Демоверсия ОГЭ 2027 по математике от ФИПИ — задания, ответы и критерии

Задания демоверсии ОГЭ 2027 по математике — текст

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

Государственная итоговая аттестация по образовательным программам основного общего образования в форме основного государственного экзамена (ОГЭ)

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по МАТЕМАТИКЕ

подготовлен федеральным государственным бюджетным научным учреждением «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Основной государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по МАТЕМАТИКЕ При ознакомлении с демонстрационным вариантом 2027 г. следует иметь в виду, что задания, включённые в демонстрационный вариант, не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2027 г. Полный перечень элементов содержания, которые могут контролироваться на экзамене 2027 г., приведён в кодификаторе элементов содержания и требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике, размещённом на сайте: www.fipi.ru. В демонстрационном варианте представлены конкретные примеры заданий, не исчерпывающие всего многообразия возможных формулировок заданий на каждой позиции варианта экзаменационной работы. Все задания, используемые для составления экзаменационных вариантов, размещены в открытом банке заданий ОГЭ на сайте fipi.ru. Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать возможность любому участнику экзамена и широкой общественности составить представление о структуре будущей экзаменационной работы, количестве и форме заданий, а также об их уровне сложности. Приведённые критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом, включённые в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа. Эти сведения дают будущим участникам экзамена возможность выработать стратегию подготовки к сдаче экзамена по математике.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ АЛГЕБРА  Формула корней квадратного уравнения: b D 2 , где D  b  4 ac . x 2a 2  Если квадратный трёхчлен ax  bx  c имеет два корня x 1 и x 2 , то

ax  bx  c  a  x  x 1  x  x 2  ; 2

если квадратный трёхчлен ax  bx  c имеет единственный корень x 0 , то ax  bx  c  a  x  x 0  . 2

 Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением y  ax  bx  c : b x0   . 2a  Формула n -го члена арифметической прогрессии  a n  , первый член которой равен a 1 и разность равна d : a n  a 1  d  n  1 .  Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:  a1  a n n Sn  . 2  Формула n -го члена геометрической прогрессии  b n  , первый член которой равен b1 , а знаменатель равен q : n 1

b n  b1  q .  Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

 q  1 b . S  n

q 1  Формулы сокращённого умножения:

 a  b  2  a 2  2ab  b 2 ;  a  b  2  a 2  2 ab  b 2 ; 2 2 a  b   a  b  a  b  .

 Свойства арифметического квадратного корня: ab  a  b при a  0 , b  0 ; a a  при a  0 , b  0 . b b  Свойства степени при a  0 , b  0 :

1 ; n a n m nm a a  a ; a

nm a a ; m a

a   a ; n m

 ab  n  a n  b n ;

 ba   ba . n

Десятки

Таблица квадратов двузначных чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Единицы 4 5 196 225 576 625 1156 1225 1936 2025 2916 3025 4096 4225 5476 5625 7056 7225 8836 9025

ГЕОМЕТРИЯ Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180  n  2  . Средняя линия треугольника и трапеции B B C MN — ср. лин. MN  AC AC M N MN  M N 2

BC  AD MN — ср. лин. MN  AD BC  AD MN  2

Описанная и вписанная окружности правильного треугольника a 3 a 3 R r 3 6 a a 2 R h a 3 a 3 h S r 2 4

B c A

Для треугольника ABC со сторонами AC  b , BC  a : a b c    2R , sin A sin B sin C где R — радиус описанной окружности.

AB  c ,

Для треугольника ABC со сторонами AC  b , BC  a : 2 2 2 c  a  b  2ab cos C .

AB  c ,

Длина окружности C  2πr Площадь круга S  πr

Площади фигур

Параллелограмм

Треугольник

S  aha S  ab sin 

1 ah 2 a 1 S  ab sin  2 S

Трапеция b

Ромб S

ab h 2

d 1 , d 2 — диагонали 1 S  d 1d 2 2

d1 d2

a Прямоугольный треугольник a c b cosα  c a tg α  b

sin α 

Теорема Пифагора: a  b  c . 2 2 Основное тригонометрическое тождество: sin α  cos α  1 .

Некоторые значения тригонометрических функций α

градусы

180

270

360

sin α

cosα

tg α

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа. Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. Если получилась обыкновенная дробь, запишите ответ в виде равной ей десятичной дроби. Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер. Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. Сначала выполняйте задания части

1. Начать советуем с тех заданий, которые вызывают у

Вас меньше затруднений, затем переходите к другим заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям. При выполнении части 1 все необходимые вычисления, преобразования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа. При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами, выданными вместе с вариантом КИМ, и линейкой. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером. Желаем успеха!

Часть 1 Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом является последовательность цифр, то запишите её без пробелов и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

Рис. 1

Рис. 2

Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины B в миллиметрах (рис. 2). Второе число — высоту боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B  195 мм и высоту боковины H  195  0,65  126,75 (мм). Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях. За буквой R следует диаметр диска d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины. Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин. Ширина шины (мм) 175 185 195

Диаметр диска (дюймы) 12 13 175/70 175/65 — 185/60 — 195/60

14 — — —

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах. Ответ: ___________________________.

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/65 R14? Ответ: ___________________________.

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах. Ответ: ___________________________.

На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 185/60 R13 меньше, чем радиус колеса с шиной 175/65 R13? Ответ: ___________________________.

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 175/65 R13? Результат округлите до десятых. Ответ: ___________________________.

Найдите значение выражения 5,2  3,1 . Ответ: ___________________________.

На координатной прямой отмечены точки A , B , C , D . Одна из них соответствует числу 77 . Какая это точка? A B C D

7 1) точка A

9 3) точка C

2) точка B

4) точка D

Найдите значение выражения

7  10 . 6 70

Ответ: ___________________________.

Решите уравнение 3( x  8)  2( x  8)  8. Ответ: ___________________________.

В магазине канцтоваров продаётся 200 ручек: 31 красная, 25 зелёных, 38 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной. Ответ: ___________________________.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. ГРАФИКИ y А)

ФОРМУЛЫ 1) 1 y x

y  x 2

1 x 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P  I R , где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R , если мощность составляет 361,25 Вт, а сила тока равна 8,5 А. Ответ дайте в омах. Ответ: ___________________________.

Укажите решение системы неравенств  х  3   2,   х  1,1  0.

1) 2)

–5 – 1,1

3) 4)

– 1,1

– 1,1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах. Ответ: ___________________________.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK . Найдите градусную меру угла B , если C  25 и AK  CK . Ответ: ___________________________.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Ответ: ___________________________. 17

Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Ответ: ___________________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Ответ: ___________________________.

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Диагонали ромба равны. 3) Тангенс любого острого угла меньше единицы. В ответ запишите номер истинного высказывания. Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

Часть 2 При выполнении заданий 20–25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.

9 Решите неравенство x  . x

Два велосипедиста одновременно отправились в 224-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Постройте график функции

 2 y   x  2 x  1 при x   2, при x   2. x  6 Определите, при каких значениях m прямая y  m имеет с графиком ровно две общие точки.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F . Найдите AB , если AF  12 , BF  5 .

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M . Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.