Критерии оценивания ЕГЭ 2026 по профильной математике: материалы для экспертов

Текст документа

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ___________________________________________________________________ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2026 года

МАТЕМАТИКА

Руководитель комиссии по разработке контрольных измерительных материалов, используемых при проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования по математике, И.В. Ященко, в.н.с. Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный институт педагогических измерений». Авторы: И.В. Ященко, П.И. Самсонов, А.В. Семенов, А.С. Трепалин, М.А. Черняева.

Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2026 г. по математике подготовлены в соответствии с Тематическим планом работ федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный институт педагогических измерений». Пособие предназначено для подготовки экспертов по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом, которые являются частью контрольных измерительных материалов (КИМ) для сдачи единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике профильного уровня. В методических материалах характеризуются типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике, и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку. В пособии использованы работы участников ЕГЭ 2019–2025 гг. Авторы будут благодарны за замечания и предложения по совершенствованию пособия.

Федеральный институт педагогических измерений, 2026

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................................... 4 1. Критерии проверки и оценка решений задания 13 .......................................................... 5 2. Критерии проверки и оценка решений задания 14 ........................................................ 37 3. Критерии проверки и оценка решений задания 15 ........................................................ 83 4. Критерии проверки и оценка решений задания 16 ...................................................... 111 5. Критерии проверки и оценка решений задания 17 ...................................................... 146 6. Критерии проверки и оценка решений задания 18 ...................................................... 180 7. Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ...................................................... 227

ВВЕДЕНИЕ Общие позиции и характер оценивания выполнения заданий в целом повторяют прошлогодние. Небольшие видоизменения и корректировки формулировок в содержании критериев оценивания для конкретного задания могут быть в тех случаях, когда необходимость подобного рода уточнений диктуется содержанием и структурой самого задания. Более подробное описание заданий с развёрнутым ответом и критериев оценивания их выполнения представлены ниже, в начале каждого из параграфов 1–7. В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 233/552, зарегистрирован Минюстом России 15.05.2023 № 73314) «81. Проверка экзаменационных работ включает в себя: 1) проверку и оценивание предметными комиссиями ответов на задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом <…>, в том числе устных ответов, в соответствии с критериями оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором1. <…> По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют первичные баллы за каждый ответ на задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом <…> В случае существенного расхождения в первичных баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в первичных баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют первичные баллы за каждый ответ на задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом. <…> В случае существенного расхождения в первичных баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в первичных баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором. Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о первичных баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу». Существенными считаются следующие расхождения. 1. Расхождение между баллами, выставленными двумя экспертами за выполнение любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только те ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. 2. Расхождение между суммами баллов, выставленных двумя экспертами за выполнение заданий 13–19, составляет 3 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы. 3. Расхождение в результатах оценивания двумя экспертами ответа на одно из заданий 13–19 заключается в том, что один эксперт указал на отсутствие ответа на задание, а другой выставил за выполнение этого задания ненулевой балл. В этом случае третий эксперт проверяет только ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. 4. Ситуации, в которых один эксперт указал на отсутствие ответа в экзаменационной работе, а второй эксперт выставил нулевой балл за выполнение этого задания, не являются ситуациями существенного расхождения в оценивании.

Часть 14 статьи 59 Федерального закона от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

1. Критерии проверки и оценка решений задания 13 Задание № 13 — тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение. Выделение решения уравнения в отдельный пункт а прямо указывает участникам экзамена на необходимость полного решения предложенного уравнения: при отсутствии в тексте конкретной работы ответа на вопрос пункта а задание № 13 оценивается 0 баллов. Возможны различные способы и записи развёрнутого решения. Главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения. При этом оценивается продвижение выпускника в решении задачи, а не степень следования «эталонному» решению. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования. Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ 1 получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 Комментарий. Ответ в задании с развёрнутым ответом — это решение и вывод (называемый ответом).

Задача 13 (демонстрационный вариант ЕГЭ 2026 г.) а) Решите уравнение

2sin3 x  2 cos2 x  2sin x. 5π   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   4π;   . 2 

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 2sin x  1  cos2 x  2 cos2 x  2sin x  0 ; 2sin x  2sin x  cos2 x  2 cos2 x  2sin x  0 ;

2sin x  cos2 x  2 cos2 x  0 ; cos2 x  2sin x  2  0 . Значит, cos x  0 , откуда x 

2 π π , откуда x    2πn , n  ,  πk , k  , или sin x   2 4 2

3π  2πm , m . 4 б) С помощью числовой окружности отберём корни, 5π   принадлежащие отрезку   4π;   . 2  11π 5π 7π Получим числа:  ; ;  . 2 2 4 π π Ответ: а)  πk , k  ;   2πn , n  ; 2 4 3π Ответ:   2πm , m ; 4 11π 5π 7π Ответ: б)  ;  ;  . 2 2 4

или x  

ИЛИ а) Решите уравнение

2  2cos    2 x   8 sin x  6  12 sin x.

9   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3;  . 2 

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 2  2cos 2 x  2 2 sin x  6  2 3 sin x ;

2  2 1  2sin 2 x  2 2 sin x  2 3 sin x  6  0; 4sin 2 x  2

 3  2  sin x  6  0;  2sin x  3    2sin x  2   0.

2 3 π 2π , откуда x   2πk , k  , или x   2πl , l  , или sin x   , 2 3 3 2 π 3π откуда x    2m, m , или x    2n, n  . 4 4

Значит, sin x 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, 9π   принадлежащие отрезку 3;  . 2  13π 15π 13π Получим числа: ; ; . 4 4 3 2π  Ответ: а) + 2πk , k  ;  2πl , l  ; 3 3 3π π Ответ:   2πm, m ;   2πn, n  ; 4 4 13π 15π 13π Ответ: б) ; ; . 4 4 3 Комментарий. Множество корней может быть записано по-другому. Отбор корней может быть произведён любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п. При отборе корней с помощью числовой (тригонометрической) окружности на числовой окружности должно быть: отмечены и обозначены концы числового отрезка, выделена дуга, отмечены и обозначены корни, принадлежащие данному отрезку. На окружности могут быть отмечены вспомогательные числа, принадлежащие числовому отрезку.

Задание 13.1 а) Решите уравнение

1  cos 2 x  2 sin x  2  2sin  x    .

3   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3;   . 2 

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 1  1  2sin 2 x  2 sin x  2  2   sin x  ; 2sin 2 x  2  2 sin x  2  0;

Значит, sin x  1, откуда x 

 sin x  1   2sin x  2   0.

2  π + 2πk , k  , или sin x   , откуда x    2πn, n  , 2 4 2

3π  2πm, m . 4 б) С помощью числовой окружности отберём корни, 3π   принадлежащие отрезку   3;   . 2  11π 9π 3π Получим числа:  ; ;  . 4 2 4  π Ответ: а) + 2πk , k  ;   2πn , n  ; 2 4 3π Ответ:   2πm , m ; 4 11π 9π 3π Ответ: б)  ;  ;  . 4 2 4

или x  

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 13.2 а) Решите уравнение

cos 2 x  2 sin  x     1  0.

 7π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ;  2π  .  2  Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 1  2sin 2 x  2   sin x   1  0 ; 2sin 2 x  2 sin x  0 ;  sin x  2sin x  2  0 .

Значит, sin x  0 , откуда x  πk , k  , или sin x 

2 π , откуда x   2πn , n  , или 4 2

3π  2πm , m . 4 б) С помощью числовой окружности отберём корни,  7π  принадлежащие отрезку   ;  2π  .  2  13π Получим числа:  ;  3π ;  2π . 4 π Ответ: а) πk , k  ;  2πn , n  ; 4 3π Ответ:  2πm , m ; 4 13π Ответ: б)  ;  3π ;  2π . 4 x

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 13.3 а) Решите уравнение

sin x  cos 2 x  2 cos2 x  sin x  0.  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 3π  . 2   Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 2sin x  cos2 x  sin x  2 cos2 x  sin x  0 ; 2sin x  cos2 x  2 cos2 x  0 ; cos2 x  2sin x  2  0 .

Значит, cos x  0 , откуда x 

2 π π , откуда x    2πn , n  ,  πk , k  , или sin x   2 4 2

3π  2πm , m . 4 б) С помощью числовой окружности отберём корни,  3π  принадлежащие отрезку  ; 3π  . 2  3π 7π 5π Получим числа: ; ; . 2 2 4 π π Ответ: а)  πk , k  ;   2πn , n  ; 2 4 3π Ответ:   2πm , m ; 4 3π 7π 5π Ответ: б) ; ; . 2 2 4

или x  

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ 1 получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Задание 13.4 а) Решите уравнение

sin 2 x  2sin   x   cos   x   1  0. 7π   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  2π;  . 2 

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде:

2sin x  cos x  2sin x  cos x 1  0 ;  cos x  1 2sin x  1  0 .

Значит, cos x  1 , откуда x  2πk , k  , или sin x   5π  2πm , m . 6 б) С помощью числовой окружности 7π   принадлежащие отрезку  2π;  . 2  19π Получим числа: 2π ; . 6

π 1 , откуда x    2πn , n  , или 6 2

Ответ: а) 2πk , k  ;  б) 2π ;

отберём

корни,

5π π  2πn , n  ;   2πm , m ; 6 6

19π . 6

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 13.5 а) Решите уравнение 9  81cos x  28  9cos x  3  0 .

 5π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 4π  . 2 

Решение. а) Пусть t  9cos x , тогда уравнение запишется в виде 9t 2 28t  3  0 , откуда t 

1 или t  3. 9

1 1 получим: 9cos x  ; cos x   1, откуда x    2k , k  . 9 9 π π 1 При t  3 получим: 9cos x  3 ; cos x  , откуда x   2πl , l  , или x    2πn , n . 3 3 2

При t 

б) С помощью числовой окружности отберём корни,  5π  принадлежащие отрезку  ; 4π  . 2  11π Получим числа: 3π ; . 3

Ответ: а)   2k , k  ; б) 3π ;

π π  2πl , l  ;   2πn , n  ; 3 3

11π . 3

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 13.6 а) Решите уравнение 2log 24  4sin x   5log 4  4sin x   2  0 .

 3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ; 0 .  2 

Решение. а) Пусть t  log 4  4sin x  , тогда исходное уравнение запишется в виде 2t 2 5t  2  0 , откуда 1 2 При t  2 получим: log 4  4sin x   2 , значит, sin x  4 , что невозможно.

t  2 или t  .

При t  x

π 1 1 1 получим: log 4  4sin x   , значит, sin x  , откуда x   2πn , n  , или 6 2 2 2

5π  2πm , m . 6

б) С

помощью

числовой окружности  3π  принадлежащие отрезку   ; 0 .  2  7π Получим число  . 6

отберём

корни,

5π π  2πn , n  ;  2πm , m ; 6 6 7π б)  . 6

Ответ: а)

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Примеры оценивания решений задания 13 Пример 13.1.1 а) Решите уравнение 1  cos 2 x  2 sin x  2  2sin  x    . 3   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3;   . 2   π 3π 11π 9π 3π Ответ: а) + 2πk , k  ;   2πn , n  ;   2πm , m ; б)  ; ;  . 2 4 4 4 2 4

Комментарий. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 13.1.2 а) Решите уравнение 1  cos 2 x  2 sin x  2  2sin  x    . 3   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3;   . 2   π 3π 11π 9π 3π Ответ: а) + 2πk , k  ;   2πn , n  ;   2πm , m ; б)  ; ;  . 2 4 4 4 2 4

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». При отборе корней с помощью числовой (тригонометрической) окружности допущена 9 ошибки: точка 3 на окружности явно обозначена 2 ; корень (1) неверно назван  ; 4 11 корень (2) неверно назван  . Пункт «б» не выполнен. 4 Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.1.3 а) Решите уравнение 1  cos 2 x  2 sin x  2  2sin  x    . 3   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3;   . 2   π 3π 11π 9π 3π Ответ: а) + 2πk , k  ;   2πn , n  ;   2πm , m ; б)  ; ;  . 2 4 4 4 2 4

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». Отбор корней с помощью числовой (тригонометрической) окружности не должен приниматься. На числовой (тригонометрической) окружности на рисунке должны быть отмечены (подписаны) начало и конец дуги, выделена рассматриваемая дуга, отмечены (подписаны) корни, принадлежащие этой дуге, при этом на дуге могут быть отмечены дополнительные точки, принадлежащие данной дуге. Пункт «б» не выполнен. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.1.4 а) Решите уравнение 1  cos 2 x  2 sin x  2  2sin  x    . 3   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3;   . 2   π 3π 11π 9π 3π Ответ: а) + 2πk , k  ;   2πn , n  ;   2πm , m ; б)  ; ;  . 2 4 4 4 2 4

Комментарий. В пункте «а» неверно решено простейшее тригонометрическое уравнение sin x  1. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 13.2.1 а) Решите уравнение cos 2 x  2 sin  x     1  0.  7π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ;  2π  . 2   π 3π 13π Ответ: а) πk , k  ;  2πn , n  ; ;  3π ;  2π .  2πm , m ; б)  4 4 4

Комментарий. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 13.2.2 а) Решите уравнение cos 2 x  2 sin  x     1  0.  7π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ;  2π  . 2   π 3π 13π Ответ: а) πk , k  ;  2πn , n  ; ;  3π ;  2π .  2πm , m ; б)  4 4 4

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». При нахождении целого значения k3 , удовлетворяющего неравенствам 17 11   k3   , допущена ошибка: k3  3 , что привело к неверному ответу в пункте «б». 8 8 Пункт «б» не выполнен. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.2.3 а) Решите уравнение cos 2 x  2 sin  x     1  0.  7π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ;  2π  . 2   π 3π 13π Ответ: а) πk , k  ;  2πn , n  ; ;  3π ;  2π .  2πm , m ; б)  4 4 4

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». Отбор корней с помощью тригонометрической окружности неверный, так как на отмеченной дуге обозначен корень x2 , не принадлежащий числовому отрезку  7π    2 ;  2π  , в ответе неверно записан корень x1 . Пункт «б» не выполнен.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.2.4 а) Решите уравнение cos 2 x  2 sin  x     1  0.  7π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ;  2π  . 2   π 3π 13π Ответ: а) πk , k  ;  2πn , n  ; ;  3π ;  2π .  2πm , m ; б)  4 4 4

Комментарий. В пункте «а» неверно решено простейшее тригонометрическое уравнение sin x  Оценка эксперта: 0 баллов.

2 . 2

Пример 13.3.1 а) Решите уравнение sin x  cos 2 x  2 cos2 x  sin x  0.  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 3π  . 2  π π 3π 3π 7π 5π Ответ: а)  πk , k  ;   2πn , n  ;  ; ; .  2πm , m ; б) 2 4 4 2 4 2

Комментарий. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 13.3.2 а) Решите уравнение sin x  cos 2 x  2 cos2 x  sin x  0.  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 3π  . 2  π π 3π 3π 7π 5π Ответ: а)  πk , k  ;   2πn , n  ;  ; ; .  2πm , m ; б) 2 4 4 2 4 2

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». При нахождении целого значения n в третьей строчке пункта 2) допущена ошибка. Пункт «б» не выполнен. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.3.3 а) Решите уравнение sin x  cos 2 x  2 cos2 x  sin x  0.  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 3π  . 2  π π 3π 3π 7π 5π Ответ: а)  πk , k  ;   2πn , n  ;  ; ; .  2πm , m ; б) 2 4 4 2 4 2

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». Отбор корней с помощью тригонометрической окружности неверный, так как на отмеченной дуге обозначен корень, не принадлежащий числовому отрезку. Пункт «б» не выполнен. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.3.4 а) Решите уравнение sin x  cos 2 x  2 cos2 x  sin x  0.  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 3π  . 2  π π 3π 3π 7π 5π Ответ: а)  πk , k  ;   2πn , n  ;  ; ; .  2πm , m ; б) 2 4 4 2 4 2

Комментарий. Неверно решены тригонометрические уравнения sin x  1. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 13.4.1 а) Решите уравнение sin 2 x  2sin   x   cos   x   1  0. 7π   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  2π;  . 2  π 5π 19π Ответ: а) 2πk , k  ;   2πn , n  ;  .  2πm , m ; б) 2π ; 6 6 6

Комментарий. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 13.4.2 а) Решите уравнение sin 2 x  2sin   x   cos   x   1  0. 7π   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  2π;  . 2  π 5π 19π Ответ: а) 2πk , k  ;   2πn , n  ;  .  2πm , m ; б) 2π ; 6 6 6

Комментарий. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 13.4.3 а) Решите уравнение sin 2 x  2sin   x   cos   x   1  0. 7π   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  2π;  . 2  π 5π 19π Ответ: а) 2πk , k  ;   2πn , n  ;  .  2πm , m ; б) 2π ; 6 6 6

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». Отбор корней с помощью тригонометрической окружности неверный, так как на отмеченной дуге указан корень, не принадлежащий числовому отрезку. Пункт «б» не выполнен. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.4.4 а) Решите уравнение sin 2 x  2sin   x   cos   x   1  0. 7π   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  2π;  . 2  π 5π 19π Ответ: а) 2πk , k  ;   2πn , n  ;  .  2πm , m ; б) 2π ; 6 6 6

Комментарий. Неверное разложение на множители в 5-й строке пункта «а». Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 13.5.1 а) Решите уравнение 9  81cos x  28  9cos x  3  0 .  5π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 4π  . 2  11π π π Ответ: а)   2k , k  ;  2πl , l  ;   2πn , n  ; б) 3π ; . 3 3 3

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте «а». При отборе корней отсутствует решение и ошибочно указано число, которое не является корнем тригонометрического уравнения. Пункт «б» не выполнен. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.5.2 а) Решите уравнение 9  81cos x  28  9cos x  3  0 .  5π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 4π  . 2  11π π π Ответ: а)   2k , k  ;  2πl , l  ;   2πn , n  ; б) 3π ; . 3 3 3

Комментарий. В записи корней первого тригонометрического уравнения содержится дублирующая запись корней, но ошибки в этом нет. Получен верный ответ в пункте «а». 5 1 При отборе корней допущены ошибки при делении 2 и 4 на 2. Пункт «б» не 6 3 выполнен. Оценка эксперта: 1 балл. 32

Пример 13.5.3 а) Решите уравнение 9  81cos x  28  9cos x  3  0 .  5π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 4π  . 2  11π π π Ответ: а)   2k , k  ;  2πl , l  ;   2πn , n  ; б) 3π ; . 3 3 3

Комментарий. Неверно решено тригонометрическое уравнение cos x  1 . Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 13.6.1 а) Решите уравнение 2log 24  4sin x   5log 4  4sin x   2  0 .  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ; 0  .  2  π 5π 7π Ответ: а)  2πn , n  ;  2πm , m ; б)  . 6 6 6

Комментарий. Получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при вычислении t2 , но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 13.6.2 а) Решите уравнение 2log 24  4sin x   5log 4  4sin x   2  0 .  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ; 0  .  2  π 5π 7π Ответ: а)  2πn , n  ;  2πm , m ; б)  . 6 6 6

Комментарий. Получены неверные ответы не из-за вычислительной ошибки при нахождении корней квадратного уравнения. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 13.6.3 а) Решите уравнение 2log 24  4sin x   5log 4  4sin x   2  0 .  3π  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ; 0  .  2  π 5π 7π Ответ: а)  2πn , n  ;  2πm , m ; б)  . 6 6 6

Комментарий. При решении простейшего логарифмического уравнения допущена ошибка, которая не является вычислительной, кроме того при нахождении «ОДЗ» допущена ошибка, которая никак не может быть отнесена к вычислительным. Любая из этих ошибок уже не позволяет выставить положительный балл. Типичный пример выставления 0 баллов. Оценка эксперта: 0 баллов.

2. Критерии проверки и оценка решений задания 14 Задание 14 — стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. В пунк-те а нужно доказать геометрический факт, в пункте б найти (вычислить) геометрическую величину. Возможны различные способы и записи развёрнутого решения. Главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения. При этом оценивается продвижение выпускника в решении задачи, а не степень следования «эталонному» решению. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования. Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен 3 верный ответ в пункте б Обоснованно получен верный ответ в пункте б 2 ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, 1 ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3

Задача 14 (демонстрационный вариант ЕГЭ 2026 г.) В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость  перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K . а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью , если известно, что BK  1,

KC  3. Решение. 3 CD. 2 Следовательно, он равнобедренный с основанием AB, а его медиана NM перпендикулярна ребру AB. Аналогично прямая MN перпендикулярна ребру CD. б) Плоскость , перпендикулярная прямой MN , параллельна прямым AB и CD, поскольку эти прямые перпендикулярны прямой MN . Обозначим точки пересечения рёбер AC , AD и BD с плоскостью  через L, P и Q соответственно. Тогда четырёхугольник KLPQ является прямоугольником, поскольку его стороны KL и PQ параллельны ребру AB, стороны KQ и LP параллельны ребру CD, а прямые AB и CD перпендикулярны. Треугольники KCL и KBQ равносторонние. Следовательно, KL  KC  3, QK  BK  1, а площадь прямоугольника KLPQ равна KL  KQ  3.

а) В треугольнике ANB имеем: AN  BN 

Ответ: б)

3. ИЛИ

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α , образующую сечение ABMN, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB  BM  AN  5MN. а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1: 4, считая от вершины S . б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α. Решение. а) Прямые AB и CD параллельны, значит, плоскость  параллельна прямой CD. Получаем, что прямая MN, по которой пересекаются плоскости SCD и , параллельна прямой CD. Следовательно, SMN  SCD и SNM  SDC, значит, треугольники MSN и CSD подобны. Получаем: SM SN MN 1    . SC SD CD 5 Таким образом, SM : MC  SN : ND  1: 4.

б) Обозначим середины рёбер AB и CD точками P и Q соответственно, а точку пересечения плоскости SPQ с отрезком MN — точкой K . Прямые MN и CD параллельны, поэтому SK : KQ  SM : MC  1: 4. Плоскость SPQ содержит высоту пирамиды и прямую PQ, перпендикулярную прямой AB. Следовательно, плоскость SPQ перпендикулярна прямой AB, по которой пересекаются плоскости ABC и  , значит, искомый угол равен углу KPQ. Пусть MN  2a, тогда AB  BM  AN  5MN  10a. Высота PK равнобедренной трапеции ANMB равна 2

 AB  MN  AN     2 21a. 2   В треугольнике SPQ опустим перпендикуляры SO и KT на сторону PQ. Тогда точка O является серединой отрезка PQ, так как SO — высота правильной пирамиды SABCD. По теореме о пропорциональных отрезках OT : TQ  SK : KQ  1: 4. Поскольку 1 PQ  BC  10a, получаем: PO  OQ  5a; OT  OQ  a; PT  PO  OT  6a. 5 Треугольник KPT прямоугольный, поэтому TP 6a 21 cos KPQ  cos KPT    . KP 2 21a 7 2

Ответ: б)

21 . 7

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен 3 верный ответ в пункте б Обоснованно получен верный ответ в пункте б 2 ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, 1 ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3 39

Задание 14.1 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB  1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S , если площадь сечения равна

2 ? 3

Решение. а) Прямая BD перпендикулярна прямым SO и AC , лежащим ASC. в плоскости Следовательно, прямая BD перпендикулярна плоскости ASC , а значит, перпендикулярна прямой SC , лежащей в этой плоскости. Прямая BD проходит через точку O и перпендикулярна прямой SC. Значит, прямая BD лежит в плоскости . Следовательно, точки B и D лежат в плоскости . б) Обозначим точку пересечения плоскости  и ребра SC точкой K . Тогда отрезок OK является высотой треугольника SOC. ABCD. AC Отрезки и являются диагоналями квадрата Значит, BD AC 2 AC  BD  2  AB  2 и OC   . 2 2 2 2m 2 Площадь m треугольника BKD равна  . , значит, KO  BD 3 3 В прямоугольном треугольнике CKO 2 CK  CO 2  KO 2  . 6 Прямоугольные треугольники CKO и OKS подобны, поскольку COK  KOS  90. Следовательно: OK 2 4 2 4 2 2 SK OK : .  ; SK   ; SK : KC  3 6 OK CK CK 3 Таким образом, SK : KC  8:1. Ответ: б) 8 :1.

Задание 14.2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK : KC  3:1, а AB  2 и SO  14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD. Решение. а) В треугольнике SAC отрезок OM является средней линией, а значит, прямые SA и OM параллельны. Следовательно, плоскость OMK , содержащая прямую OM , параллельна прямой SA (точка K не лежит в плоскости SAC ). б) Пусть прямая OK пересекает ребро AD в точке L. Тогда треугольники AOL и COK равны, поскольку AOL  COK AO  CO. и LAO  KCO, Следовательно: AL  CK ; AL : LD  CK : KB  1: 3. AB 2  4. 2 Обозначим точку пересечения плоскости OMK и прямой SD через N . Прямые SA и NL, содержащиеся в плоскости SAD, параллельны, поскольку плоскость OMK , содержащая прямую NL, параллельна прямой SA. Следовательно, треугольники SDA и NDL подобны LD 3 3 с коэффициентом подобия  . Значит, NL  SA  3. AD 4 4 Ответ: б) 3.

Боковое ребро SA  SO 2  OA2  SO 2 

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен 3 верный ответ в пункте б Обоснованно получен верный ответ в пункте б 2 ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, 1 ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3

Задание 14.3 В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  3 и BC  2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1  1: 2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC  90, ADC  60. Решение. а) Боковая грань BCC1B1 призмы параллельна грани поскольку составляющие их рёбра ADD1 A1 , соответственно параллельны. Проведём через вершину C прямую, параллельную KM . Пусть эта прямая пересекает ребро BB1 в точке N , а продолжение ребра B1C1 в точке E, а прямая EM пересекает ребро A1B1 в точке L (рис. 1). Рис. 1 Прямоугольные треугольники CBN и MD1K равны, поскольку равны их катеты BC и MD1 , а также острые углы, ввиду параллельности соответствующих сторон. Следовательно, 1 1 BN  D1K  DD1  BB1 , 2 2 а значит, точка N — середина ребра BB1 . б) Пусть высота призмы равна 2x . Тогда B1N  BN  DK  x . В равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 2 и углом 60 боковые стороны равны 1, то есть A1B1  CD  1 . Прямоугольные треугольники EB1N и CBN равны по катету и углу при вершине N . Значит, EN 2  NC 2  BN 2  BC 2  x2  4 . Из прямоугольных треугольников CDK и NCK имеем: CK 2  CD2  DK 2  x2  1 ; NK 2  NC 2  CK 2  x2  4  x2  1  2 x2  5 . Для треугольника BCD имеем: BD2  BC 2  CD2  2BC  CD  cos120  7 . Поскольку NK  BD , получаем: 2 x2  5  7 , откуда x  1 . Следовательно, CK  2 , EN  NC  MK  5 . Площадь прямоугольной трапеции MKCE равна 1 1 3 10 .  CK   MK  EC    2  5  2 5  2 2 2 M K Треугольники A1ML и B1EL подобны, значит, L EL : LM  EB1 : MA1  2 :1 , а площади треугольников ELN и EMN относятся как 2 : 3 (рис. 2). Тогда площадь треугольника ELN равна E N C Рис. 2 2 1 10 .   2 5  3 2 3

Площадь сечения и треугольника ELN :

трапеции

MKCE

Критерии оценивания выполнения задания Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше Максимальный балл

Баллы

MKCNL

равна

разности

площадей

3 10 10 7 10 .   2 3 6

Ответ: б)

7 10 . 6

Задание 14.4 В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N  6. Решение. а) Пусть отрезки NB и MC пересекаются в точке E . Прямоугольные треугольники NAB и MBC равны по двум катетам, значит, MEB  180   EMB  EBM  

 180   EMB  MCB   90 . Отрезок BN — проекция отрезка NB1 на плоскость ABC . Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямые B1 N и CM перпендикулярны. б) Пусть плоскость α пересекает ребро CD в точке L . Прямые NL и CM , лежащие в плоскости ABC , параллельны, поскольку прямая NL лежит в плоскости α , параллельной прямой CM . Следовательно, DLN  DCM  BMC , а значит, прямоугольные треугольники DLN и BMC подобны по острому углу. Получаем: DN AB AD CD . DL  BM     BC 2 2 BC 4 Заметим, что LNB1  90 , поскольку прямая B1 N перпендикулярна прямой NL , параллельной прямой CM . Пусть ребро куба равно a . Получаем: 9a 2 , 36  B1N 2  AN 2  AB 2  BB12  4 откуда a 5 a  4 ; BB1  a  4 , DN  2 , CL  3 , LN   5. 4 1 1  Объём пирамиды CNLB1 равен   CL  DN   BB1  4 . 3 2  1 1  С другой стороны, объём этой пирамиды равен   NB1  LN   x  x 5 , 3 2  4 5 где x — расстояние от точки C до плоскости α . Из равенства x 5  4 получаем x  . 5 4 5 Ответ: б) . 5

Задание 14.5 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK  B1L  2 . Точка M – середина ребра A1C1 . Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L . а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ . б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M , а основание – сечение данной призмы плоскостью γ . Решение. а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные прямой AC . Пусть эти прямые пересекают рёбра BC и A1B1 в точках K1 и L1 соответственно (рис. 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ . Рассмотрим плоскость BB1M . Пусть эта плоскость пересекает прямые AC , KK1 и LL1 в точках N , E и F соответственно. Четырёхугольник BB1MN – 3  A1B1  3 3 . 2 NE : EB  AK : KB  1: 2 , B1F : FM  B1L : LC1  1: 2 , откуда

прямоугольник, причём BB1  3 , B1M  Кроме того,

MF  2 3 ,

NE  3 . Пусть EH – высота трапеции EFMN (рис. 2), тогда FH  MF  NE  3 . MB1 EH Поскольку tg MFE   3  tg MBB1 , FH BB1

MFE  MBB1  90  BMF ,

N E B Рис. 2 то есть прямые EF и BM перпендикулярны. Прямая KK1 параллельна прямой AC , которая перпендикулярна плоскости BB1M . Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой BM , поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости γ . б) Расстояние от точки M до плоскости γ равно MF  sin MFE , а площадь трапеции KL1LK1 равна 2 1 AC  A1C1 KK1  LL1 EH 9 3  EF  3   . 2 2 sin MFE sin MFE 1 9 Значит, искомый объём равен  MF  sin MFE  6 3. 3 sin MFE Ответ: б) 6 3 .

Задание 14.6 Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD , причём BAD  ADC  90 . Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD . а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB  BC  CD  4 , а высота пирамиды PABCD равна 9. Решение. а) Заметим, что AKD  90 . Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит, PK – высота пирамиды. Таким образом, угол AKD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD . Значит, они перпендикулярны. AB  CD , ABCD б) Поскольку трапеция является равнобедренной. Значит, BAD  ADC  KBC  KCB  45 ; 2 BK  CK  BC  2 2 . 2 BK  CK Таким образом, площадь треугольника KBC равна S KBC   4, 2 PK  S KBC а объём пирамиды KBCP равен  12 . 3 Ответ: б) 12.

Примеры оценивания выполнения задания 14 Пример 14.1.1 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB  1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S , если площадь сечения равна

2 ? 3

Ответ: б) 8 :1.

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и обоснованный верный ответ в пункте б. Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 14.1.2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB  1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S , если площадь сечения равна

2 ? 3

Ответ: б) 8 :1.

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и получен неверный ответ в пункте б (не арифметическая ошибка при нахождении длины отрезка MC ). Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.1.3 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB  1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S , если площадь сечения равна

2 ? 3

Ответ: б) 8 :1.

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.1.4 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB  1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S , если площадь сечения равна

2 ? 3

Ответ: б) 8 :1.

Комментарий. Неверное доказательство утверждения пункта а и неверное решение пункта б. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 14.2.1 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK : KC  3:1, а AB  2 и SO  14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD. Ответ: б) 3.

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и обоснованный верный ответ в пункте б. Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 14.2.2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK : KC  3:1, а AB  2 и SO  14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD. Ответ: б) 3.

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и обоснованный верный ответ в пункте б. Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 14.2.3 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK : KC  3:1, а AB  2 и SO  14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD. Ответ: б) 3.

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а. Решение пункта б отсутствует. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.2.4 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK : KC  3:1, а AB  2 и SO  14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD. Ответ: б) 3.

Комментарий. Решалась другая задача: точка К лежит на стороне основания, а не на боковом ребре. Оценка эксперта: 0 баллов. 61

Пример 14.3.1 В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  3 и BC  2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1  1: 2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC  90, ADC  60. Ответ: б)

7 10 . 6

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и обоснованный верный ответ в пункте б. Оценка эксперта: 3 баллаа.

Пример 14.3.2 В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  3 и BC  2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1  1: 2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC  90, ADC  60. Ответ: б)

7 10 . 6

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а. Решение пункта б отсутствует. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.3.3 В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  3 и BC  2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1  1: 2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC  90, ADC  60. Ответ: б)

7 10 . 6

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а. Решение пункта б отсутствует. Оценка эксперта: 1 балл. 65

Пример 14.3.4 В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  3 и BC  2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1  1: 2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC  90, ADC  60. Ответ: б)

7 10 . 6

Комментарий. Доказательство утверждения в пункте а не обосновано, пункт б не выполнен. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 14.4.1 В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N  6. Ответ: б)

4 5 . 5

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 14.4.2 В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N  6. Ответ: б)

4 5 . 5

Комментарий. Верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. Оценка эксперта: 3 балла. 69

Пример 14.4.3 В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N  6. Ответ: б)

4 5 . 5

Комментарий. Имеется верное доказательство утверждения пункта а, в пункте б получен неверный ответ не из-за арифметической ошибки. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.4.4 В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N  6. Ответ: б)

4 5 . 5

Комментарий. Имеется верное доказательство утверждения пункта а, при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ не из-за арифметической ошибки. В предпоследней строке неверно вынесен множитель из-под корня. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.5.1

Комментарий. Доказательство утверждения в пункте а не обосновано. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 14.5.2

Комментарий. Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит необоснованное утверждение. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 14.5.3

Комментарий. Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 14.6.1

Комментарий. Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 14.6.2

Комментарий. Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б есть ошибочное утверждение, что привело к неверному ответу. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 14.6.3

Комментарий. Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла. 82

3. Критерии проверки и оценка решений задания 15 Задание № 15 — это неравенство: дробно-рациональное, логарифмическое или показательное. Возможны различные способы и записи развёрнутого решения. Главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения. При этом оценивается продвижение выпускника в решении задачи, а не степень следования «эталонному» решению. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования. Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/ включением граничных точек, ИЛИ 1 получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 В первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «  » вместо «  » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то следует выставлять оценку «0 баллов».

Задача 15 (демонстрационный вариант ЕГЭ 2026 г.) Решите неравенство

log 2  2  x   log 2  x  1 log 22 x 2  log 2 x 4  1

Решение. Запишем исходное неравенство в виде: log 2  2  x   log 2  x  1 log 22 x 2  2log 2 x 2  1

 0.

log 2  2  x   log 2  x  1

 log x  1 2

 не определено при x  0 , равно нулю при x   22 и

Значение знаменателя log 2 x 2  1

2 и положительно при других значениях x . 2 2 2 При x   , x0 и x неравенство принимает вид: 2 2 log 2  2  x   log 2  x  1  0 ; log2  x  1  log 2  2  x  ; 0  x  1  2  x ,

при x 

2 2 2 1 . Учитывая условия x   , x0 и x , получаем: 1  x   ; 2 2 2 2 2 1   x0; 0 x . 2 2  2   1 2  Ответ:  1;  ;  ; 0  ;  0;  .   2   2    2

откуда 1  x 

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением 1 точки , 2 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл ИЛИ

Решите неравенство

27 x  9 x  1  3x  3  27  0. 50 x 2  110 x  60,5

Решение. Запишем исходное неравенство в виде: 33 x  3  32 x  3  3  3x  32  33

0,5 100 x 2  220 x  121

 3  3  0 .  0; x

10 x  112

Баллы 2

Значение знаменателя 10 x  11

равно нулю при x  1,1 и положительно при других

значениях x. При x  1,1 неравенство принимает вид:

3  3  0; 3  3, x

откуда x  1. Учитывая ограничение x  1,1 , получаем: 1  x  1,1 ; x  1,1 . Ответ: 1;1,1 ; 1,1;    .

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 15.1 Решите неравенство

x3  x 2  x  1 2

4 x  8  2 x  16

 0.

Решение. Запишем исходное неравенство в виде:

 x  1  x 2  1

2 x  1  x  1  0. 0;

 2  4  2  4 Значение знаменателя  2  4  равно нулю при x   2 и при x  2 и положительно x2

при других значениях x . При x   2 и x  2 неравенство принимает вид

 x  12  x  1  0 , откуда x   1 ; x  1. Учитывая ограничение x  2 , получаем: x   1 ; 1  x  2 ; x  2.

  2;    .

Ответ:  1 ; 1; 2 ;

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек –1 и/или 1, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Задание 15.2 Решите неравенство

3x  9 3x  9 4  3x  1  144   . 3x  9 3x  9 9 x  81

Решение. Пусть t  3x , тогда неравенство примет вид: t  9 t  9 12t  144 t 2  18t  81 t 2  18t  81 12t  144   2   0; ; t 9 t 9 t  81  t  9  t  9   t  9  t  9   t  9  t  9  2  t  3 2t 2  12t  18  0;  0,  t  9  t  9   t  9  t  9  2

откуда t   9 ; t  3 ; t  9 . При t   9 получим: 3x   9 , решений нет. При t  3 получим: 3x  3 , откуда x  1 . При t  9 получим: 3x  9 , откуда x  2 . Решение исходного неравенства: 86

Баллы 2

x 1; x  2 .

Ответ: 1;  2;    .

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 15.3

Решите неравенство log8 x3  3x2  3x  1  log 2 x 2  1  5. Решение. Запишем исходное неравенство в виде:

log8  x  1  log 2 x 2  1  5 ; log 2  x  1  log 2  x  1  log 2  x  1  5 . 3

Левая часть неравенства определена при x  1 . При x  1 неравенство принимает вид: log 2  x  1  5 ; 0  x  1  32 , откуда 1  x  31 . Учитывая ограничение x  1 , получаем: 1  x  31 . Ответ: 1; 31 . Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 31, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Задание 15.4 Решите неравенство

4 1  x . 3  27 3  9 x

Решение. Пусть t  3x , тогда неравенство примет вид: 3  t  3 3t  9 4 1  0; ;  0,  t  27 t  9  t  9  t  27   t  9  t  27  откуда 3  t  9 ; t  27 . При 3  t  9 получим: 3  3x  9 , откуда 1  x  2 . При t  27 получим: 3x  27 , откуда x  3 . Решение исходного неравенства: 1  x  2 ; x  3 . Ответ: 1; 2  ;  3;    . Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Задание 15.5

9  2 x  37 1  x Решите неравенство 2  6  x . x 4  7  2  12 2  4 x

Решение. Пусть t  2 x , тогда неравенство примет вид: 9t  37 9t  37 t 3 1 t 6 2    0; ; t 6  t  3 t  4  t  3 t  4  t  7t  12 t  4

 t  1 t  8  0 , где t  4 , 10  0 , где t  4 ; t 3 t 3 откуда t  1 ; 3  t  4 ; 4  t  8 . При t  1 получим: 2 x  1 , откуда x  0 . t 6

При 3  t  4 получим: 3  2 x  4 , откуда log 2 3  x  2 . При 4  t  8 получим: 4  2 x  8 , откуда 2  x  3 . Решение исходного неравенства: x  0 ; log 2 3  x  2 ; 2  x  3 . Ответ:    ; 0 ;  log 2 3; 2  ;  2; 3 . 88

Баллы 2 1 0 2

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек 0 и/или 3, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2

Задание 15.6

Решите неравенство log3  5  5 x   log3 x2  3x  2  log3  x  4  . Решение. Запишем исходное неравенство в виде: log3  5 1  x    log3   2  x 1  x    log3  x  4  ;

log3 5  log3 1  x   log3  2  x   log3 1  x   log3  x  4  .

Неравенство определено при  4  x  1 , поэтому при  4  x  1 неравенство принимает вид: 2  x 6 x  18 ; 5 0, x4 x4 откуда x   4 ; x   3 . Учитывая ограничение  4  x  1 , получаем:  3  x  1 . Ответ:   3;1 .

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки  3 , ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 2 1 0 2

Примеры оценивания решений задания 15 Пример 15.1.1 Решите неравенство

x3  x 2  x  1 2

4 x  8  2 x  16

 0.

  2;    .

Ответ:  1 ; 1; 2 ;

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 15.1.2 Решите неравенство

x3  x 2  x  1 2

4 x  8  2 x  16

 0.

  2;    .

Ответ:  1 ; 1; 2 ;

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 15.1.3 Решите неравенство

x3  x 2  x  1 2

4 x  8  2 x  16

 0.

  2;    .

Ответ:  1 ; 1; 2 ;

Комментарий. Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек –1 и 1. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 15.1.4 Решите неравенство

x3  x 2  x  1 2

4 x  8  2 x  16

 0.

  2;    .

Ответ:  1 ; 1; 2 ;

Комментарий. Нарушена равносильность при переходе ко второму неравенству. Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 15.2.1

3x  9 3x  9 4  3x  1  144   . Решите неравенство x 3  9 3x  9 9 x  81 Ответ: 1;  2;    .

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 15.2.2

3x  9 3x  9 4  3x  1  144   . Решите неравенство x 3  9 3x  9 9 x  81 Ответ: 1;  2;    .

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 15.2.3

3x  9 3x  9 4  3x  1  144   . Решите неравенство x 3  9 3x  9 9 x  81 Ответ: 1;  2;    .

Комментарий. Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 15.2.4

3x  9 3x  9 4  3x  1  144   . Решите неравенство x 3  9 3x  9 9 x  81 Ответ: 1;  2;    .

Комментарий. В работе допущена ошибка при решении дробно-рационального неравенства относительно t : на координатной прямой в точке t  3 (в «петле» стоит знак «+» – очевидно, попытка объяснить чередование знаков), то есть участник экзамена утверждает,  t  32 принимает положительное значение. что дробное выражение  t  9  t  9  Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 15.3.1 Решите неравенство log8 x3  3x2  3x  1  log 2 x 2  1  5. Ответ: 1; 31 .

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 15.3.2 Решите неравенство log8 x3  3x2  3x  1  log 2 x 2  1  5. Ответ: 1; 31 .

Комментарий. Обоснованно получен верный ответ. Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 15.3.3 Решите неравенство log8 x3  3x2  3x  1  log 2 x 2  1  5. Ответ: 1; 31 .

Комментарий. Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 31. Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 15.3.4 Решите неравенство log8 x3  3x2  3x  1  log 2 x 2  1  5. Ответ: 1; 31 .

Комментарий. Неверно решена система неравенств, названная О.Д.З. Оценка эксперта: 0 баллов. 101