Олимпиада по искусственному интеллекту 7–8 классы — школьный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ 2025/26 по искусственному интеллекту

7-8 классы

Максимальное количество баллов за олимпиаду — 100 Задание 1. Пусть X — множество целых чисел, в котором n элементов. Определим медиану m множества X. Выпишем элементы множества X в порядке возрастания: a1 < a2 < · · · < an . При нечётном n обозначим n = 2k + 1 и положим m = ak+1 (т. е. медиана — среднее из чисел в получивak + ak+1 шемся ряду). При чётном n обозначим n = 2k и положим m = (т. е. полагаем медиану — 2 средним арифметическим двух средних чисел в получившемся ряду). Пусть A и B — множества целых чисел, состояющие из нечётного числа элменетов, причём A∩B = ∅. Известно, что медиана множества A равна 10, а медиана множества B равна 100.Какое наибольшее значение может иметь медиана множества A ∪ B? Ответ: 99.5 Критерий оценивания: точное совпадение ответа — 12 баллов Максимальный балл за задание — 12 Решение. Заметим, что |A ∪ B| чётно, поэтому медиана A ∪ B — полусумма двух соседних различных целых чисел. Обозначим |A| = 2p + 1 и |B| = 2q + 1. Из того, что медиана A равна 10, следует, что в A не менее p + 1 элементов ≤ 10, а значит ≤ 100. Из того, что медиана B равна 100, следует, что в B не менее q + 1 элементов ≤ 100. Следовательно, в объединении A ∪ B не менее (p + 1) + (q + 1) = p + q + 2 элементов ≤ 100. Но всего элементов 2(p + q + 1), то есть строго больше половины элементов не превосходят 100. Значит, правое из двух средних чисел в отсортированном A ∪ B не больше 100. Так как оба средних — целые и различны, левое из них ≤ 99. Отсюда m(A ∪ B) ≤

99 + 100 = 99.5. 2

Покажем достижимость на 6 элементах (|A| = |B| = 3): A = {0, 10, 1000},

B = {99, 100, 101}.

Тогда m(A) = 10, m(B) = 100, множества дизъюнктны, а при упорядочивании объединения получаем 0, 10, 99 , 100 , 101, 1000, то есть средние два числа — 99 и 100, и m(A ∪ B) =

99 + 100 = 99.5. 2

Следовательно, наибольшее возможное значение медианы A ∪ B равно 99.5. Задание 2. Три программы ИИ (искусственного интеллекта), отвечают на одни и те же 30 вопросов. Ансамбль из трёх программ выдаёт ответ на каждый вопрос «по правилу большинства»: если хотя бы две из трёх программ дали одинаковый ответ, выдаётся именно этот ответ. В противном случае выдаётся ответ первой программы. Известно, что каждая из трёх программ ответила верно не менее чем на 22 вопроса. Какое наименьшее число правильных ответов гарантированно будет у ансамбля из трёх программ? Ответ: 18 Критерий оценивания: точное совпадение ответа — 12 баллов Максимальный балл за задание — 12 Решение. Каждая программа ошибается не более чем на 8 из 30 вопросов, поэтому суммарное число ошибок трёх программ не превосходит 8 + 8 + 8 = 24. 1

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ 2025/26 по искусственному интеллекту

7-8 классы

Если ансамбль на каком-то вопросе выдаёт неверный ответ, то хотя бы две программы на этом вопросе ошиблись (либо две согласованно дали один и тот же неверный ответ, либо все трое ответили по-разному и тогда выбор ответа первой программы неверен, но и здесь не менее двух программ ошиблись). Значит, число вопросов, на которых ошибся ансамбль, не больше, чем 24 = 12. 2 Следовательно, минимум гарантированных верных ответов ансамбля равен 30 − 12 = 18. Покажем, что оценка точна. Разобьём 12 вопросов на три группы по 4: • на первых четырёх одинаково ошибаются первая и вторая программы (третья отвечает верно); • на следующих четырёх одинаково ошибаются первая и третья; • на ещё четырёх одинаково ошибаются вторая и третья. Тогда каждая программа ошиблась ровно 8 раз, а на всех этих 12 вопросах ансамбль выбирает неверное «большинство». На остальных 18 вопросах все три программы отвечают верно. В итоге у ансамбля ровно 18 верных ответов, что совпадает с найденной нижней границей. Итак, наименьшее гарантированное число правильных ответов ансамбля равно 18. Задание 3. В порту расположено m площадок, пронумерованных целыми числами 0, 1, 2, . . . , m − 1. В порт прибудет контейнеровоз с сотней контейнеров, которые пронумерованы последовательными целыми числами. Автоматический кран разгружает контейнеровоз по следующему правилу: контейнер с номером N разгружается на площадку с таким номером k, что N − k делится на m (напомним, что k принимает значения от 0 до m − 1). При каком наибольшем значении m мы гарантированно можем утверждать, что на каждой площадке после разгрузки окажется не менее 9 контейнеров? Ответ: 11 Критерий оценивания: точное совпадение ответа — 12 баллов Максимальный балл за задание — 12 Решение. По правилу разгрузки каждый контейнер идёт на площадку по своему остатку по модулю m. Для любых 100 последовательных целых чисел количества  100  по остаткам отличаются не  100  контейнеров Следовательно, более чем на 1, то есть каждая площадка получит либо m , либо m контейнеров.  100  гарантированное число контейнеров на площадке равно m .  (минимальное)  Требование 100 ≥ 9 эквивалентно m ≤ 100 , откуда наибольшее целое m равно 11. Действительно, m 9 при m = 11 мы имеем 100 = 9 · 11 + 1: десять площадок получат по 9 контейнеров и одна — 10, независимо от начального номера.   ≤ 8, и гарантировать «не менее 9 на каждой Наконец, m не может быть ≥ 12: тогда 100 m площадке» нельзя. Уже при m = 12 имеем 100 = 8·12+4: четыре площадки получат по 9 контейнеров, а остальные восемь — по 8. Следовательно, максимальное подходящее значение m равно 11. Задание 4. Вася настраивает проверку входящих писем по трём признакам A, B и C. Обозначим: • A — в письме есть слово БЕСПЛАТНО; • B — в письме есть три восклицательных знака подряд; • C — в письме есть ссылка (текстовый адрес, по которому открывается страница). Письмо отправляется в папку НЕЖЕЛАТЕЛЬНАЯ ПОЧТА, если выполнены хотя бы два из трёх упомянутых выше признаков. По набору писем известно, что признаки A и B выполнены одновременно для 80 писем, признаки A и C — для 50 писем, признаки B и C — для 60 писем. Все три признака A, B, C одновременно выполняются для 30 писем. Сколько писем отправится в папку НЕЖЕЛАТЕЛЬНАЯ ПОЧТА? 2

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ 2025/26 по искусственному интеллекту

7-8 классы

Ответ: 130 Критерий оценивания: точное совпадение ответа — 12 баллов Максимальный балл за задание — 12 Решение. Обозначим через x, y, z количества писем, в которых выполнены соответственно ровно пары признаков: x = |A ∩ B \ C|, y = |A ∩ C \ B|, z = |B ∩ C \ A|, а через t — число писем, где выполнены все три признака: t = |A ∩ B ∩ C| = 30. Из данных: |A ∩ B| = 80 = x + t ⇒ x = 80 − 30 = 50, |A ∩ C| = 50 = y + t ⇒ y = 50 − 30 = 20, |B ∩ C| = 60 = z + t ⇒ z = 60 − 30 = 30. В папку попадают письма, где выполнено «ровно две» или «все три»: x + y + z + t = 50 + 20 + 30 + 30 = 130. Следовательно, в папку НЕЖЕЛАТЕЛЬНАЯ ПОЧТА отправится 130 писем. Задание 5. Даны точки на клетчатой плоскости, разбитые на три класса: класс 0: (2, −1), (1, 1), (2, 1), (1, −2), (2, 0); класс 1: (0, 1), (−2, 1), (−1, −2), (0, 2); класс 2: (−1, 1), (0, −2), (−2, 0).

Рис. 1: Точки на плоскости

Новую точку (0, 0), помеченную звёздочкой, нужно отнести к одному из трёх классов по правилу ближайшего центра. Назовём центром класса точку, у которой первая координата равна среднему арифметическому всех первых координат точек класса, а вторая координата — среднему арифметическому всех вторых 3

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ 2025/26 по искусственному интеллекту

7-8 классы

координат. Ближайшим для точки считается класс, расстояние до центра которого наименьшее; при равенстве расстояний выбирается класс с меньшим номером. Правило ближайшего центра требует относить точку к ближайшему для неё классу. Определите, какой класс получит точка, помеченная звёздочкой. Ответ: 1 Критерий оценивания: точное совпадение ответа — 12 баллов Максимальный балл за задание — 12 Решение. Посчитаем центры классов:       8 1 3 1 1 , C1 = − , , C2 = −1, − . C0 = ,− 5 5 4 2 3 Сначала оценим расстояние от (0, 0) до центра класса 1: d21 =

 2  2 1 9 4 13 3 + = + = < 1, − 4 2 16 16 16

значит d1 < 1. Теперь заметим, что расстояния до двух остальных центров заведомо больше 1:
• для C0 = 85 , − 51 уже |x| = 58 > 1, следовательно d0 > 1;
• для C2 = −1, − 13 имеем d22 = 1 + 19 > 1, то есть d2 > 1. Итак, единственное расстояние < 1 — до центра класса 1, следовательно по правилу ближайшего центра точка (0, 0) относится к классу 1. Задание 6. Линейный счётчик по модулю Имя входного файла: стандартный ввод Имя выходного файла: стандартный вывод Ограничения по времени: 1 секунда Ограничения по памяти: 256 мегабайт В одной далёкой лаборатории учёные создали особого робота-предсказателя. Этот робот умеет строить магическую последовательность чисел. Его память устроена так: он всегда хранит два последних значения и по ним вычисляет следующее. Работает он так:
F0 = a, F1 = b, Fn = p · Fn−1 + q · Fn−2 mod m (n ≥ 2). Знак «modm» означает, что после вычисления берётся остаток от деления на число m, будто числа «оборачиваются» при достижении предела. Ваша задача — помочь роботу посчитать число Fn . Ровно шесть строк: • 1-я строка: целое n; • 2-я строка: целое a; • 3-я строка: целое b; • 4-я строка: целое p; • 5-я строка: целое q; • 6-я строка: целое m.

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ 2025/26 по искусственному интеллекту

Гарантируется, что

0 ≤ n ≤ 105 ,

1 ≤ m ≤ 109 + 7,

7-8 классы

0 ≤ a, b, p, q < m.

Одно целое число — Fn . Критерий оценивания: Каждый тест не из условия 1 балл. Всего 20 баллов Максимальный балл за задание — 20 Решение. По заданным a, b, p, q, m считаем значения последовательно: F0 = a, F1 = b, далее Fn = (pFn−1 + qFn−2 ) mod m. Идём итеративно от 2 до n, на каждом шаге обновляя пару последних значений. n = int(input()) a = int(input()) b = int(input()) p = int(input()) q = int(input()) m = int(input()) if n == 0: print(a) elif n == 1: print(b) else: f0, f1 = a, b for _ in range(2, n + 1): f0, f1 = f1, (p ∗ f1 + q ∗ f0) % m print(f1) Задание 7. Пожарная тревога Имя входного файла: стандартный ввод Имя выходного файла: стандартный вывод Ограничения по времени: 1 секунда Ограничения по памяти: 256 мегабайт Представь, что у тебя есть карта города. На ней есть две пожарные станции: станция класса (0) с координатами (x0 , y0 ) и станция класса (1) с координатами (x1 , y1 ). Где-то в городе произошла авария, её место обозначено точкой (x, y). Чтобы вызвать помощь, нужно понять, какая станция доберётся до аварии быстрее. Машины пожарных двигаются только вдоль улиц и проспектов, то есть сначала по горизонтали, потом по вертикали (или наоборот). Время проезда считается просто: складываем количество кварталов по горизонтали и по вертикали. Именно поэтому расстояние от точки ((u,v)) до точки (r, s) определяется так: D((u, v), (r, s)) = |u − r| + |v − s|. Нужно определить, какая станция по этому правилу ближе к месту аварии. Если обе станции окажутся на одинаковом расстоянии, помощь приедет со станции класса (0). Формат входных данных: Шесть целых чисел, по одному в строке: x, y, x0 , y0 , x1 , y1 . Гарантируется, что

|x|, |y|, |x0 |, |y0 |, |x1 |, |y1 | ≤ 105 .

Формат выходных данных: Выведите одно число: 0 или 1 — номер класса с меньшим расстоянием (при равенстве — 0). Критерий оценивания: Каждый тест не из условия 1 балл. Всего 20 баллов Максимальный балл за задание — 20 Решение. 5

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ 2025/26 по искусственному интеллекту

Посчитаем манхэттенские расстояния от точки аварии до каждой станции: d0 = |x − x0 | + |y − y0 |,

d1 = |x − x1 | + |y − y1 |.

Если d0 ≤ d1 , выбираем станцию класса 0, иначе — 1. x = int(input()) y = int(input()) x0 = int(input()) y0 = int(input()) x1 = int(input()) y1 = int(input()) d0 = abs(x − x0) + abs(y − y0) d1 = abs(x − x1) + abs(y − y1) print(0 if d0 <= d1 else 1)

7-8 классы