Условие
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Разбор задания
Номер 697 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 8. Окружность · страница 76
Решение
- Соединим центр O вписанной окружности с вершинами многоугольника A₁A₂…Aₙ. Многоугольник разобьётся на n треугольников OA₁A₂, OA₂A₃, …, OAₙA₁.
- В каждом треугольнике основание — сторона многоугольника, а высота, опущенная из O, равна радиусу r (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне).
- S = ½·A₁A₂·r + ½·A₂A₃·r + … + ½·AₙA₁·r = ½·r·(A₁A₂ + … + AₙA₁) = ½·P·r.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →