Олимпиада по математике 5 класс — школьный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКА. 2023–2024 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС ЗАДАНИЯ, ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ 1. На большой ферме живут 630 кроликов. В один из дней фермер покормил их из расчёта 3 килограмма моркови на 70 кроликов, а надо было — 7 килограммов моркови на 90 кроликов. Сколько ещё моркови понадобится, чтобы правильно накормить кроликов? Ответ выразите в килограммах. Ответ: 22. Решение. Первоначально фермер потратил (630 ∶ 70) ⋅ 3 = 27 килограммов моркови, а должен был потратить (630 ∶ 90) ⋅ 7 = 49 килограммов моркови. Таким образом, ему понадобится ещё 49 − 27 = 22 килограмма моркови. 2. Лёня разрезал по линиям сетки прямоугольник 7 × 4 на семь прямоугольников площадью 6, 5, 5, 5, 4, 2, 1. Площадь каждого из первых шести прямоугольников Лёня написал в одной из его клеток, как показано на рисунке.

Какой клетке соответствует прямоугольник площади 1? Ответ:

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 5 класс. Критерии оценивания

Решение. В первую очередь обратим внимание на две цифры 5 в противоположных углах прямоугольника, а также на цифру 2. Они однозначно задают расположение своих прямоугольников, как показано на рис 1a.

(a)

(b)

(c)

Теперь можно определить расположение прямоугольника, состоящего из 6 клеток (рис. 1b). Расположение двух оставшихся прямоугольников с подписанными клетками после этого определяется однозначно, как показано на рис. 1c. Таким образом, мы получаем, что квадрат 1 × 1 расположен в клетке 𝐶3. 3. Учитель выписал на доску несколько подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы. Петя заметил, что ровно 17 из них делятся на 3, а Вася заметил, что ровно 3 из них делятся на 13. Сколько чисел выписал на доску учитель? Ответ: 51. Решение. Поскольку ровно 17 чисел делятся на 3, то на доску точно были выписаны числа 3, 6, 9, … , 51 и не было выписано число 54. Также на доске были ровно 3 числа, делящиеся на 13. Значит, там точно были выписаны числа 13, 26, 39 и не было выписано число 52. Следовательно, учитель выписал на доску все натуральные числа от 1 до 51 — ровно 51 число. 2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 5 класс. Критерии оценивания

4. У Ильи есть 16 фигурок солдатиков: лучников и мечников. Если он отдаст брату любые 3 фигурки, то мечников у него останется в любом случае больше, чем лучников. Если же он отдаст брату половину мечников, то лучников у него останется больше, чем мечников. Сколько фигурок лучников у Ильи? Ответ: 6. Решение. Нам известно, что если Илья отдаст брату любые 3 фигурки, то мечников у него останется в любом случае больше, чем лучников. Отсюда получается, что у Ильи мечников хотя бы на 4 больше, чем лучников. Поскольку всего фигурок 16, то под это условие подходят лишь следующие варианты: • 16 мечников и 0 лучников, • 15 мечников и 1 лучник, • 14 мечников и 2 лучника, • 13 мечников и 3 лучника, • 12 мечников и 4 лучника, • 11 мечников и 5 лучников, • 10 мечников и 6 лучников. Теперь воспользуемся другим условием: «Если же он отдаст брату половину мечников, то лучников у него останется больше, чем мечников». Очевидно, что из перечисленных вариантов под это условие подходит только последний: 10 мечников и 6 лучников. 5. Найдите наибольшее восьмизначное число, удовлетворяющее двум условиям:  У него любые три подряд идущие цифры различны;  У него произведение любых трёх подряд идущих цифр делится на 20. Ответ: 98598598 Решение. Чем больше первая цифра числа, тем больше само число, поэтому пусть наше число начинается с цифры 9: 9....... Первые три цифры должны быть различны, поэтому максимальное значение, которое может принимать вторая цифра, — это 8. 98...... Теперь поймём, какое значение в этом случае может принимать третья цифра числа. Чтобы произведение первых трёх цифр делилось на 20, необходимо поставить на третье место либо 0 (тогда 9 ⋅ 8 ⋅ 0 = 0, что делится на 20), либо 5 (тогда 9 ⋅ 8 ⋅ 5 = 360, что делится на 20). Во втором случае число получится больше. 985..... 3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 5 класс. Критерии оценивания

