Основные логические операции: И, ИЛИ, НЕ

Что такое логические операции

Логическая операция — это действие над высказываниями, в результате которого получается новое высказывание, истинное или ложное. В алгебре логики работают только с двумя значениями: истина (записывается как 1) и ложь (0). Из простых высказываний с помощью операций строят сложные, и для каждого сложного высказывания можно вычислить его значение.

Логика лежит в основе работы компьютера: процессор состоит из элементов, которые выполняют именно логические операции над электрическими сигналами. Поэтому умение вычислять логические выражения — это первый шаг к пониманию того, как устроена вычислительная техника.

В курсе 8 класса изучают три базовые операции: инверсию (отрицание), конъюнкцию (логическое умножение) и дизъюнкцию (логическое сложение). Все остальные логические операции можно выразить через эти три.

Инверсия (НЕ)

Инверсия меняет значение высказывания на противоположное. Если исходное высказывание истинно, его отрицание ложно, и наоборот. Обозначается чертой над переменной или знаком ¬. Читается «не A». Это единственная из трёх операций, которая применяется к одному высказыванию, а не к двум.

Конъюнкция (И)

Конъюнкция двух высказываний истинна только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается знаком ∧, точкой или союзом «и». Соответствует союзу «и» в обычной речи: высказывание «сегодня солнечно и тепло» верно лишь при выполнении обоих условий одновременно. Конъюнкцию называют логическим умножением, потому что её таблица совпадает с таблицей умножения нулей и единиц.

Дизъюнкция (ИЛИ)

Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложна только тогда, когда ложны оба. Обозначается знаком ∨ или плюсом. Соответствует союзу «или» в его неисключающем смысле: «пойду в кино или в театр» остаётся верным, даже если человек побывал и там, и там.

Таблицы значений операций

Поведение операций удобно показать в единой таблице. В ней перечислены все возможные сочетания значений двух высказываний A и B:

A	B	НЕ A	A∧B	A∨B
0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	1

Разбор примера

Пусть высказывание A — «Идёт дождь» (истинно, 1), а B — «На улице тепло» (ложно, 0). Тогда сложное высказывание «Идёт дождь И на улице тепло» вычисляется так:

A ∧ B = 1 ∧ 0 = 0

Высказывание ложно, потому что для конъюнкции нужны обе истины. А вот «Идёт дождь ИЛИ на улице тепло» истинно:

A ∨ B = 1 ∨ 0 = 1

Усложним: вычислим «НЕ A ИЛИ B». Сначала инверсия, потом дизъюнкция:

¬A ∨ B = ¬1 ∨ 0 = 0 ∨ 0 = 0

Запомни порядок действий. Сначала выполняется инверсия (НЕ), затем конъюнкция (И), и только потом дизъюнкция (ИЛИ). Скобки меняют порядок. Частая ошибка — считать дизъюнкцию ложной при одной истине: на самом деле для ИЛИ достаточно одной единицы.

Кратко о главном

• Логические операции работают со значениями 0 (ложь) и 1 (истина).
• Инверсия (НЕ) меняет значение на противоположное и применяется к одному высказыванию.
• Конъюнкция (И) истинна только при двух истинах.
• Дизъюнкция (ИЛИ) ложна только при двух ложях.
• Порядок действий: НЕ, затем И, затем ИЛИ; скобки имеют приоритет.