Демоверсия ЕГЭ 2026 по профильной математике от ФИПИ — задания, ответы и критерии

Официальная система оценивания ФИПИ. Сначала решите задания самостоятельно.

Система оценивания экзаменационной работы по математике (профильный уровень)

Правильное выполнение каждого из заданий 1–12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если ответ записан в той форме, которая указана в инструкции по выполнению задания, и полностью совпадает с эталоном ответа. Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Пример 1 61 12 1,125 0,1 0,657 7 0,75 5 45 19 0,1 5

Правильный ответ Пример 2 Пример 3 18 40 13 4 36 104 0,38 0,3 0,15 0,79 7 93 5 125 6 1,6 5 4900 15 8 5 32 –6 16

Пример 4 5 9 0,78 3

Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным; все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках, входящих в федеральный перечень учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

а) Решите уравнение 3

2sin x =

2 cos x + 2sin x.

5π б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  − 4π; −  .  2 

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 2 2 2sin x ⋅ 1 − cos x − 2 cos x − 2sin x = 0 ;

2sin x − 2sin x ⋅ cos x − 2

2sin x ⋅ cos x +

Значит,

cos x = 0 ,

откуда

2 cos x − 2sin x = 0 ; 2

2 cos x = 0 ; cos x ⋅ 2sin x +

π + πk , 2

k ∈,

π 3π + 2πn , n ∈ , или x = − + 2πm , m ∈  . 4 4 б) С помощью числовой окружности отберём 5π корни, принадлежащие отрезку  − 4π; −  .  2  7π 11π 5π ;− ;− . Получим числа: − 2 4 2 π π Ответ: а) + πk , k ∈  ; − + 2πn , n ∈  ; 2 4 3π Ответ: − + 2πm , m ∈  ; 4 7π 11π 5π Ответ: б) − ;− ;− . 2 4 2

2 = 0. sin x = −

2 , 2

откуда

π – 7— 2

– 4π

– 11π —– 5 π 4 –— 2

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом 1 имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

а) Решите уравнение 2 + 2cos ( π − 2 x ) + 8 sin x = 6 + 12 sin x. 9π  . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3π;  2  Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: 2 − 2cos 2 x + 2 2 sin x =

6 + 2 3 sin x ;

2 − 2 1 − 2sin x + 2 2 sin x − 2 3 sin x − 6 = 0; 2

4sin x − 2

( 3 − 2 ) sin x − 6 = 0; ( 2sin x − 3 ) ⋅ ( 2sin x + 2 ) = 0.

3 π 2π , откуда x = + 2πk , k ∈ , или x = + 2πl , l ∈ , или 2 3 3 2 π 3π sin x = − , откуда x = − + 2 πm, m ∈ , или x = − + 2 πn, n ∈ . 2 4 4 б) С помощью числовой окружности отберём 9π — 13π 9π 2 — корни, принадлежащие отрезку  3π;  . 3   2  13π 15π 13π Получим числа: ; ; . 4 4 3 3π π 2π Ответ: а) + 2πk , k ∈  ; + 2πl , l ∈  ; 0 3 3 π 3π 13 Ответ: − + 2πm, m ∈  ; − + 2πn, n ∈  ; 15π —π — 4 4 4 4 13π 15π 13π ; ; . Ответ: б) 4 4 3 Значит, sin x =

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом 1 имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K . а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α , если известно, что BK = 1, KC = 3. Решение.

A 3 CD. P 2 Следовательно, он равнобедренный с основанием M L AB, а его медиана NM перпендикулярна ребру AB. Аналогично прямая MN перпендикулярна ребру CD. B D Q б) Плоскость α, перпендикулярная прямой MN , K параллельна прямым AB и CD, поскольку эти N прямые перпендикулярны прямой MN . C Обозначим точки пересечения рёбер AC , AD и BD с плоскостью α через L, P и Q соответственно. Тогда четырёхугольник KLPQ является прямоугольником, поскольку его стороны KL и PQ параллельны ребру AB, стороны KQ и LP параллельны ребру CD, а прямые AB и CD перпендикулярны. Треугольники KCL и KBQ равносторонние. Следовательно, KL = KC = 3, QK = BK = 1, а площадь прямоугольника KLPQ равна KL ⋅ KQ = 3. Ответ: б) 3. а) В треугольнике ANB имеем: AN = BN =

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно 3 получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ 2 имеется верное доказательство утверждения пункта а, но при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, 1 ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых 0 выше Максимальный балл 3

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α , образующую сечение ABMN, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB = BM = AN = 5 MN. а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1: 4, считая от вершины S . б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α. Решение. а) Прямые AB и CD параллельны, значит, плоскость α параллельна прямой CD. Получаем, что прямая MN , по которой пересекаются плоскости SCD и α , параллельна прямой CD. ∠SNM = ∠SDC , Следовательно, и значит, ∠SMN = ∠SCD треугольники MSN и CSD подобны. Получаем: SM SN MN 1 = = = . SC SD CD 5 Таким образом, SM : MC = SN : ND = 1: 4.

MK A B

б) Обозначим середины рёбер AB и CD точками P и Q соответственно, а точку пересечения плоскости SPQ с отрезком MN — точкой K . Прямые MN и CD параллельны, поэтому SK : KQ = SM : MC = 1: 4. Плоскость SPQ содержит высоту пирамиды и прямую PQ, перпендикулярную прямой AB. Следовательно, плоскость SPQ перпендикулярна прямой AB, по которой пересекаются плоскости ABC и α , значит, искомый угол равен углу KPQ.

MN = 2a, тогда Пусть AB = BM = AN = 5 MN = 10 a. равнобедренной трапеции ANMB равна 2

AN −

Высота

( AB −2 MN ) = 2 21a. 2

В треугольнике SPQ опустим перпендикуляры SO и KT на сторону PQ. Тогда точка O является серединой отрезка PQ, так как SO — высота правильной пирамиды SABCD. По теореме о пропорциональных отрезках OT : TQ = SK : KQ = 1: 4. Поскольку PQ = BC = 10a, получаем: PO = OQ = 5a; 1 OT = OQ = a ; PT = PO + OT = 6a. 5 Треугольник KPT прямоугольный, поэтому TP 6a 21 cos ∠KPQ = cos ∠KPT = = = . KP 2 21a 7 Ответ: б)

21 . 7

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно 3 получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ 2 имеется верное доказательство утверждения пункта а, но при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за 1 арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых 0 выше Максимальный балл 3

Решите неравенство

log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) 2

log 2 x + log 2 x + 1

≥ 0.

Решение. Запишем исходное неравенство в виде: log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) ≥0. ≥0; 2 2 2 2 2 log 2 x + 2log 2 x + 1 log 2 x + 1

Значение знаменателя

( log x + 1) не определено при x = 0 , равно нулю 2

2 2 и при x = и положительно при других значениях x . 2 2 2 2 При x ≠ − , x≠0 и x≠ неравенство принимает вид: 2 2 log 2 ( 2 − x ) − log 2 ( x + 1) ≥ 0 ; log 2 ( x + 1) ≤ log 2 ( 2 − x ) ; 0 < x + 1 ≤ 2 − x , при x = −

2 2 1 . Учитывая условия x ≠ − , x≠0 и x≠ , получаем: 2 2 2 2 2 1 −1 < x < − < x < 0; 0 < x ≤ . ;− 2 2 2  2  2  1 Ответ:  −1; −  ;  − 2 ; 0  ; 0; 2  . 2    

откуда −1 < x ≤

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного 1 исключением точки , 2 1 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

ИЛИ x +1

Решите неравенство

27 − 9 +3 − 27 ≥ 0. 2 50 x − 110 x + 60,5

Решение. Запишем исходное неравенство в виде:

− 3⋅3

⋅3 + 3⋅3 ⋅3 − 3 2

0,5 100 x − 220 x + 121

( 3 − 3) ≥ 0 . ≥ 0; x

(10 x − 11) 2

Значение знаменателя (10 x − 11) равно нулю при x = 1,1 и положительно при других значениях x . При x ≠ 1,1 неравенство принимает вид:

( 3 − 3 ) ≥ 0; 3 ≥ 3, x

откуда x ≥ 1 . Учитывая ограничение x ≠ 1,1, получаем: 1 ≤ x < 1,1 ; x > 1,1 . Ответ: [1;1,1) ; (1,1; + ∞ ) . Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1, ИЛИ 1 получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число); – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей; – в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r . Решение. По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом: 800; 680; 560; 440; 320; 200; 160; 120; 80; 40; 0. r Пусть k = 1 + . Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) 100 по состоянию на январь такова: 800k ; 680k ; 560k ; 440k ; 320k ; 200k ; 160k ; 120k ; 80k ; 40k . Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими: 800k − 680 ; 680k − 560 ; 560k − 440 ; 440k − 320 ; 320k − 200 ; 200k − 160 ; 160k − 120 ; 120k − 80 ; 80k − 40 ; 40k . Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять: 5 ( 560 k − 440 ) + 5 (120 k − 80 ) = 3400 k − 2600. Получаем: 3400k − 2600 = 1480, откуда k = 1,2 и r = 20. Ответ:

20. Критерии оценивания выполнения задания

Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Верно построена математическая модель 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей? Решение. По условию долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца 1000 A 125 A должен уменьшаться на = тыс. рублей, следовательно, 24 3 по состоянию на 15 декабря 2027 года и на 15-е число каждого месяца 2028 года долг (в тыс. рублей) должен уменьшаться до нуля следующим образом: 1375 A 1250 A 250 A 125 A 500A ; ; ; …; ; ; 0. 3 3 3 3 Первого числа каждого месяца 2028 года долг возрастает на 3 %, значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова: 1375 A 250 A 125 A 1,03 ⋅ 500A ; 1,03 ⋅ ; …; 1,03 ⋅ ; 1,03 ⋅ . 3 3 3 Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими: 125 A 125 A 125 A 125 A + 15 A ; + 13,75 A ; …; + 2,5 A ; + 1,25 A . 3 3 3 3 Всего следует выплатить в 2028 году 170 A + 128,75 A 12 ⋅ = 597,5 A тыс. рублей, 2⋅3 откуда 597,5 A = 17 925 ; A = 30 . Ответ:

30. Критерии оценивания выполнения задания

Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Верно построена математическая модель 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 2

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4. а) Докажите, что AC = CE . б) Найдите длину диагонали BE , если AD = 6. Решение. С а) В четырёхугольнике ABCD острые углы ACB и CAD опираются на равные хорды AB D и CD. Следовательно, ∠ACB = ∠CAD , а значит, B прямые BC и AD параллельны. Аналогично прямые CD и BE параллельны. M Значит, четырёхугольники ABCD и BCDE являются равнобедренными трапециями. A E Следовательно, AC = BD = CE . б) Обозначим точку пересечения диагоналей AD и BE через M . Четырёхугольник BCDM является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны. Значит: BM = CD = AB = 3, DM = BC = DE = 4. Следовательно, треугольники ABM и MDE равнобедренные, причём ∠BAM = ∠AMB = ∠DME = ∠DEM . Значит, DE 4 = , откуда эти треугольники подобны с коэффициентом подобия AB 3 получаем: DE DE 8 ME = ⋅ AM = ⋅ ( AD − DM ) = ; 3 AB AB 17 BE = BM + ME = . 3 17 . Ответ: б) 3 Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а 3 и обоснованно получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, но при 2 обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, 1 ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых 0 выше Максимальный балл 3

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ , причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M . Известно, что AM = BP, AB = BQ. а) Докажите, что BM = PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ , если AM = BP = 8, AB = BQ = 10. Решение. а) Заметим, что:

∠ABC = 180° − ∠BAD , ∠ABP = 90° − ∠BAD ,

∠CBQ = 90° − ∠BCD = 90° − ∠BAD.

Таким образом,

∠PBQ = ∠ABC − ∠ABP − ∠CBQ = ∠BAD. Значит, треугольники MAB и PBQ равны, поскольку AM = BP , AB = BQ и ∠MAB = ∠PBQ. Следовательно, BM = PQ.

A б) В

треугольнике 2

P ABP,

M по

D теореме

Пифагора,

получаем:

AP = AB − BP = 6. Пусть QH — высота треугольника BQP. Тогда треугольники ABP и BQH ∠BAP = ∠QBH и ∠APB = ∠BHQ = 90°. равны, поскольку AB = BQ, Следовательно, BH = AP = 6. Значит, PH = BP − BH = 2. Площади треугольников APQ и APH равны, поскольку прямые AP и QH параллельны. Площадь треугольника APH равна AP ⋅ PH 6 ⋅ 2 = = 6. 2 2 Следовательно, площадь треугольника APQ равна 6. Ответ: б) 6.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а 3 и обоснованно получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, но при 2 обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, 1 ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых 0 выше Максимальный балл 3

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений  x 2 − 5 x − y + 3 ⋅ x − y + 3 = 0,   y = 3 x + a имеет ровно два различных решения.

Решение.

Каждое решение уравнения

( x − 5 x − y + 3 ) ⋅ x − y + 3 = 0 либо является 2

решением уравнения x − y + 3 = 0 , откуда y = x + 3 , либо является решением системы:  y = x 2 − 5 x + 3,  x 2 − 5 x − y + 3 = 0,  y = x 2 − 5 x + 3,  y = x 2 − 5 x + 3,  2  2    x − y + 3 ≥ 0;  y ≤ x + 3;  x − 5 x + 3 ≤ x + 3;  x − 6 x ≤ 0, 2

откуда y = x − 5 x + 3 при условии 0 ≤ x ≤ 6 . Для каждого из этих случаев подставим y = 3 x + a и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от a . 3− a . Первый случай: 3 x + a = x + 3 , откуда x = 2 2 Второй случай: 3 x + a = x − 5 x + 3 при условии 0 ≤ x ≤ 6 . Получаем квадратное x 2 − 8 x − a + 3 = 0 . Дискриминант этого уравнения равен уравнение 64 + 4 ( a − 3 ) = 4 ( a + 13 ) . Значит, уравнение x 2 − 8 x − a + 3 = 0 имеет два корня имеет единственный корень при при a > − 13 , x=4 a = − 13 и не имеет корней при a < − 13 .

При a > − 13 функция f ( x ) = x − 8 x − a + 3 принимает наименьшее значение при x = 4 , и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения f ( x ) = 0 удовлетворяет условию 0 ≤ x ≤ 6 тогда и только тогда, когда f ( 6 ) ≥ 0 ; − a − 9 ≥ 0 , откуда a ≤ − 9 . Аналогично меньший корень уравнения f ( x ) = 0 удовлетворяет условию 0 ≤ x ≤ 6 тогда и только тогда, когда f ( 0 ) ≥ 0 ; − a + 3 ≥ 0 , откуда a ≤ 3 . 3− a Число является корнем квадратного уравнения f ( x) = 0 2 2 3− a при − 4 ( 3 − a ) − a + 3 = 0 , откуда 2 2

( a 2− 3 ) + 3( a − 3 ) = 0 ; ( a − 3 )( a + 9 ) = 0 , 2

то есть при a = 3 и при a = − 9 . Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при a = − 13 ; − 9 ≤ a < 3 . Ответ: a = − 13 ; − 9 ≤ a < 3 . Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением/включением 3 точек a = − 9 и / или a = 3 С помощью верного рассуждения получен промежуток ( − 9; 3 ) множества значений a , возможно, с включением граничных точек 2 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения 1 параболы и прямых (аналитически или графически) Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 0 выше Максимальный балл 4

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

( x − a + x + 1 ) − 7 ( x − a + x + 1 ) + 4a + 4 = 0 2

имеет ровно два различных корня. Решение.

Рассмотрим кусочно-линейную функцию y = x − a + x + 1 . При

x < −1

при x ≥ a

y = −2 x + a − 1,

имеем

−1 ≤ x < a

имеем

y = a 2 + 1,

имеем y = 2 x − a + 1 . На промежутке ( −∞; − 1] функция убывает,

2 y ( −1) = a + 1 ; на промежутке  −1; a  функция принимает постоянное   2 2 2 2 значение a + 1 ; на промежутке  a ; + ∞ функция возрастает, y a = a + 1 .  2 Таким образом, значение y = a + 1 принимается при всех x таких, что 2

−1 ≤ x ≤ a ;

значения

y < a +1

принимаются

каких

а каждое из значений y > a + 1 принимается при двух различных x . Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться следующие условия: на промежутке 2

( a + 1; + ∞ ) уравнение 2

y − 7 y + 4 a + 4 = 0 должно иметь ровно один корень, причём число a + 1 не должно являться корнем этого уравнения. Эти условия выполнены в двух случаях. В первом случае уравнение y 2 − 7 y + 4 a 2 + 4 = 0 имеет единственный корень, 2

причём он больше a + 1. Дискриминант уравнения D = 33 − 16 a равен нулю 33 33 при a = − или a = . При каждом из этих значений a уравнение имеет 4 4 2 49 33 33 , поэтому a = − и a= ровно один корень 3,5 > a + 1 = 16 4 4 удовлетворяют условию задачи.

Во втором случае уравнение y − 7 y + 4 a + 4 = 0 имеет два корня, причём 2

один из них больше a + 1 , а другой меньше a +

1. Это равносильно

где f ( y ) = y − 7 y + 4a + 4 . Поскольку ( ) f ( a + 1) = ( a + 1) − 7 ( a + 1) + 4a + 4 = a − a − 2 = ( a − 2 )( a + 1) , неравенство f ( a + 1) < 0 равносильно неравенству ( a − 2 )( a + 1) < 0, откуда тому,

f a + 1 < 0,

получаем: −

2 <a<

Ответ: a = −

33 ;− 4

2 <a<

2; a=

33 . 4

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек a = − 2 и / или 3

a= 2 С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = − и / или a =

33 , 4

ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения Задача верно сведена к исследованию расположения 2 2 y − 7 y + 4a + 4 = 0 , корней квадратного уравнения где 2

y = x − a + x +1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Из пары натуральных чисел ( a; b ) , где a > b , за один ход получают пару ( a + b; a − b ) . а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару ( 806; 788 ) ? в) Какое наименьшее a может быть в паре ( a; b ) , из которой за несколько ходов можно получить пару ( 806; 788 ) ? Решение. а) Из пары (100;1) за один ход получается пара (101; 99 ) , за два хода получается пара ( 200; 2 ) , за три хода получается пара ( 202;198 ) , а за четыре хода получается пара ( 400; 4 ) . б) Заметим, что за один ход из пары ( a; b ) получается пара ( a + b; a − b ) , а за два хода получается пара ( 2 a; 2b ) . Следовательно, из пары (100;1) можно

