Системы счисления и перевод чисел

Что такое система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр) и правил. Системы делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе значение цифры зависит от её положения (разряда) в записи числа.

Основание системы — это количество различных цифр, которые в ней используются. В десятичной системе основание 10 (цифры от 0 до 9), в двоичной — 2 (цифры 0 и 1).

Перевод в десятичную систему

Число раскладывают по степеням основания. Каждую цифру умножают на основание в степени, равной номеру разряда (разряды считают справа налево, начиная с нуля), и складывают:

1011 (двоичное) = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Перевод из десятичной системы

Число делят с остатком на основание новой системы, пока частное не станет нулём. Остатки, записанные снизу вверх, дают результат.

13 : 2 = 6, остаток 1
6 : 2 = 3, остаток 0
3 : 2 = 1, остаток 1
1 : 2 = 0, остаток 1
Ответ: 1101 (двоичное)

Связь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем

Поскольку 8 = 2 в третьей степени, а 16 = 2 в четвёртой, перевод выполняется группами битов. Двоичное число делят на группы по 3 цифры (для восьмеричной) или по 4 цифры (для шестнадцатеричной), считая справа, и каждую группу заменяют одной цифрой.

110101 -> 110 | 101 -> 65 (восьмеричное)
110101 -> 0011 | 0101 -> 35 (шестнадцатеричное)

Зачем компьютеру разные системы

Внутри компьютера вся информация хранится в двоичной системе, потому что электронные элементы устойчиво различают два состояния: есть сигнал и нет сигнала, что соответствует цифрам 1 и 0. Однако длинные двоичные записи неудобны для человека: число даже из нескольких десятков занимает много цифр и легко ошибиться при чтении.

Поэтому программисты используют восьмеричную и особенно шестнадцатеричную системы как компактную запись двоичных чисел. Одна шестнадцатеричная цифра заменяет ровно четыре двоичных, поэтому длинный двоичный код становится короче в четыре раза. В шестнадцатеричной системе для цифр после девяти применяют буквы: A равно 10, B равно 11 и так далее до F, равного 15.

Частые ошибки. Считают разряды слева, а не справа. Забывают, что нумерация разрядов начинается с нуля. При делении записывают остатки сверху вниз вместо снизу вверх. Неверно делят на группы битов с конца.

Кратко о главном

• В позиционной системе значение цифры зависит от разряда.
• Основание — количество цифр в системе.
• В десятичную переводят разложением по степеням основания.
• Из десятичной — делением с остатком, остатки читают снизу вверх.
• В восьмеричную и шестнадцатеричную удобно переводить группами по 3 и по 4 бита.