Открытый вариант ЕГЭ 2025 по профильной математике — реальные задания досрочного периода
Один из реальных вариантов КИМ ЕГЭ 2025 по профильной математике, использованных на досрочном периоде и открытых ФИПИ после экзамена. Лучший тренировочный материал: настоящие формулировки, реальный уровень сложности, официальные ответы.
Задания варианта — текст
Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Базовый уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа включает в себя 21 задание. На выполнение работы отводится 3 часа (180 минут). Ответы к заданиям записываются по приведённым ниже образцам в виде числа или последовательности цифр. Сначала запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1 справа от номера соответствующего задания. КИМ
Ответ: –0,6
Если ответом является последовательность цифр, как в приведённом ниже примере, то запишите эту последовательность в бланк ответов № 1 без пробелов, запятых и других дополнительных символов. КИМ
А Б В Г Ответ: 4 3 1 2 Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланке ответов № 1 был записан под правильным номером. Желаем успеха!
Открытый вариант
Справочные материалы Алгебра Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 Десятки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Единицы 4 5 16 25 196 225 576 625 1156 1225 1936 2025 2916 3025 4096 4225 5476 5625 7056 7225 8836 9025
Свойства арифметического квадратного корня a = ab = a ⋅ b при a ≥ 0 , b ≥ 0 b
a при a ≥ 0 , b > 0 b
Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 2
− b − b − 4ac − b + b − 4ac 2 при b − 4 ac > 0 , x2 = 2a 2a b 2 x=− при b − 4 ac = 0 2a
x1 =
Формулы сокращённого умножения ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 2 2 a − b = ( a + b )( a − b )
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень
Степень и логарифм
Свойства степени при a > 0 , b > 0 −n 1 a = n a n
a ⋅a = a
Свойства логарифма при a > 0 , a ≠ 1, b > 0 , x > 0 , y > 0 a
( ) n
x log a = log a x − log a y y k log a b = k log a b
( ab ) n = a n ⋅ b n
( ba ) = ba n
log a a = 1 log a 1 = 0 log a ( xy ) = log a x + log a y
n−m a =a m a
log a b
Геометрия
Средняя линия треугольника и трапеции B
MN — ср. лин. MN AC MN =
Длина окружности Площадь круга 2
a +b =c
BC AD MN — ср. лин. MN AD MN =
Теорема Пифагора
AC 2
BC + AD 2
C = 2πr 2 S = πr
Правильный треугольник
a 3 3 2 a 3 S= 4 R=
a 3 6 a 3 h= 2
Открытый вариант
Площади фигур
Параллелограмм
S = aha S = ab sin γ
Треугольник
a Трапеция
1 ah 2 a 1 S = ab sin γ 2 S=
ha a Ромб
d 1 , d 2 — диагонали
a+b ⋅h 2
1 d d 2 1 2
Площади поверхностей и объёмы тел
Прямоугольный параллелепипед
Прямая призма
V = abc
V = S осн h
Sосн
Пирамида
Конус V =
1 S h 3 осн
Sосн
Цилиндр
S бок = πrl
Шар h
1 2 πr h 3
V = πr h S бок = 2πrh
4 3 πr 3
S пов = 4πr
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень
Тригонометрические функции
Прямоугольный треугольник a c b cos α = c a tg α = b
sin α =
Тригонометрическая окружность Pα
1 sin α α 1 0
cos α
Основное тригонометрическое тождество: sin 2 α + cos 2 α = 1
Некоторые значения тригонометрических функций π π π π 3π радианы 0 π 3 6 4 2 2 градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 1 2 3 0 1 0 sin α −1 2 2 2 1 3 2 −1 0 1 0 cosα 2 2 2 3 tgα 0 — 0 — 1 3 3
2π 360° 0 1 0
Функции
Линейная функция y
Геометрический смысл производной y α
y = kx+b
k = tgα
y = f (x) x0
f ' ( x0 ) = tgα
Открытый вариант
Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, или целое число, или последовательность цифр. Ответ сначала запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. 1
По расписанию поезд Уфа – Москва отправляется в 7:04, а прибывает в 9:04 на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько часов поезд находится в пути? Ответ: ___________________________.
Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) диаметр монеты Б) расстояние от Москвы до Сочи В) расстояние между соседними троллейбусными остановками Г) радиус Земли
ЗНАЧЕНИЯ 1) 20 мм 2) 6400 км 3) 300 м 4) 1600 км
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Ответ:
А Б В Г
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень
В таблице представлены данные о стоимости некоторой модели смартфона в различных магазинах. Магазин «ОК-Техника» «Скоростной» «Магия связи» «Про-фон» «Смартфон и Ко» «Прогресс-Э» «999 телефонов» «Макропоиск» «Вселенная телефонов» Найдите наименьшую стоимость предложений. Ответ дайте в рублях.
Стоимость смартфона (руб.) 6733 7600 6559 7346 6599 7548 6959 7049 6850 смартфона
среди
представленных
Ответ: ___________________________.
