Условие
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O. а) Сравните площади треугольников ABD и ACD. б) Сравните площади треугольников ABO и CDO. в) Докажите, что OA·OB = OC·OD.
Разбор задания
Номер 511 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 6. Площадь · страница 40
Решение
- а) Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD, а их вершины B и C лежат на прямой BC, параллельной AD. Значит, высоты, проведённые к AD, равны расстоянию между основаниями трапеции, и S(ABD) = S(ACD).
- б) S(ABO) = S(ABD) − S(AOD), S(CDO) = S(ACD) − S(AOD). Уменьшаемые равны по пункту а), вычитаемое общее, поэтому S(ABO) = S(CDO).
- в) Треугольники ABO и ADO имеют общую высоту из вершины A к прямой BD, поэтому S(ABO) : S(ADO) = OB : OD. Треугольники CDO и ADO имеют общую высоту из вершины D к прямой AC, поэтому S(CDO) : S(ADO) = OC : OA.
- Так как S(ABO) = S(CDO), левые части равны: OB/OD = OC/OA, откуда OA·OB = OC·OD.
Ответ
а) равны; б) равны; в) доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →