Предикат: высказывание с переменной и область истинности
💻 Информатика · 10 класс
Предикат — логическое условие, истинность которого зависит от значений переменных. Запись P(x): «x больше 5» ещё не задаёт одно определённое истинное или ложное высказывание, пока
Предикат — логическое условие, истинность которого зависит от значений переменных. Запись P(x): «x больше 5» ещё не задаёт одно определённое истинное или ложное высказывание, пока не выбрано значение x либо не добавлено условие о всех или некоторых значениях. Важно также указать область, из которой берутся значения.
Как получить высказывание
Пусть область — целые числа, а P(x) означает x > 5. Подстановка x=7 даёт истинное утверждение, x=2 — ложное. Переменная не является неизвестным числом, которое обязательно надо «решить» единственным способом. Нас может интересовать всё множество значений, для которых выполняется условие.
Для этого предиката область истинности — целые числа 6, 7, 8 и далее. Если область заранее ограничить набором {1, 3, 6, 10}, истинными останутся только 6 и 10. Без указания исходной области даже простой ответ может оказаться неоднозначным.
Логические операции
Предикаты соединяются операциями И, ИЛИ, НЕ. Пусть A(x) — «x чётное», а B(x) — «x больше 5». Для числа 8 выражение A(x) И B(x) истинно; для 7 — ложно, потому что первая часть не выполнена. Операция ИЛИ в обычной математической логике допускает истинность обеих частей.
Отрицание нужно применять ко всему условию. Отрицание «x больше 5» — «x не больше 5», то есть x ≤ 5. Нельзя просто заменить «больше» на «меньше»: так потеряется случай равенства. Это частый источник ошибок при составлении условий программы.
Кванторы меняют задачу
Запись «для всех x выполнено P(x)» проверяет каждый элемент выбранной области. Запись «существует x, для которого P(x)» требует хотя бы одного подходящего значения. На области {2, 4, 7} утверждение «существует чётное число» истинно, а «все числа чётные» — ложно.
Чтобы опровергнуть утверждение «для всех», достаточно контрпримера. Чтобы подтвердить «существует», достаточно свидетеля — конкретного значения. Но один удачный пример не доказывает универсальное правило. Аналогично несколько неудачных попыток сами по себе не исключают существование нужного значения в большой области.
Задания и ответы
1. На множестве {−1, 0, 2, 5} найдите область истинности x² > 1. Ответ: {2, 5}. 2. Истинно ли «для всех целых x число x² неотрицательно»? Да. 3. Отрицайте фразу «у каждого участника есть карандаш». Ответ: «существует участник, у которого нет карандаша», а не «ни у кого нет карандаша».
При решении записывайте три вещи: область значений, само условие и способ проверки. В программировании такой порядок помогает отделить допустимые входы от логического результата. Если область пуста, привычные бытовые догадки о слове «каждый» могут подвести; этот случай рассматривается отдельно в формальной логике.
Связанные материалы
Что такое логические операции, Что такое конъюнкция.
Источники и проверка
OpenStax: Statements and Quantifiers.