Условие
Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Разбор задания
Номер 535 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 6. Площадь · страница 45
Решение
- Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, D на BC. Докажем, что BD/DC = AB/AC.
- Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту из вершины A к прямой BC, поэтому S(ABD)/S(ACD) = BD/DC.
- Точка D лежит на биссектрисе угла A, значит она равноудалена от сторон AB и AC: высоты треугольников ABD и ACD, опущенные из D на AB и AC, равны. Поэтому S(ABD)/S(ACD) = AB/AC.
- Сравнивая два выражения для одного отношения площадей, получаем BD/DC = AB/AC.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →