Условие
Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой — в точке B. Докажите, что точка M лежит на окружности с диаметром AB.
Разбор задания
Номер 714 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 8. Окружность · страница 79
Решение
- Пусть общая касательная в точке M пересекает прямую AB в точке K.
- KA и KM — отрезки касательных к первой окружности из точки K, поэтому KA = KM. Аналогично KB = KM для второй окружности.
- Значит, KA = KB = KM: K — середина AB, а медиана MK треугольника AMB равна половине стороны AB. Тогда ∠AMB = 90° (в треугольнике с такой медианой углы при вершине M составляют в сумме ∠A + ∠B, а сумма всех углов 180°).
- Вершина прямого угла AMB лежит на окружности с диаметром AB.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →