Критерии оценивания ОГЭ 2026 по математике: материалы для экспертов

Текст документа

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ___________________________________________________________________ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Методические материалы для предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ОГЭ 2026 года

МАТЕМАТИКА

Москва, 2026

Руководитель комиссии по разработке контрольных измерительных материалов для проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования по математике И.В. Ященко, в.н.с. ФГБНУ «ФИПИ». Авторы–составители: И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, П. И. Самсонов. Пособие предназначено для подготовки экспертов по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом, которые являются частью контрольных измерительных материалов (КИМ) основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике. Методические материалы включают в себя описание экзаменационной работы 2026 г., научно-методические подходы к проверке и оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом, примеры ответов участников экзамена с комментариями к оценке этих ответов, а также материалы для самостоятельной работы эксперта. Авторы будут благодарны за предложения по совершенствованию пособия.

СОДЕРЖАНИЕ Введение ...................................................................................................................................................... 4 Часть 1. Характеристика экзаменационной работы и общие подходы к оцениванию заданий......... 6 Характеристика экзаменационной работы ОГЭ .................................................................................. 6 Общие подходы к проверке и оцениванию решений заданий с развернутым ответом .................. 7 Часть 2. Примеры оценивания решений заданий 20 – 25 с краткими комментариями .................... 10 Задание 20 .............................................................................................................................................. 10 Задание 21 .............................................................................................................................................. 17 Задание 22 .............................................................................................................................................. 24 Задание 23 .............................................................................................................................................. 31 Задание 24 .............................................................................................................................................. 38 Задание 25 .............................................................................................................................................. 42 ЧАСТЬ 3 Материалы для практических занятий ................................................................................... 46 Задание 20 .............................................................................................................................................. 46 Задание 21 .............................................................................................................................................. 54 Задание 22 .............................................................................................................................................. 63 Задание 23 .............................................................................................................................................. 70 Задание 24 .............................................................................................................................................. 78 Задание 25 .............................................................................................................................................. 84 Комментарии и оценивание ................................................................................................................. 93 ЧАСТЬ 4 Материалы по оценке решений заданий с развернутым ответом для зачета или квалификационной работы ...................................................................................................................... 96 Вариант 1 ............................................................................................................................................... 98 Вариант 2 ............................................................................................................................................. 103 Вариант 3 ............................................................................................................................................. 109 Вариант 4 ............................................................................................................................................. 116 Вариант 5 ............................................................................................................................................. 122 Ответы и комментарии к материалам части 4.................................................................................. 128

Введение Основной государственный экзамен (ОГЭ) является формой государственной итоговой аттестации. ОГЭ проводится с целью определения соответствия результатов освоения обучающимися основной образовательной программы (базового или углубленного уровня) основного общего образования требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. Для проведения ОГЭ по математике используются контрольные измерительные материалы (КИМ), представляющие собой комплекты заданий, представленных в открытом банке заданий ФИПИ. ОГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 № 273-ФЗ и Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования, утверждённым приказом Минпросвещения России и Рособрнадзора от № 232/551 от 04.04.2023. Содержание КИМ определяется Федеральным государственным образовательный стандартом основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 31.05.2021 № 287) и Федеральной образовательной программой основного общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 под №370 с изменениями от 09.10.2024). В КИМ обеспечена преемственность проверяемого содержания с Федеральным компонентом государственного стандарта основного общего образования по математике (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении Федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования») и Федеральной образовательной программой основного общего образования. Настоящее пособие предназначено для подготовки экспертов по оцениванию заданий с развернутым ответом, которые являются частью измерительных материалов КИМ для основного государственного экзамена по математике. Пособие состоит из четырех частей. 1. Первая часть содержит краткое описание КИМ ОГЭ по математике 2026 г., характеризуются общие подходы к применению критериев оценивания решений заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания решений и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку. 2. Во второй части в целях организации самостоятельной и групповой работы экспертов приводятся примеры решений, которые эксперты должны по результатам коллективного обсуждения оценить в соответствии с критериями оценивания выполнения заданий с развернутым ответом. Задания снабжены комментариями и ответами, помещенными в конце второй части. 3. В третьей части приведены примеры решений заданий с развёрнутым ответом, предназначенные для проведения индивидуальных зачетных работ по проверке подготовки экспертов. 4. Четвертая часть содержит материалы по оцениванию решений заданий с развернутым ответом для зачета или квалификационной работы экспертов. 4

Все задания второй части КИМ ОГЭ по математике оцениваются в баллах в соответствии с критериями проверки заданий. Максимальный балл за каждое задание равен 2. Таким образом, суммарный максимальный балл за часть 2 равен 12. Тематическая принадлежность заданий осталась неизменной по сравнению с 2025 г. (табл.1). Задание 20 21 22 23 24 25

Тематическая принадлежность

Табл. 1

Преобразование алгебраических выражений, решение уравнений, неравенств или систем уравнений Текстовая задача Построение и исследование графика функции Геометрическая задача на вычисление Геометрическая задача на доказательство Геометрическая задача высокого уровня сложности

Часть

1. Характеристика экзаменационной работы и общие подходы к оцениванию заданий

Характеристика экзаменационной работы ОГЭ Контрольные измерительные материалы (далее КИМ) разработаны с учетом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников основной школы. Они должны овладеть математическими знаниями и видами деятельности, научиться применению полученных знаний в учебных и во внеучебных ситуациях, сформировать навыки математического мышления, использования математической терминологии, методов и приемов решения задач. Работа состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом, повышенном и высоком уровнях. При проверке базовой математической компетентности обучающиеся должны продемонстрировать владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приемов решения задач и пр.), умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять базовые математические знания в практических ситуациях. Задания части 2 КИМ направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент профильных классов. Эти части содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Все задания требуют записи решений и ответа. Задания расположены по нарастанию трудности – от простых к сложным, предполагающим свободное владение материалом и высокий уровень математической культуры. Все задания второй части носят комплексный характер. Они позволяют проверить способность к соединению знаний из различных тем школьного курса, владение широким набором приемов и способов рассуждений, а также умение грамотно записать решение. Задания части 2 КИМ относятся к алгебре и геометрии. Задания 20 и 23 наиболее простые. Они направлены на проверку владения формально-оперативными навыками: преобразование выражения, решение уравнения, неравенства, системы и решение несложной задачу на вычисление геометрической величины. Задания 21 и 24 более высокого уровня сложности. И, наконец, задания 22 и 25 высокого уровня сложности, они требуют свободного владения материалом и высокого уровня математической культуры. Эти задачи рассчитаны на обучающихся, изучавших математику на углубленном уровне. При их выполнении участник экзамена должен продемонстрировать владение широким набором математических приемов, проявить элементарные умения исследовательского характера, которые помогут успешно продолжать образование в 10 – 11 классах углубленного или профильного изучения математики, информатики и естественнонаучных дисциплин. 6

Общие подходы к проверке и оцениванию решений заданий с развернутым ответом Развернутое решение задания части 2 должно быть математически грамотным и полным. Из решения должен быть понятен ход рассуждений. Там, где это необходимо, участник экзамена может ограничиться краткими пояснениями без описания и ссылок на общеизвестные алгоритмы и факты. Лаконичное решение, содержащее основные шаги решения и не содержащее неверных утверждений и ошибочных выкладок, следует рассматривать как решение без недостатков. Краткое, полное, математически верное решение свидетельствует о высокой математической культуре участника экзамена и должно высоко оцениваться. Если решение задания второй части удовлетворяет этим требованиям, то за него следует выставить 2 балла. При этом решение может содержать описки, не влияющие на ход решения и ответ. Также не снижаются баллы за нерациональное решение, или избыточные рассуждения. Если эксперт делает общее заключение, что участник экзамена решил задачу, то решение заслуживает не менее одного балла. Два балла выставляются за полное, верное и обоснованное решение. Описки, неточности записи, отсутствие очевидных пояснений не оказывают влияния на оценивание. При наличии в верном решении непринципиальных ошибок в вычислениях, иных недостатков, не влияющих на основной ход решения, в соответствии с критериями оценивания выставляется один балл. Если решение отсутствует (в частности, дан только ответ), состоит из фрагментарных записей, несвязных рассуждений или содержит существенную математическую ошибку, то за решение следует выставить 0 баллов. Эту же оценку – 0 баллов – следует выставить и в том случае, если ошибка в записях или даже описка привели к тому, что участник экзамена решал, по сути, другую задачу (задачу с измененным условием). Участник экзамена может использовать без доказательств и обоснований, утверждения, факты, методы из любого действующего учебника. Если утверждение избыточно, но эквивалентно общеизвестному истинному высказыванию (например, утверждение о подобии треугольников по трём углам), то его использование в решении не является недостатком. В решении задач, где требуется составление стандартной математической модели (например, задачи на движение или совместную работу), отсутствие комментариев к составлению верного уравнения и его решению в общепринятых, естественных обозначениях и ограничениях на переменные (явно следующих из условия задачи), отсутствие явного указания на единицы измерения (при условии верного составления и решения уравнения) не является основанием для снижения баллов. Ключевая задача ОГЭ по математике – дать возможность участнику экзамена продемонстрировать уровень освоения требований ФГОС. Избыточные требования при проверке приводят к получению нулевых баллов как теми участниками, кто вовсе не приступал к выполнению задания, так и теми, кто математически верно его выполнил, но изложил в форме, отличной от ожидаемой конкретным экспертом. Это приводит к демотивации школьников и учителей, к снижению количества участников, 7

приступивших к выполнению заданий второй части экзамена и, в целом, количества школьников, выбирающих профильный уровень изучения математики. Должно быть выполнено единство требований к участникам ОГЭ по математике во всех регионах Российской Федерации, исключены ситуации принципиально разного подхода к оцениванию разными предметными комиссиями. На основе накопленного опыта можно сформулировать несколько принципов работы экспертов и предметных комиссий. 1. Эксперт не оценивает оформление задания (расположение текста и выкладок, наличие или отсутствие тех или иных элементов записи и т. п.). Эксперт оценивает только математическую корректность и полноту о решения. 2. Следует различать функции ГИА и текущего контроля. Разумеется, грамотный учитель отрабатывает рациональные подходы к решению и оптимальные способы записи, требует от учеников дополнительных обоснований и проверок, которые уменьшают вероятность ошибки. Однако на итоговом контроле, если решение отличается от методических образцов, но не содержит ошибок, оно должно быть оценено полным числом баллов. Поэтому эксперт не должен, опираясь на свой методический опыт, требовать конкретных подходов к записи решения, ожидать дословных формулировок утверждений или типовых алгоритмов решения задач, поскольку это приводит к субъективному расширению критериев оценивания и противоречит цели экзамена. Следует оценивать грамотность и истинность утверждений и формулировок, данных в решении. Не следует оценивать их соответствие формулировкам в определённом учебнике или методическом пособии. 3. Не следует оценивать продвижение участника экзамена в решении задачи. Оценивается только решение целиком. Если оно содержит существенные математические ошибки, то в соответствии с критериями оценивания должна быть выставлена оценка 0 баллов. 4. Экзаменационные комиссии не должны принимать дополнительные требования к оформлению или способу изложения решений заданий. Такие требования недопустимы, поскольку расширяют или сужают общие критерии оценивания, при этом нарушается принцип единства требований. тов . 1

Результаты проверки фиксируются в протоколе проверки развернутых отве-

Организационно-технологическая схема, используемая при проведении ОГЭ в субъектах Российской Федерации, может предполагать заполнение протокола проверки развернутых ответов в печатной или в электронной форме.

Рис.

1. Вариант бланка протокола проверки развернутых ответов

К сожалению, случаи необоснованного снижения баллов за верные и корректные решения отталкивают школьников от математики и провоцирует в учительской среде подмену изучения математики натаскиванием на шаблоны решений. Необоснованные и непредсказуемые требования экспертов дезориентируют учащихся и учителей, смещая фокус с математики на «оформление» решений. Главная задача эксперта – отличить математически верное и обоснованное решение от неверного и оценить представленное решение в соответствии с критериями оценивания. Недопустимо как занижение оценки не в соответствии с критериями, так и завышение в том случае, когда решение содержит математические ошибки.

Часть 2. Примеры оценивания решений заданий 20 – 25 с краткими комментариями Задание 20 2

Пример 1. Решите уравнение x − 6 x + 6 − x =

6 − x + 7.

Комментарий. Приведенное решение задачи, в соответствии с критериями проверки задания, соответствует 2 баллам. Оно полное и не содержит математических ошибок. Считать, что участник экзамена, не решив линейное неравенство 6 − х ≥ 0 , не объяснил, почему число 7 не является корнем данного уравнения, нельзя. Следует считать избыточным и требование, чтобы неравенство 6 − х ≥ 0 было доведено до вида х ≤ 6 , или чтобы была непосредственная ссылка на неравенство. Такие требования не улучшают решение. В приведенном решении ясно видны все шаги, необходимые преобразования и логические переходы.

Пример 2. Решите уравнение x=

( x − 12 ) 2 .

Комментарий. Приведенное решение уравнения полное, верное и лаконичное. Оно не содержит ошибок, ход решения понятен. Обратим внимание на то, что участник экзамена может решать квадратное уравнение любым доступным ему способом: выделять полный квадрат, использовать формулы корней, теорему Виета, искать один или оба корня подбором и т.п. При использовании теорем Виета проверка положительности дискриминанта избыточна. Заметим, что запись «нет корней» для квадратного уравнения является корректной. Не нужно требовать от участников экзамена уточнения о существовании или отсутствии именно действительных корней. Оценка 2 балла.

Пример 3. Решите неравенство ( х − 2 ) < 3 ( х − 2 ) . 2

Комментарий. Критерии обязывают выставить 0 баллов, поскольку решение квадратного неравенства ошибочное.

0. Пример

4. Решите уравнение х3 + 3 х 2 − х − 3 =

Комментарий. Критерии обязывают выставить 0 баллов. Помимо неверного знака во второй строке перед второй скобкой, допущена ошибка при решении уравнения х 2 = 1 .

Пример

5. Решите уравнение

1 1 − −6 = 0. x2 x

Комментарий. Критерии обязывают выставить 2 балла, поскольку в решении нет ни ошибок, ни неточностей. Пример

6. Решите уравнение

1 3 − −4= 0. x2 x Комментарий. Оценка 2 балла. 1 Уравнения = a может быть решено различx ными способами. Возможно пользоваться тем, что x и a взаимно обратны или свойством пропорции. Приведенное решение математически корректное и полное.

Решите неравенство ( x − 2 ) 2 < 3 ( x − 2 ) . Решение. Преобразуем исходное неравенство:

( x − 2 )( x − 2 − 3 ) < 0 ,

откуда 2 < x < 2 + 3 . Ответ: (2; 2 + 3) . Критерии оценивания выполнения задания 20 Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их 1 учётом дальнейшие шаги выполнены верно Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Примеры оценивания решения задания 20 Пример 7. Решите неравенство ( x − 2 ) 2 < 3 ( x − 2 ) . Ответ: (2; 2 + 3) .

Комментарий. Все этапы решения присутствуют, ответ найден верно. Оценка 2 балла.

Пример 8. Решите неравенство − Ответ: ( −2 − 5; − 2 + 5 )

16 ≥0. ( x + 2 )2 − 5

Комментарий: Алгоритм решения неравенства верный. Допущена грубая ошибка в преобразовании иррациональных выражений. Оценка: 0 баллов. Пример 9. Решите неравенство ( x − 2 ) 2 < 3 ( x − 2 ) . Ответ: (2; 2 + 3) .

Комментарий. Допущена ошибка в разложении выражения на множители, имеется логическая ошибка в решении неравенства. Оценка 0 баллов. 16

Задание 21 Пример 1. Баржа прошла против течения реки 24 км и, повернув обратно, прошла ещё 32 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Комментарий. Решение полное и верное. В соответствии с критериями оно оценивается 2 баллами. Отсутствие явных ограничений на знаменатель дроби не является ошибкой в данной задачи, так как множители в знаменателе - это скорости, и по смыслу задачи скорость баржи не может быть равна скорости течения реки. Поэтому, в данном случае переход от дробно-рационального уравнения к квадратному корректный, учитывающий естественные ограничения. Дополнительных пояснений к составленному уравнению не требуется.

Пример

2. Автомобиль двигался с постоянной скоростью из пункта

А в пункт Б, расстояние между которыми 720 км. Другой автомобиль двигался с постоянной скоростью, которая была на 30 км/ч больше, чем скорость первого автомобиля, и приехал в Б на 4 часа раньше первого автомобиля. Найдите скорость второго автомобиля.

Комментарий. Приведенное решение понятное, верное и завершенное. Решая квадратное уравнение, участник экзамена на полях допускает описку c = 5400 . Однако в следующей строке используется число –5400. Отсутствует явное указание на условие x ( x + 30 ) ≠ 0 , но в данном случае это следует из естественных ограничений. В соответствии с критериями оценка соответствует 2 баллам.

Пример 3. Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Комментарий. В приведённом решении неверно составлена математическая модель к задаче. Критерии диктуют оценку 0 баллов.

Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Решение. Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде равна v км/ч. Получаем уравнение: 210 210 ; − = 4 v−3 v+3 2 210v + 630 − 210v + 630 = 4v − 36 ; 2 v = 324 , откуда v = 18 . Ответ: 18 км/ч. Критерии оценивания выполнения задания 21 Содержание критерия Баллы Ход решения задачи верный, получен верный ответ 2 Верно составлена математическая модель задачи (в алгебраической или 1 иной форме), однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Примеры оценивания решения задания 21 Пример 4. Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: 18 км/ч.

Комментарий. Задача решена верно. Оценка 2 балла.

Пример 5. Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: 18 км/ч.

Комментарий. Верно составлено уравнение. Допущена ошибка в преобразованиях. Оценка 1 балл.

Пример 6. Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: 18 км/ч.

Комментарий. Неверно составлено уравнение к задаче. Оценка 0 баллов.

Задание 22 Пример

1. Постройте график функции

 x 2 + 4 x + 7, при x ≥ −4,  y =  16  − x , при x < −4.

При каких значениях m прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком функции?

Комментарий. В решении нет ошибок, обе части графика построены верно, продемонстрировано понимание алгоритмов построения гиперболы и параболы, показаны области, где расположены нужные прямые, границы промежутков, в которых находятся значения параметра, считываются однозначно из таблиц. Критерии диктуют оценку 2 балла. Обратим внимание, что указание вида линии избыточно, это не требуется условием.

Постройте график функции

y = x ⋅ ( x + 1) − 3 x . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение. Построим график функции 2 y= − x − 4 x при x < 0 и график

функции y = x − 2 x при x ≥ 0 . Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол. Получаем, что m = − 1 или m = 4 . Ответ: m = − 1 ; m = 4 .

Критерии оценивания выполнения задания 22 Содержание критерия Баллы График построен верно, верно найдены искомые значения параметра 2 График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно 1 или не найдены Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Примеры оценивания решения задания 22 Пример 2. Постройте график функции y = x ⋅ ( x + 1) − 3 x . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ: m = − 1 ; m = 4 .

Комментарий. Решение полное и верное. Оценка 2 балла.

Пример 3. Постройте график функции y = x ⋅ ( x + 1) − 3 x . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ: m = − 1 ; m = 4 .

Комментарий. График построен верно, но значения т не найдены. Оценка 1 балл.

Пример 4. Постройте график функции y = x ⋅ ( x + 1) − 3 x . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ: m = − 1 ; m = 4 .

Комментарий. График построен с ошибкой: неверно найдена ордината вершины второй параболы и в точке х = 0 явно видна точка разрыва. Оценка 0 баллов.

Задание 23 Пример 1. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

Комментарий. В решении использована не теорема Пифагора в формулировке учебника, а эквивалентное ей утверждение. В экзаменационной работе чертеж является лишь иллюстрацией к решению геометрической задачи, качество его построения не оценивается. В соответствии с критериями 2 балла.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 16, а гипотенуза равна 34. Найдите высоту этого треугольника, проведенную к гипотенузе.

Комментарий. Указание на то, что гипотенузой является сторона АВ, прямо следует из описания условия в рубрике «Дано», прямой переход от квадрата длины BC к самой длине верный. Критерии оценивания предписывают поставить 2 балла.

Пример 3. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC . Найдите AB , если AH = 9 , AC = 36 .

Комментарий. Критерии обязывают выставить 0 баллов, поскольку решение содержит ошибки в нахождении отношения отрезка АН к НС и угла АВН . Обратим внимание на то, что верный ответ в данном случае не играет роли.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8 . Найдите высоту ромба. Решение.

H C D ABCD — ромб, поэтому AD = DC = DH + HC = 29 . Из треугольника ADH находим:

Ответ: 20.

AH =

AD − DH

= 20 .

Критерии оценивания выполнения задания 23 Содержание критерия Баллы Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен вер2 ный ответ Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или 1 вычислительные ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Примеры оценивания решения задания 23 Пример 4. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8 . Найдите высоту ромба. Ответ: 20.

Комментарий. Решение полное и верное. Оценка 2 балла.

Пример 5. Высота, опущенная из вершины ромба, делит противоположную сторону на отрезки равные 24 и 2, считая от вершины острого угла. Вычислите длину высоты ромба. Ответ: 10.

Комментарий. Вычислительная ошибка при нахождении разности под знаком корня. Оценка 1 балл.

Пример 6. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8 . Найдите высоту ромба. Ответ: 20.

Комментарий. Ответ верный, однако, решение содержит геометрическую ошибку: сторона AD не складывается из отрезков DH и HC . Оценка 0 баллов.

Задание 24 Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D , причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD . Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны. Доказательство. Точка E равноудалена от точек C и D , поэтому эта точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD . Аналогично, точка F лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD . Значит, прямая EF является серединным перпендикуляром к отрезку CD .

Критерии оценивания выполнения задания 24 Содержание критерия Баллы Доказательство верное, все шаги обоснованы 2 Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Примеры оценивания решения задания 24 Пример 1. Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Комментарий. Доказательство понятное, полное и верное. Оценка 2 балла.

Пример 2. Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Комментарий. В последнем абзаце содержатся лишенные смысла утверждения «высоты пересекают точку под прямым углом», «высоты опираются на одну дугу». Имеется в виду, что оба отрезка EF и FK перпендикулярны CD , и это доказано выше. Поскольку рассуждение, в целом, понятное и верное, эти недостатки можно отнести к несущественным неточностям. Оценка 1 балл.

Пример 3. Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Комментарий. Не доказано, что CK = KD , не доказано, что точка F лежит на высоте EK. Без этого рассуждение не является достаточным. Оценка 0 баллов.

Задание 25 В треугольнике ABC биссектриса угла A , делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 25 : 24 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 14 . Решение. Пусть биссектриса, проведенная из угла A , пересекает высоту BH в точке O (см. рис.). Пользуясь свойством биссектрисы, из треугольника ABH находим: BA BO 25 = = . AH OH 24 Следовательно, AH 24 cos = A = . AB 25 Тогда

24 7 =. sin A =− 1 25 25 По теореме синусов из треугольника ABC находим: BC 14 ⋅ 25 = = 25 . 2sin A 2⋅7 Ответ: 25.

Критерии оценивания выполнения задания 25 Содержание критерия Баллы Ход решения верный, получен верный ответ 2 Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или 1 вычислительные ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Примеры оценивания решения задания 25 Пример 1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 25 : 24 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 14 . Ответ: 25.

Комментарий. Решение полное и верное. Оценка 2 балла.

Пример 2. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 25 : 24 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 14 . Ответ: 25.

Комментарий. Ход решения понятен, все шаги присутствуют, но допущена математическая ошибка: при возведении в квадрат выражений 25у и 24 у коэффициенты остались без изменения. Оценка 0 баллов.

Пример 3. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 25 : 24 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 14 . Ответ: 25.

Комментарий. Свойство вписанных углов применяется к углу BKM , который не является вписанным. Это геометрическая ошибка. Оценка 0 баллов.

ЧАСТЬ 3 Материалы для практических занятий Оцените решения, данные в упражнениях. Комментарии и ответы в конце части. Задание 20 2 Упражнение 20.1. Решите неравенство ( х − 2 ) < 3 ( х − 2 ) .

Ответ: 2; 2 + 3 .

Упражнение 20.2. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

Упражнение 20.3. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: − 3 ; − 1 ; 1

= Упражнение 20.4. Уравнение х Ответ: − 5 ; 3

( 2 х − 15 ) 2 .

Упражнение 20.5. Решите уравнение x3 + 4 x 2 − x − 4 = 0. Ответ: −4, − 1, 1.

Упражнение 20.6. Решите уравнение х 2 − 3 х + 6 − х =

6 − х + 40 .

Ответ: − 5 .

Упражнение 20.7. Решите уравнение ( х − 2 ) ( х 2 + 2 х + 1)= 4 ( х + 1) . Ответ: − 2, −1, 3 .

Упражнение 20.8. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

Упражнение 20.9. Решите уравнение

1 3 + − 10 = 0. x2 x

Ответ: −0,2, 0,5 .

Упражнение 20.10. Решите уравнение

1 3 + − 10 = 0. х2 х

Ответ: − 0,2, 0,5 .

Упражнение 20.11. Решите уравнение Ответ: − 0,2, 0,5 .

1 3 + − 10 = 0. х2 х

Упражнение 20.12. Решите уравнение ( х − 2 ) ( х 2 + 2 х + 1)= 4 ( х + 1) . Ответ: − 2, −1, 3 .

Упражнение 20.13. Решите уравнение 3 2 0. x + 3x − x − 3 = Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

Упражнение 20.14. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

Задание 21 Упражнение 21.1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

Упражнение 21.2. Игорь и Паша могут покрасить забор за 20 часов, Паша и Володя – за 21 час, а Володя и Игорь за 28 часов. За какое время покрасят забор мальчики, работая втроем. Ответ дайте в минутах. Ответ: 900 минут.

Упражнение 21.3. Игорь и Паша могут покрасить забор за 14 часов, Паша и Володя – за 15 часов, а Володя и Игорь за 30 часов. За какое время покрасят забор мальчики, работая втроем. Ответ дайте в минутах. Ответ: 700 минут.

Упражнение 21.4. Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ: 11 км/ч.

Упражнение 21.5. Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ: 14 км/ч.

Упражнение 21.6. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

Упражнение 21.7. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

Упражнение 21.8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

Упражнение 21.9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

Задание 22 Упражнение 22.1. Постройте график функции  x 2 + 2 при x ≥ −2,  y= 6 при x < −2. −  x Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Ответ: 0 < m < 2 , m > 6 .

Упражнение 22.2. Постройте график функции  x 2 + 2 при x ≥ −2,  y= 6 при x < −2. −  x Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Ответ: 0 < m < 2 , m > 6 .

Упражнение 22.3. Постройте график функции 2 y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Упражнение 22.4. Постройте график функции 2 y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. &%end_page&%

Ответ: m = − 1 ; m = 0 .

2,5 x − 1 и определите, при x − 2,5 x 2 каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком ни одной точки пересечения.

Упражнение 22.5. Постройте график функции y =

Ответ: 0, − 6,25, 6,25 .

Упражнение 22.6. Постройте график функции 2 y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. &%end_page&%

Ответ: m = − 1 ; m = 0 .

Упражнение 22.7. Постройте график функции 2 y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. &%end_page&%

Ответ: m = − 1 ; m = 0 .

Задание 23 Упражнение 23.1. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

Упражнение 23.2. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

Упражнение 23.3. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8 . Найдите высоту ромба. Ответ: 20.

Упражнение 23.4. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

Упражнение 23.5. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

Упражнение 23.6. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8 . Найдите высоту ромба. Ответ: 20.

Упражнение 23.7. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка KP , если AP = 21 , а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB . Ответ: 3.

Упражнение 23.8. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

Упражнение 23.9. Точка H является основанием высоты BH , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC . Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK , если BH = 13 . Ответ: 13.

Задание 24 Упражнение 24.1. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что отрезки BK и DM равны.

Упражнение 24.2. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

Упражнение 24.3. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что отрезки BK и DM равны.

Упражнение 24.4. Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, приём точки E и F лежат по одну сторону относительно прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Упражнение 24.5. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

Упражнение 24.6. Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, приём точки E и F лежат по одну сторону относительно прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Упражнение 24.7. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

Упражнение 24.8. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

Задание 25 Упражнение 25.1. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8.

Упражнение 25.2. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8.

Упражнение 25.3. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 5 : 4 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 18 . Ответ: 15.

Упражнение 25.4. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 5 : 4 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 6 . Ответ: 5.

Упражнение 25.5. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E . Найдите расстояние от точки E до прямой CD , если AD = 6 , BC = 5 . Ответ:

30 .

Упражнение 25.6. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8.

Упражнение 25.7. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8.

Упражнение 25.8. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E . Найдите расстояние от точки E до прямой CD , если AD = 6 , BC = 5 . Ответ:

30 .

Комментарии и оценивание 20.1. Допущена ошибка при определении знаков на интервалах. Оценка 0 баллов. 20.2. Рассуждения синтетические, необычные, содержат погрешности, однако верные и понятные; ответ верный. Оценка 2 балла. 20.3. Все этапы решения присутствуют. Три корня найдены верно. Отсутствие ответа не влияет на оценивание. Оценка 2 балла. 20.4. Решение полное и верное. Оценка 2 балла. 20.5. Во второй и третьей строках записи лишены смысла и не связаны друг с другом и с условием. Оценка 0 баллов. 20.6. Не учтено ограничение 6 − x ≥ 0 . Оценка 0 баллов. 20.7. Некорректная запись при нахождении дискриминанта, объединяющая в одну последовательность равенств . Этот недостаток, по сути, связан с очевидно лишним знаком равенства, при этом, ход решения в этой части верен и понятен. При нахождении корня имеется арифметическая ошибка – потерян знак. Оценка 1 балл. 20.8. Решение полное и верное. Ответ верный. Оценка 2 балла. 20.9. Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ. Оценка 2 балла. 20.10. Преобразования выполнены верно. Арифметическая ошибка при нахождении корня. Оценка 1 балл. 20.11. Имеются признаки, характерные для несамостоятельного выполнения: строки решения, начиная с четвертой, не связаны между собой. Несколько раз «потеряны» знаки, несоответствия в записях и вычислительная ошибка в конце. Оценка 0 баллов. 20.12. Имеется арифметическая ошибка: вместо свободного члена −6 , получился свободный член −2 . В результате не найдены два корня из трех. Ошибка повлияла на ход решения. Оценка 0 баллов. 20.13. Отрицательный корень уравнения х 2 − 1 = 0 не найден. Оценка 0 баллов. 20.14. Множественные ошибки при разложении на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Оценка 0 баллов. 21.1. Ответ найден подбором. Отсутствие других решений не обосновано. Критерий на 1 балл неприменим, так как составленное равенство неверно. Оценка 0 баллов. 21.2. Ход решения понятный, ответ верный. Оценка 2 балла. 21.3. Логическая ошибка — участник экзамена перепутал производительность труда и время. Оценка 0 баллов. 21.4. Ход решения понятный, ответ верный. Однако допущена арифметическая ошибка при вычислении побочного корня. Оценка 1 балл. 21.5. Вместо «224 км» написал «240 км». Относительно значения «240 км» задача решена верно. Но решена другая задача. Оценка 0 баллов. 21.6. Верно составлено и решено уравнение, но не найдена искомая скорость. Оценка 1 балл. 21.7. Уравнение составлено верно, но при его решении допущена ошибка при приведении алгебраических дробей к общему знаменателю. Оценка 1 балл. 21.8. Ответ найден подбором. Отсутствие других решений не обосновано. Оценка 0 баллов. 93

21.9. Верно составлено уравнение и найдены его корни. Однако, в интерпретации модели допущена грубая ошибка. Оценка 1 балл. 22.1. График построен верно, верно найдены значения m . Оценка 2 балла. 22.2. График построен верно, верно найдены значение m . Оценка 2 балла. 22.3. Неверно построена правая часть графика. Оценка 0 баллов. 22.4. График построен неверно, так как при раскрытии модуля не рассмотрен случай, когда х + 2 < 0 . Оценка 0 баллов. 22.5. График построен верно, верно найдены 2 из 3 значений k. Оценка 1 балл. 22.6. График изображён, но способ его построения не ясен. Кроме того, в таблице вместо точки ( − 3; − 1) стоит точка ( − 3;1) . Значения параметра найдены неверно. Оценка 0 баллов. 22.7. Построение графика по сути, не выполнено, в частности, не указано ни одно числовое значение на осях. Верно найдено одно значение т из двух. Оценка 0 баллов. 23.1. Решение содержит существенную геометрическую ошибку: неверно применено свойство прямоугольного треугольника. Оценка 0 баллов. 23.2. Решение лаконичное, но полное и верное. Оценка 2 балла. 23.3. Доказано подобие треугольников DOC и АНС, верно составлена пропорция, из неё верно найдена диагональ АС. Но в записи теоремы Пифагора для треугольника АНС допущена геометрическая ошибка. Оценка 0 баллов. 23.4. Решение содержит грубые ошибки: в определении расстояния от точки до прямой и в применении свойств ромба. Оценка: 0 баллов. 23.5. Задача решена верно. Имеется недочёт – отсутствие значка градус. Оценка 2 балла. 23.6. Ход решения понятен, все шаги выполнены правильно. Наличие квадрата в за2 писи АН = 292 − 212 следует считать оплошностью, не влияющей на правильность решения и оценку. Оценка 2 балла. 23.7. Ход решения верный, все шаги выполнены правильно, но в конце допущена суBC 3,= AB 1. Оценка 0 баллов. щественная ошибка: предположение= 23.8. Ход решения верный, все шаги выполнены правильно. Оценка 2 балла. 23.9. Не доказано, что отрезок PK является диаметром окружности. Оценка 0 баллов. 24.1. Доказательство верное, хотя и не очень рациональное. Все шаги обоснованы. Оценка 2 балла. 24.2. В доказательстве пропущены ключевые моменты доказательства. Оценка 0 баллов. 24.3. В работе вместо предложенной задачи рассматривается частный случай, когда точки K и М являются серединами сторон параллелограмма. Отметка 0 баллов. 24.4. Ход рассуждений понятен. В целом, доказательство верное. Оценка 2 балла. 24.5. Доказательство опирается на неверное утверждение: равенство двух параллелограммов по четырём углам и одной стороне. Оценка 0 баллов. 24.6. Доказательство верное, все шаги обоснованы. Оценка 2 балла. 24.7. Отсутствует логическая связность решения. Оценка 0 баллов. 24.8. Доказательство верное и полное. Оценка 2 балла.

25.1. Решение опирается на то, что точка D совпадает с центром окружности, что, вообще говоря, не верно. Оценка 0 баллов. 25.2. Решение опирается на то, что MD : AM = MH : HD , что неверно. Оценка 0 баллов. 25.3. В начале решения корявая попытка сформулировать свойство биссектрисы треугольника. Тем не менее, решение верное, полное и понятное. Отметка 2 балла. 25.4. Логическая ошибка, неверно применено свойство биссектрисы. Оценка 0 баллов. 25.5. Ход решения верный, все шаги присутствуют, допущена ошибка: при применении свойства касательной вместо 5CD подставлено CD . Отсюда неверный ответ. Оценка 1 балл. 25.5. Решение верное. Оценка 2 балла. 25.7. Ход решения верный, все шаги присутствуют, но не обосновано, что точка K лежит на окружности. Оценка 1 балл. 25.8. Ход решения верный, все шаги присутствуют, имеющееся неверное обозначение угла в п. 4 следует считать несущественной оплошностью. Оценка 2 балла.

ЧАСТЬ 4 Материалы по оценке решений заданий с развернутым ответом для зачета или квалификационной работы Опираясь на приведенные критерии оценивания, оцените решения заданий 20 – 25 в предложенных вариантах. Критерии оценивания выполнения задания 20 Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их 1 учётом дальнейшие шаги выполнены верно Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 Критерии оценивания выполнения задания 21 Содержание критерия Баллы Ход решения задачи верный, получен верный ответ 2 Верно составлена математическая модель задачи (в алгебраической или иной форме), однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ 1 Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 Критерии оценивания выполнения задания 22 Содержание критерия Баллы График построен верно, верно найдены искомые значения параметра 2 График построен верно, но искомые значения параметра найдены не1 верно или не найдены Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Критерии оценивания выполнения задания 23 Баллы Содержание критерия Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный 2 ответ Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вы1 числительные ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 Критерии оценивания выполнения задания 24 Баллы Содержание критерия Доказательство верное, все шаги обоснованы 2 Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 Критерии оценивания выполнения задания 25 Содержание критерия Баллы Ход решения верный, получен верный ответ 2 Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вы1 числительные ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Вариант 1 Задание Оценка

Таблица оценивания 24 25

20. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

21. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города

А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

22. Постройте график функции

y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: m = − 1 ; m = 0 . &%end_page&%

23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

24. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

25. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8.

Вариант 2 Задание Оценка

Таблица оценивания 24 25

20. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

21. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города

А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

22. Постройте график функции

y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: m = − 1 ; m = 0 . &%end_page&%

23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

24. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

25. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8. &%end_page&%

Вариант 3 Задание Оценка

Таблица оценивания 24 25

20. Решите уравнение x + 3 x − x − 3 = 0. Ответ: Ответ: − 3 ; − 1 ; 1.

21. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города

А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ: 20 км/ч.

22. Постройте график функции

y = x + 3x − 3 x + 2 + 2 . Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: m = − 1 ; m = 0 . &%end_page&%

23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба. &%end_page&%

Ответ: 60° ; 120° ; 60° ; 120° .

24. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M — середина AD .

25. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 3 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH . Ответ: 8.

Вариант 4 Задание Оценка

Таблица оценивания 24 25

20. Решите уравнение x ( x + 6 x + 9 ) = 4 ( x + 3 ) . 2

Ответ: − 4 ; − 3 ; 1.

21. Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 25 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов? Ответ: 275 кг.

22. Постройте график функции

х+2 . 2 х + 2х Определите, при каких значениях т прямая у = т не имеет с графиком ни одной общей точки.. y= 3 −

Ответ: 3 и 3,5.

23. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB = 12 , DC = 48 , AC = 35 . Ответ: 28.

24. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD . Точка L — середина стороны AB . Докажите, что DL — биссектриса угла ADC .

25. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K . Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6 , а расстояние от точки K до стороны AB равно 6. Ответ: 72.

Вариант 5 Задание Оценка

20. Решите уравнение

Таблица оценивания 24 25

1 3 + − 10 = 0. х2 х

Ответ: − 0,2, 0,5 .

21. Из

А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ: 60 км/ч.

9x + 1 и определите, при каких значениях k 9 x2 + x прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. 22. Постройте график функции y =

Ответ: 81.

23. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 62° и 88° . Найдите BC , если радиус окружности, описанной около треугольника ABC , равен 12. Ответ: 12.

24. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC . Точка L — середина стороны AB . Докажите, что CL — биссектриса угла BCD .

25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. Ответ: 6,4.

Оценка

Задание

Вариант

Ответы и комментарии к материалам части 4

Полное и верное решение

Полное и верное решение, но имеется недостаток: ссылка на утверждение, обратное нужному

Отсутствуют ключевые элементы доказательства

Неверное условие, ученик, по сути, решает другую задачу

Решение верное

Неверно составлено уравнение

График построен верно, значения параметра не найдены

Решение содержит грубые ошибки: в определении расстояния от точки до прямой и в применении свойств тригонометрических функций

Решение полное и верное, содержит избыточные объяснения

Решение опирается на неверное утверждение: если точка делит чевиану в отношении 2:1, то это точка пересечения медиан

Потерян корень

Решение полное и верное

График построен верно, но найдены не все значения параметра

Решение содержит все ключевые шаги, верное и обоснованное

Несвязные рассуждения, неверные утверждения

Не обосновано, почему точка G лежит на окружности

Комментарий Алгебраическая ошибка: потерян знак, логическая ошибка: потерян корень − 3 Верно составлено и решено уравнение, но не найден ответ на поставленный вопрос

Решение верное и полное. Имеется недочёт в формулировке

Решение полное и верное. Имеется недочёт в записи

График построен, но значения параметра найдены неверно

Допущена существенная ошибка при применении подобия треугольников

Решение содержит все ключевые шаги, верное и обоснованное

Рассмотрен только случай, когда точка K лежит на стороне DC

Решение полное и верное

Арифметическая ошибка, ответ неверный

Вид функции не определен, точки не выколоты, дальнейшие вычисления содержат многочисленные ошибки

Решение полное и верное, хотя нерациональное

Равенство нужных углов не доказано, многочисленные логические ошибки

Арифметическая ошибка