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I R , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите P (в ваттах), если R = 16 Ом и I = 5,5 А. Ответ: ___________________________.
На экзамене будет 60 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. Ответ: ___________________________.
Открытый вариант
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1640 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние до Вологды по шоссе равно 700 км, а цена бензина 60 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих? Ответ: ___________________________.
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций. ФУНКЦИИ А) y = 2 x − 3 Б) y = 4 x − x
В) y = x − x + 2
ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) функция убывающая 2) функция возрастающая 3) функция имеет точку максимума 4) функция имеет точку минимума
Г) y = 5 − 3 x В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А Б В Г
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень
Хозяйка к празднику купила морс, мороженое, крабовые палочки и рыбу. Мороженое стоило дороже крабовых палочек, но дешевле рыбы, морс стоил дешевле мороженого. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Рыба — самая дорогая из покупок. 2) Среди указанных четырёх покупок есть три, стоимость которых одинакова. 3) Морс стоил дешевле рыбы. 4) За морс заплатили больше, чем за мороженое. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: ___________________________.
План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: ___________________________.
Колесо имеет 45 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: ___________________________.
Открытый вариант
Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров. Ответ: ___________________________.
Сумма двух углов ромба равна 120° , а его меньшая диагональ равна 14. Найдите периметр этого ромба. Ответ: ___________________________.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: ___________________________.
Найдите значение выражения
29 2 3 : + . 7 7 4
Ответ: ___________________________.
Пачка сливочного масла стоит 270 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 10 %. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера? Ответ: ___________________________.
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень
Найдите значение выражения
Ответ: ___________________________.
Решите уравнение x = 9. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них. Ответ: ___________________________.
Число m равно 0,5. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца. ЧИСЛА 3 А) m Б) − m − 1 В) 6 + m
[ 0;1] 3) [ 2; 3 ] 4) [ 4; 5 ] 2)
Г) m 2
Запишите в приведённой в ответе соответствующий отрезку номер. Ответ:
А Б В
ОТРЕЗКИ [ − 2; − 1]
таблице
каждой
буквой
Открытый вариант
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число. Ответ: ___________________________.
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 19 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 342 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Ответ: ___________________________.
В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? Ответ: ___________________________.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.
Математика профильная — текст
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов №
1. КИМ
–0,8
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером. Желаем успеха! Справочные материалы sin 2α = 2sin α ⋅ cosα 2 2 cos 2α = cos α − sin α sin ( α + β ) = sin α ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ cos ( α + β ) = cosα ⋅ cosβ − sin α ⋅ sinβ
Открытый вариант
Часть 1 Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предполагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, угол B равен 12°, CD — медиана. Найдите величину угла ACD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________________________.
Даны векторы a ( 6; 9 ) и b ( 4; − 2 ) . Найдите скалярное произведение a ⋅ b. Ответ: ___________________________.
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 36. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Ответ: ___________________________.
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? Ответ: ___________________________.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г. Ответ: ___________________________.
Найдите корень уравнения 3
= 27.
Ответ: ___________________________.
Найдите значение выражения log 3 69 − log 3 23. Ответ: ___________________________.
y = 5x − 9
Прямая
является
касательной
графику
y = 20 x − 15 x + c. Найдите c. Ответ: ___________________________.
функции
Открытый вариант
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным 2 ускорением a (в км/ч ). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле
v = 2la , где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,6 км, развить 2 скорость 90 км/ч. Ответ дайте в км/ч . Ответ: ___________________________.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 29 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 31 час после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс? Ответ: ___________________________.
На координатной плоскости построены две прямые. Первая прямая проходит через точки ( − 4; 0 ) и ( 0; 4 ) . Вторая прямая проходит через точки ( 0; 0 ) и (1; 2 ) . Найдите абсциссу точки пересечения этих прямых.
Ответ: ___________________________.
Найдите точку минимума функции y = x + 9 x + 11. Ответ: ___________________________. Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.
Открытый вариант
МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
Часть 2 Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 13
а) Решите уравнение cos 2 x + 1 +
2 cos ( x − π ) =
2 − 2cos x.
9π . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3π; 2
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q , R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2. а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD. б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Решите неравенство
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна общая сумма платежей в 2028 году?
x +1
4 − 3⋅ 2 x −1
≤ 0.
Открытый вариант
Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K. а) Докажите, что треугольник BCK равнобедренный. б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади 3 треугольника BСK , если cos ∠BAC = . 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x 2 − 8 x = 2 x − a − 16 имеет ровно три различных решения.
Цифры четырёхзначного числа abcd , для которого a ≠ 0 и d ≠ 0, записали в обратном порядке и получили четырёхзначное число dcba. а) Может ли разность abcd − dcba равняться 2187? б) Может ли разность abcd − dcba равняться 2025? в) Сколько различных положительных значений может принимать разность abcd − dcba ?
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.