Условие
Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, делит трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
Разбор задания
Номер 512 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 6. Площадь · страница 40
Решение
- Пусть BC = a, AD = b (a < b), отрезок MN = x (M на AB, N на CD), высоты трапеций MBCN и AMND равны h₁ и h₂.
- Равновеликость: (a + x)·h₁/2 = (x + b)·h₂/2, то есть (a + x)h₁ = (x + b)h₂.
- Проведём через C прямую, параллельную AB; она пересечёт MN в точке P и AD в точке Q. Тогда NP = x − a, DQ = b − a, и из подобия треугольников CNP и CDQ: (x − a)/(b − a) = h₁/(h₁ + h₂). Отсюда h₁ : h₂ = (x − a) : (b − x).
- Подставляем: (a + x)(x − a) = (x + b)(b − x), то есть x² − a² = b² − x², 2x² = a² + b².
- x = √((a² + b²)/2).
Ответ
√((a² + b²)/2).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →