями: извлекать необходимую информацию из текста задачи, табличных данных; строить математическую модель в виде числового выражения, выполняя вычисления с натуральными числами, находить его значение; проводить оценку полученного результата в соответствии с условием задачи.

Задание 7 – графическое представление процесса или функции. Пример 1 На рисунке изображён график функции y  f  x  . Числа a , b, c , d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции.

y = f (x)

c d a0 ИНТЕРВАЛЫ

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) функция возрастает на интервале 2) значение функции отрицательно в каждой точке интервала 3) функция убывает на интервале 4) значение функции положительно в каждой точке интервала

 a; b  Б)  b; c  В)  c; d  Г)  d ; e  А)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Пример 2 На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля (в км/ч), на горизонтальной — время (в секундах), прошедшее с начала движения автомобиля.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале. А) Б) В) Г)

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ 0–30 c 30–60 c 60–90 c 90–120 c

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) скорость достигла максимума за всё время движения автомобиля 2) автомобиль сделал остановку на 15 секунд 3) скорость автомобиля не увеличивалась на всём интервале 4) скорость автомобиля не уменьшалась и не превышала 40 км/ч

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 23

Комментарий Высокий процент выполнения данного задания означает, что у участников экзамена сформированы базовые умения извлекать необходимую информацию из текста и графика, проводить сравнения, находить закономерности, делать выводы, отвечать на вопрос задачи в соответствии с конкретной ситуацией практического содержания, описанной в тексте задания. Задание 8 – логические высказывания. Пример 1 В некоторый момент температура воздуха в Москве была равна 3 С . В этот же момент в Архангельске было на 4 С холоднее, чем в Москве, а в Махачкале — на 3 С теплее, чем в Москве. Выберите все утверждения, которые были верны в этот момент при указанных условиях. 1) В любом городе, помимо указанных, в чем в Махачкале, также было теплее, чем в Москве. 2) В любом городе, помимо указанных, в чем в Архангельске, также было теплее, чем в Москве. 3) В Махачкале было теплее, чем в Архангельске. 4) В Москве было теплее, чем в Махачкале.

котором

было

теплее,

котором

было

теплее,

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Пример 2 Кондитер испёк 50 рогаликов, из них 15 рогаликов он посыпал корицей, а 20 рогаликов посыпал сахаром (кондитер может посыпать один рогалик и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать). Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) 2) 3) 4)

Найдётся 18 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей. Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны. Не может оказаться больше 16 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей. Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Комментарий Это задача практического содержания, проверяющая умения работать с текстом, устанавливать логические связи между утверждениями, представленными в тексте задачи, рассуждать, строить логические умозаключения по условию задачи, устанавливать следственные связи между событиями в практической ситуации, отвечать на вопрос задачи, определяя истинность или ложность утверждений. Высокий процент выполнения данного задания означает, что базовые логические навыки есть почти у всех выпускников школы и при своевременном выявлении пробелов в знаниях, правильном построении курса математики многие участники, имеющие по результатам отметки 3 и 4, могут успешно решать алгебраические и геометрические задания и иметь более высокий результат освоения курса математики. 24

Задание 9 – планиметрия на клетчатом плане. Пример 1 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м  1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Пример 2 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м  1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Комментарий Задачу решило более половины участников экзамена базового уровня. Результаты выполнения показали, что планиметрическая задача практического содержания, проверяющая умения понимать жизненную ситуацию, описанную в условии задачи, выполнять действия с геометрическими фигурами, дополнительные построения на чертеже, строить математическую модель по условию задачи в виде числового выражения, используя свойства геометрических фигур, вызывает затруднения у участников экзамена. Задание 10 – геометрическая задача практического содержания. Пример 1 От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.

? 12 м 3м 12 м

Пример 2 Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 15 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 8 метров (см. рисунок). Найдите суммарную длину изгороди в метрах.

8м 15 м 25 м

Комментарий Задачу решили две трети участников экзамена базового уровня (в прошлом году 10 % даже не приступали к подобной задаче). Результаты выполнения показали, что планиметрическая задача практического содержания, проверяющая умения понимать жизненную ситуацию, описанную в условии задачи, выполнять действия с геометрическими фигурами, дополнительные построения на чертеже, строить математическую модель по условию задачи в виде числового выражения, используя свойства геометрических фигур, вызывает затруднения у участников экзамена. Задание 11 – наглядная стереометрия. Пример 1 Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Пример 2 Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Комментарий Только треть участников экзамена верно ответила на вопрос задачи, при этом пятая часть участников даже не приступала к решению. Из-за неразвитости пространственных представлений большое число участников экзамена не смогло «увидеть» грани поверхности многогранника или не смогло разбить многогранник на прямоугольные параллелепипеды.

Задание 12 – геометрическая задача (планиметрия). Пример 1 Сумма двух углов ромба равна 240, а его меньшая диагональ равна 14. Найдите периметр ромба.

Пример 2 В треугольнике ABC угол C равен 90, AB  10, AC  Найдите sin A.

Комментарий Задачу решило чуть меньше половины участников экзамена базового уровня, причем порядка 20 % даже не приступали к ее решению. Низкая выполняемость задания свидетельствует о несформированности умения решать планиметрические задачи на вычисление периметра ромба, проводя доказательные рассуждения, используя свойства ромба и прямоугольного треугольника, и решать прямоугольный треугольник. Задание 13 – геометрическая задача (наглядная стереометрия). Пример 1 Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Пример 2 В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 6, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 6 3. Найдите объём пирамиды SABC.