Олимпиада по математике 6 класс — школьный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКА. 2023–2024 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС ЗАДАНИЯ, ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ 1. В ряд выложены квадраты и треугольники. Треугольника всего два — синий и красный. Оказалось, что справа от синего треугольника находятся красный треугольник и 7 квадратов, а слева от красного треугольника — 12 квадратов.

Сколько квадратов между треугольниками, если всего выложено 17 фигур? Ответ: 4. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. В ряд выложены 17 фигур, две из них — треугольники. Значит, квадратов всего 17 – 2 = 15. Семь из них расположены правее синего треугольника, а остальные 8 левее него. Слева от красного треугольника 12 квадратов. Значит, между треугольниками 12 – 8 = 4 квадрата. 2. Футбольный матч закончился 5 : 1. Каждый гол в этом матче был устроен так: один игрок давал голевой пас своему сокоманднику, а тот забивал гол команде соперников. После каждого гола в протокол матча записывали имена двух игроков из одной команды: того, кто забил гол, и того, кто отдал голевой пас. По итогу матча в протоколе оказались записаны имена только четырёх игроков: Андрея, Бориса, Вадима и Дениса. Сколько забил голов и сколько отдал голевых передач Денис, если известно, что его сокомандник Андрей забил ровно 2 гола? Ответ: голы — 3, голевые передачи — 2. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. За каждую команду должны играть хотя бы двое из четверых упомянутых ребят, так как каждая команда забила хотя бы 1 гол (то есть кто-то отдал голевой пас, а кто-то этот гол забил). Но так как ребят всего четверо, то ровно двое из них играют за одну команду, и ровно двое — за другую. Из условия задачи мы знаем, что Андрей и Денис играют за одну команду. Так как Андрей забил 2 гола, то эти ребята играют за команду, забившую 5 голов. 1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 6 класс. Критерии оценивания

Получается, что Денис забил 3 оставшихся гола и отдал 2 голевых передачи Андрею. 3. В большой кроличьей семье есть дети: кролики и крольчихи. У каждого кролика братьев в 2 раза больше, чем сестёр. А у каждой крольчихи сестёр на 6 меньше, чем братьев. Сколько всего детей в этой семье? Ответ: 13. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Пусть у одного кролика 𝑥 сестёр, то есть всего 𝑥 крольчих. Тогда братьев у него ровно 2𝑥, поэтому всего кроликов ровно 2𝑥 + 1 (включая его самого). Теперь рассмотрим крольчиху: у неё 𝑥 − 1 сестёр и 2𝑥 + 1 братьев. По условию мы знаем, что первая величина на 6 меньше, чем вторая. Получаем и решаем соответствующее уравнение: (𝑥 − 1) + 6 = 2𝑥 + 1, 𝑥 + 5 = 2𝑥 + 1, 𝑥 = 4. Тогда всего детей в семье кроликов ровно 𝑥 + (2𝑥 + 1) = 3𝑥 + 1 = 3 ⋅ 4 + 1 = 13. 4. У мальчиков Ильи, Максима, Вовы и Лёши есть конфеты: 1, 2 или 3 у каждого. Они заявили следующее:  Илья: «У Лёши не 1 конфета».  Максим: «Ровно у двоих из нас по 3 конфеты».  Вова: «У меня конфет больше, чем у Лёши».  Лёша: «Количества конфет у Максима и Вовы отличаются не более чем на 1». Известно, что соврал только один мальчик, и он — единственный, у кого 1 конфета. У кого сколько конфет? Ответ: Илья — 3, Максим — 2, Вова — 1, Лёша — 3. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Предположим, что 1 конфета у Ильи. Тогда, сказав, что у Лёши не 1 конфета, он соврал, поэтому у Лёши тоже 1 конфета. Противоречие. Получается, что у Ильи 2 или 3 конфеты, и он говорит правду. Тогда и у Лёши 2 или 3 конфеты, и он тоже говорит правду. По условию задачи только у одного мальчика ровно 1 конфета, поэтому может быть два варианта (тут мы также пользуемся верным утверждением Лёши): • у Максима 1 конфета, а у Вовы 2 конфеты, • у Максима 2 конфеты, а у Вовы 1 конфета. 2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 6 класс. Критерии оценивания

То есть у Вовы 1 или 2 конфеты, а у Лёши 2 или 3 конфеты, поэтому Вова точно соврал. Теперь мы точно понимаем, что у Максима 2 конфеты, а у Вовы 1 конфета. Тогда Максим говорит правду, и среди ребят ровно у двоих по 3 конфеты. Отсюда можно сделать вывод, что эти двое — Илья и Лёша. 5. Квадрат на рисунке разбит на 11 меньших квадратов: белых и серых. Суммарная площадь серых квадратов равна 102.

Чему равна суммарная площадь белых квадратов? Ответ: 90. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. На рисунке изображены 2 больших и 4 маленьких серых квадрата, а также 2 больших и 3 маленьких белых квадрата. Очевидно, что все большие квадраты равны друг другу (т. е. имеют одинаковые стороны), и все маленькие квадраты тоже равны друг другу. Поэтому для решения задачи достаточно найти разность серой и белой площади — площадь маленького квадрата. Пусть сторона маленького квадрата равна 𝑥. На рисунке видно, что две стороны большого квадрата суммарно равны по длине трём сторонам маленького квадрата (т. е. равны 3𝑥). 3 Значит, сторона большого квадрата равна x . 2 Суммарная площадь двух больших и четырёх маленьких серых квадратов равна 2

 3x  2     4 x2  2 а по условию это равно 102. Получаем равенство 2

 3x  2     4 x 2  102  2 8,5 x 2  102 x 2  12 3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 6 класс. Критерии оценивания

Таким образом, мы нашли разность серой и белой площади. Значит, ответом к задаче является число 102 − 12 = 90. 6. По обе стороны дороги стоят столбы так, что расстояние между первым и последним столбами с каждой стороны равно 37 км. С левой стороны стоит 117 столбов, и расстояние между соседними столбами одинаковое. С правой стороны расстояние между соседними столбами тоже одинаковое, но оно на треть больше, чем с левой. Сколько всего столбов стоит справа? Ответ: 88. Решение. С левой стороны стоит 117 столбов, между ними есть 116 одинаковых промежутков. Значит, длина одного промежутка между двумя соседними столбами 37 с левой стороны равняется км. 116 С правой стороны расстояние между соседними столбами на треть больше, поэтому 37 4 37   оно равняется км. Значит, с правой стороны 87 промежутков и, 116 3 87 соответственно, 88 столбов. 7. На рисунке изображена клетчатая доска. Будем считать, что фишка на этой доске видит другую фишку, если они расположены либо в одной вертикали, либо в одной горизонтали, причём между ними нет границ доски. Сколькими способами можно расставить 5 фишек на этой доске так, чтобы никакие две из них не видели друг друга? Ответ: 360. Решение. Доска состоит из пяти линий: четырёх вертикалей и одной горизонтали. Заметим, что в каждой из них может стоять не более одной фишки, но так как фишек ровно 5 и линий ровно 5, то в каждой линии должна быть ровно одна фишка. Никакая фишка не может стоять в пересечении двух линий, так как иначе фишек было бы меньше 5. Такие клетки покрасим серым цветом. Тогда • первую фишку можно поставить в одну из 2 клеток с номером 1; • вторую фишку можно поставить в одну из 4 клеток с номером 2; • третью фишку можно поставить в одну из 3 клеток с номером 3; • четвёртую фишку можно поставить в одну из 5 клеток с номером 4; • пятую фишку можно поставить в одну из 3 клеток с номером 5.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2023–2024 уч. г. Школьный этап. 6 класс. Критерии оценивания

Таких расстановок ровно 2⋅4⋅3⋅5⋅3 = 360. Очевидно, что все они удовлетворяют условию. 8. Андрей, Боря, Вера, Галя, Денис и Елена решили сыграть в настольную игру. Они разбились на три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Цель игры — получить как можно больше очков. К концу игры все дети суммарно набрали 151 очко, причём в каждой команде девочка набрала на 5 очков больше, чем мальчик. При этом если к числу очков Андрея прибавить число очков Гали, то получится 52, а если прибавить число очков Веры, то получится 48. Известно, что каждый из детей набрал целое число очков. Сколько очков набрала Елена? (Каждый из детей набрал целое число очков.) Ответ: 27. Решение. Пусть Андрей набрал А очков, Боря — Б очков, Вера — В очков, Галя — Г очков, Денис — Д очков, Елена — Е очков. По условию задачи девочка, которая была в одной команде с Андреем, набрала А+5 очков. Тогда вместе они набрали 2А + 5 очков, что не может равняться 48 или 52 из-за чётности. Значит, Андрей был в одной команде с Еленой. Заметим, что Елена набрала на 5 очков больше, чем Андрей, поэтому Е + Г = А + 5 + Г = 52+5 = 57 очков. Тогда нетрудно вычислить, сколько очков набрали Боря и Денис в сумме. Б + Д = 151 − А − В − Г − Е = 151 − (Е + Г) − (А + В) = 151 − 57 − 48 = 46. Теперь можно посчитать, сколько в сумме набрали Вера и Галя. В + Г = (Б + 5) + (Д + 5) = 46 + 10 = 56. Осталось вычислить, сколько очков набрал Андрей. 2А = (А + В) + (А + Г) − (В + Г) = 48 + 52 − 56, 2А = 44, А = 22. Таким образом, Елена набрала 22 + 5 = 27 очков.