Демоверсия ОГЭ 2021 по математике от ФИПИ — задания, ответы и критерии

Задания демоверсии ОГЭ 2021 по математике — текст

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

Государственная итоговая аттестация по образовательным программам основного общего образования в форме основного государственного экзамена (ОГЭ)

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2021 года по МАТЕМАТИКЕ

подготовлен Федеральным государственным бюджетным научным учреждением «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2021 года по МАТЕМАТИКЕ При ознакомлении с демонстрационным вариантом 2021 г. следует иметь в виду, что задания, включённые в демонстрационный вариант, не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2021 г. Полный перечень элементов содержания, которые могут контролироваться на экзамене 2021 г., приведён в кодификаторе элементов содержания и требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике, размещённом на сайте: www.fipi.ru. В демонстрационном варианте представлены конкретные примеры заданий, не исчерпывающие всего многообразия возможных формулировок заданий на каждой позиции варианта экзаменационной работы. Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать возможность любому участнику экзамена и широкой общественности составить представление о структуре будущей экзаменационной работы, количестве и форме заданий, а также об их уровне сложности. Приведённые критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом, включённые в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа. Эти сведения дают будущим участникам экзамена возможность выработать стратегию подготовки к сдаче экзамена по математике в 2021 году.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ АЛГЕБРА • Формула корней квадратного уравнения: x=

−b± D 2 , где D = b − 4ac . 2a 2

• Если квадратный трёхчлен ax + bx + c имеет два корня: x1 и x2 , то ax + bx + c = a ( x − x 1 )( x − x 2 ) ; 2

если квадратный трёхчлен ax + bx + c имеет единственный корень x0 , то 2

ax + bx + c = a ( x − x 0 ) . 2

• Формула n -го члена арифметической прогрессии ( a n ) , первый член которой равен a1 и разность равна d :

a n = a1 + d ( n − 1) .

• Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: ( a + an ) n . Sn = 1 2 • Формула n-го члена геометрической прогрессии bn , первый член которой равен b1 , а знаменатель равен q: bn = b1 ⋅ q

n −1

• Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

( q − 1) b . S = n

q −1

Десятки

Таблица квадратов двузначных чисел

Единицы 4 5 196 225 576 625 1156 1225 1936 2025 2916 3025 4096 4225 5476 5625 7056 7225 8836 9025

ГЕОМЕТРИЯ • Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° ( n − 2 ) . • Радиус

окружности, 3 со стороной a , равен a. 6 r

вписанной

правильный

треугольник

• Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника 3 со стороной a , равен a. 3 • Для треугольника ABC со сторонами AB = c , AC = b , BC = a : a b c = = = 2R , sin A sin B sin C

где R — радиус описанной окружности. • Для треугольника ABC со сторонами AB = c , AC = b , BC = a : 2

c = a + b − 2ab cos C . • Формула длины l окружности радиусом R : l = 2 πR .

• Формула длины l дуги окружности радиусом R , на которую опирается центральный угол в ϕ градусов: l=

2 πRϕ . 360

• Формула площади S параллелограмма со стороной a и высотой h , проведённой к этой стороне: S = ah .

• Формула площади S треугольника со стороной a и высотой h , проведённой к этой стороне: S=

1 ah . 2

• Формула площади S трапеции с основаниями a , b и высотой h : S=

a+b h. 2

• Формула площади S круга радиусом R : 2

S = πR .

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2021 года по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа. Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. Если получилась обыкновенная дробь, ответ запишите в виде десятичной. Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер. Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. Сначала выполняйте задания части

1. Начать советуем с тех заданий, которые вызывают у

Вас меньше затруднений, затем переходите к другим заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям. При выполнении части 1 все необходимые вычисления, преобразования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа. При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами, выданными вместе с вариантом КИМ, и линейкой. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером. Желаем успеха!

Часть 1 Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом является последовательность цифр, то запишите её без пробелов и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

плитка

яблони 5

огород

7 ворота

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево, 3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева — гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м. Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м . Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 кв. м, вымощенная такой же плиткой. К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр. Объекты Цифры

жилой дом

сарай

баня

теплица

Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось купить, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом? Ответ: ___________________________.

Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: ___________________________.

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах. Ответ: ___________________________.

Хозяин участка планирует устроить в жилом доме зимнее отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.

Газовое отопление Электр. отопление

Нагреватель (котел)

Прочее оборудование и монтаж

Сред. расход газа / сред. потребл. мощность

Стоимость газа / электроэнергии

24 тыс. руб.

18 280 руб.

1,2 куб. м/ч

5,6 руб./куб. м

20 тыс. руб.

15 000 руб.

5,6 кВт

3,8 руб./( кВт ⋅ ч )

Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости установки газового и электрического отопления? Ответ: ___________________________. 6

Найдите значение выражения

1 + 0,07 . 4

Ответ: ___________________________. 7

На координатной прямой отмечена точка А. 0

Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел. Какому из чисел соответствует точка А? 1)

3) 0,6

4) 4

Найдите значение выражения a

( ) при a = 5 .

Ответ: ___________________________. 9

Решите уравнение x + x − 12 = 0 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней. Ответ: ___________________________.

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками. Ответ: ___________________________.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ 2 x 3) y = x 2 В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 2 1) y = x

2) y =

А Б В

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t F = 1,8t C + 32 , где t C — температура в градусах Цельсия, t F — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует − 25 градусов по шкале Цельсия? Ответ: ___________________________.

Укажите решение системы неравенств

{хх ++ 52,6≥ 1.≤ 0,

1) 2)

–2,6

–2,6

–2,6

–2,6

Ответ: 14

Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика на пятый день? Ответ: ___________________________.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123° . Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

123◦

Ответ: ___________________________.

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

Ответ: ___________________________.

Найдите площадь на рисунке.

трапеции,

изображённой 12

Ответ: ___________________________. 18

Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.

Ответ: ___________________________. 19

Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 3) В любом параллелограмме есть два равных угла. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: ___________________________. Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

Часть 2 При выполнении заданий 20–25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.

Решите уравнение x 4 = ( 4 x − 5 ) 2 .

Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки равна 6 км/ч?

Постройте график функции y =

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6 , BC = 8 . Найдите медиану CK этого треугольника.

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

x − 13 x + 36 и определите, при каких ( x − 3 )( x + 2 ) значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.