Условие
Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Разбор задания
Номер 349 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 5. Четырёхугольники · страница 8
Решение
- Пусть из вершины A проведены высота AH и медиана AM, ∠BAH = ∠HAM = ∠MAC = α. В треугольнике ABM высота AH является биссектрисой, поэтому △ABM равнобедренный: AB = AM, BH = HM = BM/2 = MC/2.
- В прямоугольном треугольнике AHC отрезок AM — биссектриса угла HAC, ∠HAM = ∠MAC. Из △AHM: ∠AMH = 90° − α, и в △AMC ∠C = 180° − α − (90° + α) = 90° − 2α. Так как HM = MC/2 и AM — биссектриса, точка M делит HC в отношении AH : AC = 1 : 2, то есть AC = 2AH, откуда ∠C = 30°.
- Тогда 90° − 2α = 30°, α = 30°, и ∠A = 3α = 90°.
Ответ
∠A = 90° (∠C = 30°, каждая часть угла A равна 30°)
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →