Делимость чисел
🔢 Математика · 5 класс
Делимость чисел
Говорят, что число делится на другое, если при делении не остаётся остатка, то есть деление выполняется нацело. Чтобы каждый раз не делить в столбик, математики придумали признаки делимости — быстрые правила, по которым сразу видно, делится число или нет. Эти признаки особенно полезны при сокращении дробей, разложении чисел на множители и поиске общих делителей.
Признаки делимости
| Делитель | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) | 134 делится на 2 |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 275 делится на 5 |
| 10 | последняя цифра 0 | 480 делится на 10 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 171, ведь 1+7+1=9 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 648, ведь 6+4+8=18 |
Обрати внимание: признаки делимости на 2, 5 и 10 смотрят только на последнюю цифру числа, а признаки на 3 и 9 — на сумму всех его цифр. Это удобно разделить в памяти на две группы, чтобы не путать. Есть и связанные признаки: на 6 делятся числа, которые делятся одновременно на 2 и на 3; на 4 — числа, у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4. Чётными называют числа, делящиеся на 2, а нечётными — все остальные.
Простые и составные числа
Простое число — это число, которое делится только на 1 и само на себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Составное число имеет, кроме единицы и самого себя, ещё хотя бы один делитель: например, 4 (делится на 2), 6, 9, 12. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным, потому что у него всего один делитель. А число 2 — единственное чётное простое число; все остальные простые числа нечётные.
| Тип числа | Делители | Примеры |
|---|---|---|
| Простое | только 1 и само число | 2, 3, 5, 7, 11 |
| Составное | есть и другие делители | 4, 6, 8, 9, 10 |
Разбор примера
Выясним, делится ли число 459 на 9 и на 5.
1) Проверка на 5: последняя цифра 9 — это не 0 и не 5, значит, на 5 не делится.
2) Проверка на 9: сумма цифр 4 + 5 + 9 = 18; число 18 делится на 9,
значит, и 459 делится на 9.
Ответ: 459 делится на 9, но не делится на 5.
Частые ошибки. Не путай группы признаков: делимость на 3 и 9 проверяют по сумме цифр, а на 2, 5 и 10 — по последней цифре. Помни, что 1 — не простое число, а 2 — простое, хотя оно и чётное. И полезный факт: если число делится на 9, то оно делится и на 3, но обратное неверно.
Кратко о главном
- На 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 — с цифрой 0 или 5, на 10 — с цифрой 0.
- На 3 и 9 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 3 и 9.
- Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
- Составное число имеет больше двух делителей.
- Число 1 не простое и не составное, число 2 — единственное чётное простое.