Теорема Пифагора

Что утверждает теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одно из самых известных утверждений геометрии. Она связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Напомним: прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Формулировка такая: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты обозначить a и b, а гипотенузу — c, то c² = a² + b².

Почему теорема верна (идея доказательства)

Существует несколько сотен доказательств. Самое наглядное — через площади. Возьмём квадрат со стороной a + b и сложим внутри него четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b. В середине остаётся квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата можно посчитать двумя способами, приравнять выражения — и после сокращений получается c² = a² + b².

Обратная теорема

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то этот треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит напротив большей стороны. Это удобный способ проверить, является ли треугольник прямоугольным, не измеряя углы. Например, треугольник со сторонами 6, 8 и 10 прямоугольный, потому что 36 + 64 = 100. А вот треугольник со сторонами 4, 5, 6 прямоугольным не будет: 16 + 25 = 41, а это не равно 36.

Где теорема применяется

Теорема Пифагора нужна не только в задачах с треугольниками. С её помощью находят:

• диагональ прямоугольника по двум сторонам;
• высоту равнобедренного треугольника, если опустить её на основание;
• расстояние между двумя точками на координатной плоскости;
• высоту, на которую дотягивается лестница, длину троса, диагональ экрана и тому подобные практические величины.

Так теорема превращается в универсальный инструмент для измерения расстояний там, где есть прямой угол.

Знаменитые «пифагоровы тройки»

Катет a	Катет b	Гипотенуза c	Проверка
3	4	5	9 + 16 = 25
5	12	13	25 + 144 = 169
8	15	17	64 + 225 = 289
7	24	25	49 + 576 = 625

Пример решения

Лестница длиной 5 метров приставлена к стене. Нижний конец отстоит от стены на 3 метра. На какой высоте находится верхний конец?

Лестница — гипотенуза: c = 5. Расстояние до стены — катет: a = 3. Высота — катет b, его и ищем. По теореме: c² = a² + b² 25 = 9 + b² b² = 25 − 9 = 16 b = 4. Ответ: верхний конец на высоте 4 метра.

Частые ошибки. 1) Теорему применяют к НЕпрямоугольному треугольнику — она работает только при наличии угла 90°. 2) Путают катет и гипотенузу: гипотенуза всегда самая длинная сторона. 3) Забывают извлечь корень и записывают в ответ b² вместо b.

Кратко о главном

• В прямоугольном треугольнике c² = a² + b², где c — гипотенуза.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной.
• Обратная теорема позволяет распознать прямоугольный треугольник по сторонам.
• Тройки 3-4-5, 5-12-13 полезно помнить наизусть.