Номер 713 — Геометрия 8 класс

Прямые AB и AC — касательные к окружности с центром O, B и C — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге BC, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге BC.

1. Отрезки касательных из одной точки равны: MX = MB, NX = NC.
2. P(AMN) = AM + MN + NA = AM + MX + XN + NA = AM + MB + NC + NA = AB + AC — не зависит от X.
3. Центр O лежит на биссектрисах углов между касательными: OM — биссектриса угла BOX (треугольники OBM и OXM равны по катету и гипотенузе), ON — биссектриса угла XOC. Поэтому ∠MON = ½∠BOX + ½∠XOC = ½∠BOC — тоже не зависит от X.