Демоверсия ЕГЭ 2025 по профильной математике от ФИПИ — задания, ответы и критерии

Официальная система оценивания ФИПИ. Сначала решите задания самостоятельно.

Система оценивания экзаменационной работы по математике (профильный уровень)

Правильное выполнение каждого из заданий 1–12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если ответ записан в той форме, которая указана в инструкции по выполнению задания, и полностью совпадает с эталоном ответа. Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Пример 1 61 12 1,125 0,35 0,992 4 2,76 6 5 12 7 –83

Правильный ответ Пример 2 Пример 3 18 157 29 340 104 0,38 0,15 17 93 2 125 –1,4

Пример 4 5

Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным; все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках, входящих в федеральный перечень учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

а) Решите уравнение 3

2sin x =

2 cos x + 2sin x.

5π б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  − 4π; −  .  2 

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 2 2 2sin x ⋅ 1 − cos x − 2 cos x − 2sin x = 0 ;

2sin x − 2sin x ⋅ cos x − 2

2sin x ⋅ cos x +

Значит,

cos x = 0 ,

откуда

2 cos x − 2sin x = 0 ; 2

2 cos x = 0 ; cos x ⋅ 2sin x +

π + πk , 2

k ∈ ,

π 3π + 2πn , n ∈ , или x = − + 2πm , m ∈  . 4 4 б) С помощью числовой окружности отберём 5π корни, принадлежащие отрезку  − 4π; −  .  2  7π 11π 5π ;− ;− . Получим числа: − 2 4 2 π π Ответ: а) + πk , k ∈ ; − + 2πn , n ∈ ; 2 4 3π Ответ: − + 2πm , m ∈  ; 4 7π 11π 5π ;− ;− . Ответ: б) − 2 4 2

2 = 0. sin x = −

2 , 2

откуда

7π –— 2

– 4π

11π – —– 5 π 4 –— 2

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом 1 имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K . а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α , если известно, что BK = 1, KC = 3. Решение.

A 3 CD. P 2 L Следовательно, он равнобедренный с основанием M AB, а его медиана NM перпендикулярна ребру AB. Аналогично прямая MN перпендикулярна ребру CD. B D Q б) Плоскость α, перпендикулярная прямой MN , K параллельна прямым AB и CD, поскольку эти N прямые перпендикулярны прямой MN . C Обозначим точки пересечения рёбер AC , AD и BD с плоскостью α через L, P и Q соответственно. Тогда четырёхугольник KLPQ является прямоугольником, поскольку его стороны KL и PQ параллельны ребру AB, стороны KQ и LP параллельны ребру CD, а прямые AB и CD перпендикулярны. Треугольники KCL и KBQ равносторонние. Следовательно, KL = KC = 3, QK = BK = 1, а площадь прямоугольника KLPQ равна KL ⋅ KQ = 3. Ответ: б) 3. а) В треугольнике ANB имеем: AN = BN =

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно 3 получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ 2 имеется верное доказательство утверждения пункта а, но при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за 1 арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых 0 выше Максимальный балл 3

Решите неравенство

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) 2

log 2 x + log 2 x + 1

≥ 0.

Решение. Запишем исходное неравенство в виде: log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) ≥0. ≥0; 2 2 2 2 2 log 2 x + 2log 2 x + 1 log 2 x + 1

Значение знаменателя log 2 x + 1

) не определено при x = 0 , равно нулю при 2

2 2 и при x = и положительно при других значениях x . 2 2 2 2 При x ≠ − , x≠0 и x≠ неравенство принимает вид: 2 2 log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) ≥ 0 ; log 2 ( x + 1) ≤ log 2 ( 2 − x ) ; 0 < x + 1 ≤ 2 − x ,

2 2 1 . Учитывая условия x ≠ − , x≠0 и x≠ , получаем: 2 2 2 2 2 1 −1 < x < − < x < 0; 0 < x ≤ . ;− 2 2 2  2  2  1 Ответ:  −1; −  ;  − 2 ; 0  ; 0; 2  . 2     откуда −1 < x ≤

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного 1 исключением точки , 2 1 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число); – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей; – в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r . Решение. По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом: 800; 680; 560; 440; 320; 200; 160; 120; 80; 40; 0. r Пусть k = 1 + . Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по 100 состоянию на январь такова: 800k ; 680k ; 560k ; 440k ; 320k ; 200k ; 160k ; 120k ; 80k ; 40k . Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими: 800k − 680 ; 680k − 560 ; 560k − 440 ; 440k − 320 ; 320k − 200 ; 200k − 160 ; 160k − 120 ; 120k − 80 ; 80k − 40 ; 40k . Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять: 5 ( 560 k − 440 ) + 5 (120 k − 80 ) = 3400 k − 2600. Получаем: 3400k − 2600 = 1480, откуда k = 1,2 и r = 20. Ответ:

20. Критерии оценивания выполнения задания

Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Верно построена математическая модель 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4. а) Докажите, что AC = CE . б) Найдите длину диагонали BE , если AD = 6. Решение. С а) В четырёхугольнике ABCD острые углы ACB и CAD опираются на равные хорды AB D и CD. Следовательно, ∠ACB = ∠CAD , а значит, B прямые BC и AD параллельны. Аналогично прямые CD и BE параллельны. M Значит, четырёхугольники ABCD и BCDE являются равнобедренными трапециями. A E Следовательно, AC = BD = CE . б) Обозначим точку пересечения диагоналей AD и BE через M . Четырёхугольник BCDM является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны. Значит: BM = CD = AB = 3, DM = BC = DE = 4. Следовательно, треугольники ABM и MDE равнобедренные, причём ∠BAM = ∠AMB = ∠DME = ∠DEM . Значит, DE 4 = , откуда эти треугольники подобны с коэффициентом подобия AB 3 получаем: DE DE 8 ME = ⋅ AM = ⋅ ( AD − DM ) = ; 3 AB AB 17 BE = BM + ME = . 3 17 . Ответ: б) 3 Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а 3 и обоснованно получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ 2 имеется верное доказательство утверждения пункта а, но при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за 1 арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых 0 выше Максимальный балл 3

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений  x 2 − 5 x − y + 3 ⋅ x − y + 3 = 0,   y = 3 x + a имеет ровно два различных решения.

Решение.

Каждое решение уравнения

( x − 5 x − y + 3 ) ⋅ x − y + 3 = 0 либо является 2

решением уравнения x − y + 3 = 0 , откуда y = x + 3 , либо является решением системы:  y = x 2 − 5 x + 3,  x 2 − 5 x − y + 3 = 0,  y = x 2 − 5 x + 3,  y = x 2 − 5 x + 3,  2  2    x − y + 3 ≥ 0;  y ≤ x + 3;  x − 5 x + 3 ≤ x + 3;  x − 6 x ≤ 0, 2

откуда y = x − 5 x + 3 при условии 0 ≤ x ≤ 6 . Для каждого из этих случаев подставим y = 3 x + a и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от a . 3− a . Первый случай: 3 x + a = x + 3 , откуда x = 2 2 Второй случай: 3 x + a = x − 5 x + 3 при условии 0 ≤ x ≤ 6 . Получаем квадратное 2 уравнение x − 8 x − a + 3 = 0 . Дискриминант этого уравнения равен 64 + 4 ( a − 3 ) = 4 ( a + 13 ) . Значит, уравнение x 2 − 8 x − a + 3 = 0 имеет два корня имеет единственный корень при при x=4 a > − 13 , a = − 13 и не имеет корней при a < − 13 .

При a > − 13 функция f ( x ) = x 2 − 8 x − a + 3 принимает наименьшее значение при x = 4 , и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения f ( x ) = 0 удовлетворяет условию 0 ≤ x ≤ 6 тогда и только тогда, когда f ( 6 ) ≥ 0 ; − a − 9 ≥ 0 , откуда a ≤ − 9 . Аналогично меньший корень уравнения f ( x ) = 0 удовлетворяет условию 0 ≤ x ≤ 6 тогда и только тогда, когда f ( 0 ) ≥ 0 ; − a + 3 ≥ 0 , откуда a ≤ 3 . 3− a Число является корнем квадратного уравнения f ( x) = 0 2 2 3− a при − 4 ( 3 − a ) − a + 3 = 0 , откуда 2

a−3 + 3 ( a − 3 ) = 0 ; ( a − 3 )( a + 9 ) = 0 , 2 то есть при a = 3 и при a = − 9 . Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при a = − 13 ; − 9 ≤ a < 3 . Ответ: a = − 13 ; − 9 ≤ a < 3 .

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением/включением 3 точек a = − 9 и / или a = 3 С помощью верного рассуждения получен промежуток ( − 9; 3 ) множества значений a , возможно, с включением граничных точек 2 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения 1 параболы и прямых (аналитически или графически) Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 4

Из пары натуральных чисел ( a; b ) , где a > b , за один ход получают пару ( a + b; a − b ) . а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару ( 806; 788 ) ? в) Какое наименьшее a может быть в паре ( a; b ) , из которой за несколько ходов можно получить пару ( 806; 788 ) ?

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

Решение. а) Из пары (100;1) за один ход получается пара (101; 99 ) , за два хода получается пара ( 200; 2 ) , за три хода получается пара ( 202;198 ) , а за четыре хода получается пара ( 400; 4 ) . б) Заметим, что за один ход из пары ( a; b ) получается пара ( a + b; a − b ) , а за два хода получается пара ( 2 a; 2b ) . Следовательно, из пары (100;1) можно

получить

только

пары

( 2 ⋅100; 2 ) и ( 2 ⋅101; 2 ⋅ 99 ) , где k — k

неотрицательное целое число. Число 806 не равно 2 ⋅ 100 и 2 ⋅ 101 , а значит, пару ( 806; 788 ) невозможно получить за несколько ходов из пары (100;1) . в) Заметим, что пару ( c; d ) за один ход можно получить только c+d c−d ; из пары при условии, что числа c и d одной чётности. 2 2 Таким образом, пара ( 806; 788 ) получается из пары ( 797; 9 ) , которая получается из пары ( 403; 394 ) . Пару ( 403; 394 ) невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число a в паре ( a; b ) , из которой за несколько ходов можно получить пару ( 806; 788 ) , равно 403. Ответ: а) да; б) нет; в) 403.

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 4

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень.

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 233/552, зарегистрирован Минюстом России 15.05.2023 № 73314) «81. Проверка экзаменационных работ включает в себя: проверку и оценивание предметными комиссиями ответов на 1) задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом <…>, в том числе устных ответов, в соответствии с критериями оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором1. <…> По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют первичные баллы за каждый ответ на задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом. <…> В случае существенного расхождения в первичных баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в первичных баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором. Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о первичных баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу». Существенными считаются следующие расхождения. 1. Расхождение между баллами, выставленными двумя экспертами за выполнение любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только те ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. 2. Расхождение между суммами баллов, выставленных двумя экспертами за выполнение заданий 13–19, составляет 3 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы. 3. Расхождение в результатах оценивания двумя экспертами ответа на одно из заданий 13–19 заключается в том, что один эксперт указал на отсутствие ответа на задание, а другой выставил за выполнение этого задания ненулевой балл. В этом случае третий эксперт проверяет только ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. 4. Ситуации, в которых один эксперт указал на отсутствие ответа в экзаменационной работе, а второй эксперт выставил нулевой балл за выполнение этого задания, не являются ситуациями существенного расхождения в оценивании.

Часть 14 статьи 59 Федерального закона от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».