Таблицы истинности и логические схемы
💻 Информатика · 10 класс
Логические выражения и таблицы истинности
Логическое выражение составляется из логических переменных и операций и принимает одно из двух значений: истина (1) или ложь (0). Таблица истинности — это таблица, показывающая значение выражения при всех возможных наборах значений входящих в него переменных.
Основные операции
В школьном курсе изучают базовые логические операции: отрицание, конъюнкцию (логическое умножение) и дизъюнкцию (логическое сложение).
A | B | не A | A и B | A или B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Сколько строк в таблице
Если в выражении n переменных, то таблица истинности содержит 2^n строк — по числу всех наборов значений. Для двух переменных это 4 строки, для трёх — 8 строк.
Разобранный пример
Построим таблицу для выражения F = (A и B) или (не A).
A=0, B=0: (0 и 0)=0, не A=1, F = 0 или 1 = 1A=0, B=1: (0 и 1)=0, не A=1, F = 0 или 1 = 1A=1, B=0: (1 и 0)=0, не A=0, F = 0 или 0 = 0A=1, B=1: (1 и 1)=1, не A=0, F = 1 или 0 = 1
A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Логические элементы и схемы
Каждой операции соответствует логический элемент — устройство, которое получает входные сигналы (0 или 1) и выдаёт результат. Элемент НЕ выполняет отрицание, И — конъюнкцию, ИЛИ — дизъюнкцию. Соединяя элементы, строят логическую схему, которая вычисляет сложное выражение. Порядок действий: сначала отрицание, затем конъюнкция, потом дизъюнкция; скобки меняют порядок.
Приоритет операций
Чтобы правильно вычислять логические выражения, нужно строго соблюдать порядок выполнения операций. Он закреплён правилом и совпадает для всех задач.
| Порядок | Операция | Название |
|---|---|---|
| 1 | не | отрицание |
| 2 | и | конъюнкция |
| 3 | или | дизъюнкция |
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в них. Это похоже на порядок действий в обычной арифметике, где умножение выполняется раньше сложения.
Равносильные выражения
Два логических выражения называют равносильными, если при всех наборах значений переменных они дают одинаковые результаты. Чтобы проверить равносильность, строят таблицы истинности обоих выражений и сравнивают столбцы результата. Равносильные преобразования позволяют упрощать выражения и строить более простые логические схемы из меньшего числа элементов.
Частые ошибки. Не забывайте: число строк таблицы равно2^n, а не2·n. Соблюдайте приоритет операций — отрицание выполняется раньше конъюнкции. Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны оба операнда.
Кратко о главном
- Таблица истинности показывает значение выражения при всех наборах переменных.
- Для n переменных в таблице
2^nстрок. - Базовые операции: отрицание, конъюнкция (и), дизъюнкция (или).
- Логические элементы соединяют в схемы, вычисляющие выражения.