Условие
В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.
Разбор задания
Номер 693 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 8. Окружность · страница 75
Решение
- Пусть катеты a, b, гипотенуза c. Точки касания делят катеты на отрезки r (от вершины прямого угла: там образуется квадрат со стороной r) и a − r, b − r, а гипотенуза состоит из отрезков касательных (a − r) + (b − r). Значит, c = a + b − 2r, то есть a + b = c + 2r.
- а) a + b = 26 + 8 = 34, P = 34 + 26 = 60 см.
- б) c = 5 + 12 = 17, a = 5 + r, b = 12 + r. По теореме Пифагора (5 + r)² + (12 + r)² = 289: 2r² + 34r + 169 = 289, r² + 17r − 60 = 0, r = 3 (второй корень отрицательный). Катеты 8 и 15 см, P = 8 + 15 + 17 = 40 см.
Ответ
а) 60 см; б) 40 см.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →