Вписанные и описанные окружности

Две окружности треугольника

С каждым треугольником связаны две важные окружности. Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. У любого треугольника существуют и та, и другая, причём ровно по одной.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Она называется инцентром и одинаково удалена от всех сторон; это расстояние и есть радиус r. Радиус вписанной окружности связан с площадью S и полупериметром p формулой r = S / p.

Поскольку центр одинаково удалён от всех трёх сторон, до точек касания из центра можно опустить радиусы, и они будут перпендикулярны сторонам. Это часто используют при решении задач: радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен стороне.

Описанная окружность

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Она равноудалена от всех вершин, это расстояние — радиус R. Важный частный случай: у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром, поэтому R = c / 2.

Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника: у остроугольного он внутри, у прямоугольного — на середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи треугольника. Радиус описанной окружности связан и с теоремой синусов: a / sin A = 2R, где a — сторона, а A — противолежащий ей угол.

Признак	Вписанная	Описанная
Что соединяет	Касается сторон	Проходит через вершины
Центр	Пересечение биссектрис	Пересечение серединных перпендикуляров
Радиус	r = S / p	R = abc / (4S)
Расположение центра	Всегда внутри	Может быть вне (у тупоугольного)

Пример

Прямоугольный треугольник: катеты 6 и 8. 1) Гипотенуза: c = √(6² + 8²) = √100 = 10. 2) Радиус описанной: R = c/2 = 10/2 = 5. 3) Площадь: S = (6·8)/2 = 24. 4) Полупериметр: p = (6 + 8 + 10)/2 = 12. 5) Радиус вписанной: r = S/p = 24/12 = 2. Ответ: R = 5, r = 2.

Не путай. Биссектрисы дают центр ВПИСАННОЙ окружности, серединные перпендикуляры — центр ОПИСАННОЙ. Распространённая ошибка — менять их местами. И помни: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности выходит за пределы фигуры.

Кратко о главном

• Вписанная окружность касается сторон, центр — на пересечении биссектрис.
• Описанная проходит через вершины, центр — на пересечении серединных перпендикуляров.
• r = S/p, а для прямоугольного треугольника R = c/2.
• У любого треугольника обе окружности существуют и единственны.
• Радиус в точку касания вписанной окружности перпендикулярен стороне.