Теперь рассмотрим следующую тройку: четвёртую, пятую и шестую цифры. Для них можно повторить точно такое же рассуждение. 985985.. И для последних двух цифр тоже. 98598598 Заметим, что у получившегося числа любые три подряд идущие цифры — это 5, 8 и 9 в каком-то порядке. Они различны, и их произведение делится на 20, поэтому полученное число удовлетворяет условию задачи. 6. На рисунке изображён прямоугольник, разрезанный на семь квадратов.

Найдите периметр этого прямоугольника, если его площадь равна 2268. Ответ: 198. Решение. Заметим, что сторона большого квадрата в 4 раза больше стороны маленького квадрата, поэтому большой квадрат можно разрезать на 16 маленьких квадратов.

Теперь видно, что сторона среднего квадрата в 2 раза больше стороны маленького квадрата, поэтому каждый из средних квадратов можно разрезать на 4 маленьких квадрата.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 5 класс. Критерии оценивания

Пусть 𝑥 — площадь маленького квадрата. Тогда площадь всего прямоугольника равна 28𝑥, а по условию задачи она равна 2268. Получается уравнение 28𝑥 = 2268, 𝑥 = 81. Отсюда можно понять, что маленький квадрат имеет размеры 9 × 9. Периметр всего прямоугольника равен 2⋅(4𝑥+7𝑥) = 22𝑥, и он в 22 раза больше стороны маленького квадрата. Значит, ответом к задаче является число 22 ⋅ 9 = 198.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 5 класс. Критерии оценивания

7. У Вани есть 234 монеты и доска 7 × 7. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник 1 × 4 или 4 × 1, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты. Ответ: 32. Решение. Разобьём наш квадрат на 12 прямоугольников 1 × 4 и 1 квадратик 1 × 1, как показано на рис. 2a. Из условия задачи следует, что суммарное количество монет во всех

12 прямоугольниках равно 12 ⋅ 19 = 228. Поскольку всего монет 234, то в центральном квадратике 1 × 1 лежат ровно 234 − 228 = 6 монет. Теперь рассмотрим два прямоугольника 1×4 в четвёртом столбце: образованный верхними 4 клетками и образованный нижними 4 клетками (рис. 2b). Чтобы найти количество монет в четвёртом столбце, мы сложим количества монет в этих двух прямоугольниках: 19 + 19 = 38 монет. Но при этом монеты в центральном квадратике посчитаны дважды, поэтому их количество надо вычесть: 38 − 6 = 32 монеты.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 5 класс. Критерии оценивания

8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались на заседание 50 жителей острова, среди которых было k лжецов (k ≥ 4). Все лжецы по очереди сделали заявления:  Первый лжец: «Среди нас рыцарей меньше, чем лжецов»,  Второй лжец: «Среди нас рыцарей столько же, сколько лжецов»,  Третий лжец: «Среди нас рыцарей на 1 больше, чем лжецов»,  Четвёртый лжец: «Среди нас рыцарей на 2 больше, чем лжецов»,  ...  k-й лжец: «Среди нас рыцарей на (k – 2) больше, чем лжецов». Найдите наибольшее возможное значение k. Ответ: 17. Решение. Так как все лжецы соврали, то рыцарей должно быть хотя бы на 𝑘 − 1 больше, чем лжецов. Раз лжецов ровно 𝑘, то рыцарей хотя бы 2𝑘 − 1, а на заседание собрались хотя бы 3𝑘 − 1 жителей острова. Но условию задачи нам известно, что на заседании было ровно 50 человек. Получаем неравенство 3𝑘 − 1 ⩽ 50 ⇒ 3𝑘 ⩽ 51 ⇒ 𝑘 ⩽ 17. Осталось лишь понять, что случай с 17 лжецами и 33 рыцарями удовлетворяет условию задачи. Действительно, в этом случае рыцарей на 16 больше, чем лжецов, поэтому все 17 лжецов действительно солгали.