получить

только

пары

( 2 ⋅100; 2 ) и ( 2 ⋅101; 2 ⋅ 99 ) , где k — k

неотрицательное целое число. Число 806 не равно 2 ⋅ 100 и 2 ⋅ 101 , а значит, пару ( 806; 788 ) невозможно получить за несколько ходов из пары (100;1) . в) Заметим, что пару ( c; d ) за один ход можно получить только c+d c−d ; при условии, что числа c и d одной чётности. из пары 2 2 Таким образом, пара ( 806; 788 ) получается из пары ( 797; 9 ) , которая получается из пары ( 403; 394 ) . Пару ( 403; 394 ) невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число a в паре ( a; b ) , из которой за несколько ходов можно получить пару ( 806; 788 ) , равно 403. Ответ: а) да; б) нет; в) 403.

Критерии оценивания выполнения задания Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 4

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n. Решение. а) Рассмотрим пять чисел: a , b , c , d и e , записанных на доске. Средние a+b+c+d b+c+d +e арифметические и должны быть целыми числами. 4 4 Следовательно, числа a + b + c + d и b + c + d + e должны делиться на 4, а значит, их разность a − e также должна делиться на

4. Таким образом, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на

4. Аналогично можно показать, что разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 5, а значит, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 20. Разность чисел 2013 и 403 равна 1610 и не делится на 20. Следовательно, числа 403 и 2013 одновременно не могут быть среди записанных чисел. б) Остаток от деления числа 403 на 20 равен 3. Значит, остаток от деления любого записанного на доске числа на 20 равен 3, то есть любое число, записанное на доске, можно представить в виде 20 k + 3, где k — натуральное число или 0. Остаток от деления такого числа на 4 равен 3. С другой стороны, остаток от деления любого квадрата натурального числа на 4 равен 0 или 1. Значит, среди чисел, записанных на доске, не может быть квадратов натуральных чисел.

в) Числа 1 и n должны давать одинаковые остатки при делении на 20, то есть 2 2 число n − 1 должно делиться на 20. Поскольку n − 1 = ( n − 1)( n + 1) , одно из чисел n − 1 и n + 1 должно делиться на 5. Таким образом, перебирая числа, для которых это выполнено, то есть числа 4, 6, 9, 11, 14, 16, …, получаем, 2 что наименьшее значение n , для которого n − 1 делится на 20, равно 9. Примером чисел, удовлетворяющих условию задачи, для которых n = 9, служит набор чисел: 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, содержащий число 81. Ответ: а) нет; б) нет; в)

9. Критерии оценивания выполнения задания

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл

Баллы 4

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 233/552, зарегистрирован Минюстом России 15.05.2023 № 73314) «81. Проверка экзаменационных работ включает в себя: проверку и оценивание предметными комиссиями ответов на 1) задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом <…>, в том числе устных ответов, в соответствии с критериями оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором1. <…> По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют первичные баллы за каждый ответ на задания КИМ для проведения ЕГЭ с развёрнутым ответом. <…> В случае существенного расхождения в первичных баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в первичных баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету, разработка которых организуется Рособрнадзором. Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о первичных баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу». Существенными считаются следующие расхождения. 1. Расхождение между баллами, выставленными двумя экспертами за выполнение любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только те ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. 2. Расхождение между суммами баллов, выставленных двумя экспертами за выполнение заданий 13–19, составляет 3 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы. 3. Расхождение в результатах оценивания двумя экспертами ответа на одно из заданий 13–19 заключается в том, что один эксперт указал на отсутствие ответа на задание, а другой выставил за выполнение этого задания ненулевой балл. В этом случае третий эксперт проверяет только ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. 4. Ситуации, в которых один эксперт указал на отсутствие ответа в экзаменационной работе, а второй эксперт выставил нулевой балл за выполнение этого задания, не являются ситуациями существенного расхождения в оценивании.

Часть 14 статьи 59 Федерального закона от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».