Демоверсия ЕГЭ 2022 по базовой математике от ФИПИ — задания, ответы и критерии

Задания демоверсии ЕГЭ 2022 по базовой математике — текст

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 года по МАТЕМАТИКЕ Базовый уровень

подготовлен федеральным государственным бюджетным научным учреждением «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 года по МАТЕМАТИКЕ Базовый уровень При ознакомлении с демонстрационным вариантом контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена (ЕГЭ) 2022 г. следует иметь в виду, что задания, включённые в него, не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2022 г. Полный перечень элементов содержания, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2022 г., приведён в кодификаторах элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников образовательных организаций для проведения единого государственного экзамена 2022 г. по математике. В демонстрационном варианте представлены конкретные примеры заданий, не исчерпывающие всего многообразия возможных формулировок заданий на каждой позиции варианта экзаменационной работы. Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, об их форме и уровне сложности. В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание. Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки к ЕГЭ в 2022 г.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 года по МАТЕМАТИКЕ Базовый уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа включает в себя 21 задание. На выполнение работы отводится 3 часа (180 минут). Ответы к заданиям записываются по приведённым ниже образцам в виде числа или последовательности цифр. Сначала запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1 справа от номера соответствующего задания. КИМ

Ответ: –0,6

Если ответом является последовательность цифр, как в приведённом ниже примере, то запишите эту последовательность в бланк ответов № 1 без пробелов, запятых и других дополнительных символов. КИМ

А Б В Г Ответ: 4 3 1 2 Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланке ответов № 1 был записан под правильным номером. Желаем успеха!

Справочные материалы Алгебра Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 Десятки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Единицы 4 5 16 25 196 225 576 625 1156 1225 1936 2025 2916 3025 4096 4225 5476 5625 7056 7225 8836 9025

Свойства арифметического квадратного корня a = ab = a ⋅ b при a ≥ 0 , b ≥ 0 b

a при a ≥ 0 , b > 0 b

Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 2

− b − b − 4ac − b + b − 4ac 2 при b − 4 ac > 0 , x2 = 2a 2a b 2 x=− при b − 4 ac = 0 2a

x1 =

Формулы сокращённого умножения ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 2 2 a − b = ( a + b )( a − b )

Степень и логарифм

Свойства степени при a > 0 , b > 0 −n 1 a = n a n

a ⋅a = a

Свойства логарифма при a > 0 , a ≠ 1, b > 0 , x > 0 , y > 0 a

log a ( xy ) = log a x + log a y

n−m a =a m a

( ) n

x log a   = log a x − log a y  y k log a b = k log a b

( ab ) n = a n ⋅ b n

( ba ) = ba n

log a a = 1 log a 1 = 0

log a b

Геометрия

Средняя линия треугольника и трапеции B

MN — ср. лин. MN  AC

Длина окружности Площадь круга 2

a +b =c

BC  AD MN — ср. лин. MN  AD MN =

Теорема Пифагора

AC MN = 2

BC + AD 2

C = 2πr 2 S = πr

Правильный треугольник

a 3 3 2 a 3 S= 4 R=

a 3 6 a 3 h= 2

Площади фигур

Параллелограмм

S = ah a S = ab sin γ

Треугольник

a Трапеция

1 ah 2 a 1 S = ab sin γ 2

ha a Ромб

d 1 , d 2 – диагонали

a+b ⋅h 2

1 d d 2 1 2

Площади поверхностей и объёмы тел

Прямоугольный параллелепипед

Прямая призма

V = abc

V = S осн h

Sосн

Пирамида

Конус V =

1 S h 3 осн

Sосн

Цилиндр

S бок = πrl

Шар h

1 2 πr h 3

V = πr h S бок = 2πrh

4 3 πr 3

S = 4πr

Тригонометрические функции

Прямоугольный треугольник a c b cos α = c a tg α = b

sin α =

Тригонометрическая окружность Pα

1 sin α α

cos α

Основное тригонометрическое тождество: sin 2 α + cos 2 α = 1

Некоторые значения тригонометрических функций π π π π 3π радианы 0 π 3 6 4 2 2 градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 1 2 3 0 1 0 sin α −1 2 2 2 1 3 2 −1 1 0 0 cos α 2 2 2 3 tgα — 0 — 0 1 3 3

2π 360° 0 1 0

Функции

Линейная функция y

Геометрический смысл производной y α

y = kx+b

x k = tg α

y = f (x) x0

f ' ( x0 ) = tgα

Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, или целое число, или последовательность цифр. Ответ сначала запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Найдите значение выражения ( 6,7 − 3,2 ) ⋅ 2,4 . Ответ: ___________________________. ИЛИ

Найдите значение выражения

( 338 + 1322 ) : 185

Ответ: ___________________________. 2

Баночка йогурта стоит 14 рублей 60 копеек. Какое наибольшее количество баночек йогурта можно купить на 100 рублей? Ответ: ___________________________. ИЛИ

Килограмм моркови стоит 40 рублей Олег купил 1 кг 600 г моркови. Сколько рублей сдачи он должен получить со 100 рублей? Ответ: ___________________________. ИЛИ

Для ремонта требуется 63 рулона обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 6 рулонов? Ответ: ___________________________.

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) рост ребёнка Б) толщина листа бумаги В) протяжённость автобусного маршрута Г) высота жилого дома

ЗНАЧЕНИЯ 1) 2) 3) 4)

32 км 30 м 0,2 мм 110 см

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Ответ:

А Б В Г

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. А) Б) В) Г)

ВЕЛИЧИНЫ масса взрослого человека масса грузового автомобиля масса книги масса пуговицы

ЗНАЧЕНИЯ 1) 2) 3) 4)

8т 5г 65 кг 300 г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Ответ:

А Б В Г

На диаграмме приведены данные о длине восьми крупнейших рек России (в тысячах километров). Первое место по длине занимает река Лена. 4,5 4,0

му Ви р лю й Во лг Ен а ис е И й рт ыш Л Ту Н ена нг иж ус н ка яя О бь

На каком месте по длине находится река Амур? Ответ: ___________________________. ИЛИ

В таблице представлены данные о стоимости некоторой модели смартфона в различных магазинах. Магазин «ОК-Техника» «Скоростной» «Магия связи» «Про-фон» «Смартфон и Ко» «Прогресс-Э» «999 телефонов» «Макропоиск» «Вселенная телефонов» Найдите наименьшую стоимость предложений. Ответ дайте в рублях.

Стоимость смартфона (руб.) 6733 7600 6559 7346 6599 7548 6959 7049 6850 смартфона

среди

представленных

Ответ: ___________________________.

ИЛИ На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. На горизонтальной оси отмечены число, месяц, время суток в часах; на вертикальной оси — значение температуры в градусах Цельсия. 0 –2 –4 –6 –8 – 10 – 12 – 14 – 16 00:00 06:00 12:00 18:00 00:00 06:00 12:00 18:00 00:00 06:00 12:00 18:00 00:00 18 февраля 19 февраля 20 февраля

Определите по графику наибольшую температуру воздуха 19 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия. Ответ: ___________________________. 5

На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

Ответ: ___________________________.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: ___________________________. 6

Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей Иван Кузьмич получит после уплаты этого налога? Ответ: ___________________________. ИЛИ

ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего числа выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамена по физике? Ответ: ___________________________. ИЛИ

Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 гектара и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5 : 3 соответственно. Сколько гектаров занимают овощные культуры? Ответ: ___________________________. 7

. Найдите значение выражения 14 7 8 2 ⋅7 Ответ: ___________________________. ИЛИ

Найдите cosα , если sin α = 0,8 и 90° < α < 180° . Ответ: ___________________________.

Найдите значение выражения 2 13 − 1 2 13 + 1 . Ответ: ___________________________. ИЛИ

Найдите значение выражения log 31,8 + log 35 . Ответ: ___________________________. 8

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I R , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите P (в ваттах), если R = 5 Ом и I = 7 А. Ответ: ___________________________. ИЛИ

Среднее геометрическое трёх чисел: a, b и c – вычисляется по формуле g = 3 abc . Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25 и 27. Ответ: ___________________________. 9

Найдите корень уравнения 3 x − 3 = 81 . Ответ: ___________________________. ИЛИ

Найдите корень уравнения log 2 ( x − 3 ) = 6 . Ответ: ___________________________. ИЛИ

Решите уравнение x 2 − x − 6 = 0 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Ответ: ___________________________.

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.

30 м 25 м

Ответ: ___________________________. ИЛИ

Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?

Ответ: ___________________________.

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России. Ответ: ___________________________. ИЛИ

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной? Ответ: ___________________________.

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице. Номер переводчика 1 2 3

Язык Немецкий, испанский Английский, немецкий Английский Английский, французский Французский Испанский

Стоимость услуг (руб. в день) 7000 6000 3000 6000 2000 4000

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков (без пробелов, запятых и других дополнительных символов). Ответ: ___________________________. ИЛИ

В таблице приведены данные о шести чемоданах. Номер чемодана 1 2 3 4 5 6

Длина (см)

Высота (см)

Ширина (см)

Масса (кг)

По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера всех выбранных чемоданов (без пробелов, запятых и других дополнительных символов). Ответ: ___________________________.

Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Поставщик А

Стоимость Стоимость пеноблоков доставки (руб. за 1 м3) (руб.) 2600

Дополнительные условия Нет При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Ответ: ___________________________.

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах. Ответ: ___________________________. ИЛИ

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ: ___________________________.

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D. y

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней. ТОЧКИ A B C D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 1) − 4 2) 3 3) 2 3 4) –0,5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

B C D

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале. ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ А) 0–1 мин. Б) 1–3 мин. В) 3–6 мин. Г) 8–10 мин.

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) Рост температуры был самый медленный. 2) Температура падала. 3) Температура находилась в пределах от 40 °C до 80 °C. 4) Температура не превышала 30 °C .

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В Г

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [ − 1; 1] . ГРАФИКИ y А)

–1 0

–1 0

–1 0

–1 0

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) Функция имеет точку максимума на отрезке [ − 1; 1] . 2) Функция имеет точку минимума на отрезке [ − 1; 1] . 3) Функция возрастает на отрезке [ − 1; 1] . 4) Функция убывает на отрезке [ − 1; 1] .

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В Г

Известно, что в треугольнике ABC AC = 10 . Найдите длину медианы BM .

AB = BC = 13 ,

Ответ: ___________________________.

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна

18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное

12. Найдите площадь этого сечения. Ответ: ___________________________.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно 17.

Ответ: ___________________________.

Даны два шара радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Ответ: ___________________________.

На координатной прямой отмечены точки A, B , C и D . D A B C

0 1 2 3 4 5 6 Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами. ТОЧКИ A B C D

ЧИСЛА 1) log 2 10 7 2) 3 3) 26 4)

() 3 5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

B C D

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ .

А) 2 x ≥ 4 Б) 0,5 x ≥ 4 В) 0,5 x ≤ 4

1) 2)

Г) 2 ≤ 4

3) .

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В Г

В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка. 2) Найдётся хотя бы двое учеников из этого класса, посещающих оба кружка. 3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. 4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: ___________________________. ИЛИ

Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты. 2) Ясень, растущий во дворе школы, выше осины, растущей там же. 3) Любое дерево, помимо указанных, которое ниже ясеня, растущего во дворе школы, также ниже рябины, растущей там же. 4) Любое дерево, помимо указанных, которое ниже рябины, растущей во дворе школы, также ниже ясеня, растущего там же. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: ___________________________.

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какоелибо одно такое число. Ответ: ___________________________. ИЛИ

На шести карточках написаны цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

++

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-либо одну такую сумму. Ответ: ___________________________. ИЛИ

Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-либо одно получившееся число. Ответ: ___________________________.

Расстояние между городами А и В равно 470 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А. Ответ дайте в км/ч. Ответ: ___________________________. ИЛИ

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Ответ: ___________________________.

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какойто момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в 3 раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну? Ответ: ___________________________. ИЛИ

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Ответ: ___________________________. ИЛИ

В доме всего 14 квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее 1 и не более 4 человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 14-ю включительно живёт суммарно 12 человек. Сколько всего человек живут в этом доме? Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.