Олимпиада по математике 5 класс — пригласительный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

Пригласительный этап 2023 Математика. 5 класс 1. Клон 1 Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 112 см. Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 168 Решение 1 способ. Прямоугольники А и Б состоят из одинаковых квадратиков: прямоугольник А – из трёх, а прямоугольник Б – из четырёх. Назовём «палочкой» сторону такого квадратика и будем считать периметр в палочках. Периметр прямоугольника Б больше периметра А на четыре палочки. Также заметим, что четыре палочки – это половина периметра прямоугольника А. Тогда периметр Б равен 112/2 + 112 = 168 см. 2 способ. Прямоугольники А и Б состоят из одинаковых квадратиков: прямоугольник А – из трёх, а прямоугольник Б – из четырёх. Назовем «палочкой» сторону такого квадратика и будем считать периметр в палочках. Периметр А равен 8 палочек, а периметр Б – 12 палочек. Длина одной палочки равна 112/8 = 14 см. Тогда периметр Б равен 12 · 14 = 168 см. Клон 2 Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 116 см. Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 174 Клон 3 Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 122 см. Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 183 Клон 4 Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 126 см. Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 189 2

2. Клон 1 На стене висит раскраска в виде треугольника из кружочков. Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 синих, 1 зелёный и 1 красный кружочек? Поворачивать картинку нельзя.

Ответ: 30 Решение Если выбрать два кружочка в раскраске и один покрасить в зелёный, а другой – в красный цвет (или наоборот), то все остальные кружочки будут синими. Осталось посчитать сколькими способами можно выбрать 2 кружочка из 6. Для этого пронумеруем кружочки цифрами от 1 до 6 и выпишем все различные пары. При этом мы не будем выписывать дважды пары (а, б) и (б, а), а просто умножим полученный результат на 2. Чтобы не запутаться, будем выписывать пары в которых числа идут по возрастанию (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6) – всего получилось 15 пар. Тогда общее количество способов будет равно 15 · 2 = 30. Замечание. Умножение на 2 нужно для того, чтобы учесть, что два выбранных кружочка могут быть покрашены двумя способами (зелёный, красный) и (красный, зелёный). Клон 2 На стене висит раскраска в виде ромбиков. Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 синих, 1 жёлтый и 1 коричневый ромбик? Поворачивать картинку нельзя.

Ответ: 30 Клон 3

На стене висит раскраска в виде треугольничков. Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 зелёных, 1 красный и 1 синий треугольник. Поворачивать картинку нельзя.

Ответ: 30 Клон 4 На стене висит раскраска в виде квадратиков. Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 жёлтых, 1 зелёный и 1 синий квадратик. Поворачивать картинку нельзя.

Ответ: 30 3. Клон 1 Шнур разделили на 19 равных частей и сложили змейкой. После этого сделали разрез по пунктирной линии. Шнур распался на 20 кусков: самый длинный из них – 8 метров, самый короткий – 2 метра. Чему была равна длина шнура до того, как его разрезали? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 114 Решение 4

Найдём длину каждой из 19 равных частей, на которые был разделен шнур. Для этого нужно к половине самого длинного куска, полученного после разреза прибавить самый короткий. Получим 8/2 + 2 = 6. Тогда общая длина шнура равна 19 · 6 = 114 метров. Клон 2 Шнур разделили на 19 равных частей и сложили змейкой. После этого сделали разрез по пунктирной линии. Шнур распался на 20 кусков: самый длинный из них – 8 метров, самый короткий – 1 метр. Чему была равна длина шнура до того, как его разрезали? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 95 Клон 3 Шнур разделили на 19 равных частей и сложили змейкой. После этого сделали разрез по пунктирной линии. Шнур распался на 20 кусков: самый длинный из них – 10 метров, самый короткий – 2 метра. Чему была равна длина шнура до того, как его разрезали? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 133 Клон 4 Шнур разделили на 19 равных частей и сложили змейкой. После этого сделали разрез по пунктирной линии. Шнур распался на 20 кусков: самый длинный из них – 10 метров, самый короткий – 3 метра. Чему была равна длина шнура до того, как его разрезали? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 152 4. Клон 1 На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки. Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4 × 4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое максимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?

Ответ: 3 Решение Найдём общее количество видимых точек на костяшках домино. Это количество равно 37. Так как в квадрате 4 × 4 содержится 4 строки, количество точек в каждой из которых одинаковое, общее количество точек должно делиться на 4. Т.е. к числу 37 нужно добавить несколько точек (от 0 до 6) так, чтобы общее количество делилось на 4. Это возможно, только если добавить 3 точки. Значит на стёртой половинке может быть только 3 точки. Ниже приведён пример, что такое расположение возможно.

Клон 2 На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки. Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4 × 4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое максимальное количество точек могло быть на стёртой половинке? 6

Ответ: 4 Клон 3 На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки. Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4 × 4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое максимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?

Ответ: 5 Клон 4 На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки. Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4 × 4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое минимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?

Ответ: 1 5. Клон 1 Из 125 кубиков сахара был выложен куб 5 × 5 × 5. Пончик выбрал все кубики, имеющие нечётное число соседей и съел их (соседними считаются те кубики, которые имеют общую грань). Сколько всего кубиков съел Пончик? Ответ: 62 Решение Рассмотрим возможные случаи расположения кубика в кубе: 1. Кубик может находиться полностью внутри куба, тогда он имеет 6 соседей. 2. Кубик примыкает к грани, но не образует ребро куба, тогда у него 5 соседей. 3. Кубик примыкает к ребру куба, при этом не является вершиной, тогда у него 4 соседа. 4. Кубик является вершиной куба, в этом случае у него 3 соседа. Нам подходят 2 и 4 случаи. Для каждой грани куба количество кубиков, удовлетворяющих случаю 2 равно: 3 × 3 = 9. Так как граней у куба 6, всего выходит 54 кубика. Вершин у куба 8, поэтому всего Пончик съел 54 + 8 = 62 кубика. Клон 2 Из 125 кубиков сахара был выложен куб 5×5×5. Пончик съел все кубики, имеющие чётное число соседей (соседними считаются те кубики, которые имеют общую грань). Сколько всего кубиков съел Пончик? Ответ: 63 7

Клон 3 Из 216 кубиков сахара был выложен куб 6 × 6 × 6. Пончик выбрал все кубики, имеющие нечётное число соседей и съел их (соседними считаются те кубики, которые имеют общую грань). Сколько всего кубиков съел Пончик? Ответ: 104 Клон 4 Из 216 кубиков сахара был выложен куб 6 × 6 × 6. Пончик выбрал все кубики, имеющие чётное число соседей и съел их (соседними считаются те кубики, которые имеют общую грань). Сколько всего кубиков съел Пончик? Ответ: 112 6. Клон 1 Катя записала десятизначное число, у которого все цифры различны. Затем каждую цифру девочка заменила на количество соседних цифр в числе, которые меньше неё. Какие из приведённых ниже последовательностей могли получиться в результате? Варианты ответов: а) 1101111111 б) 1201201020 в) 1021021020 г) 0112102011 Ответ: а) в) г) Решение Заметим, что последовательность 120... не может встретиться в начале числа. Единица в начале означает, что первая цифра больше второй, а двойка на втором месте, говорит о том, что вторая цифра больше, чем оба её соседа. Получается, что с одной стороны первая цифра больше второй, а с другой – вторая больше первой. Противоречие. Остальные варианты возможны: для а) подойдёт, например, число 9801234567, для в) число 5496382170, а для г) можно взять 2679108345. Заметим, что существуют и другие примеры и любой из них будет служить обоснованием того, что указанный вариант ответа возможен. Клон 2 Катя записала десятизначное число, у которого все цифры различны. Затем каждую цифру девочка заменила на количество соседних цифр в числе, которые меньше неё. Какие из приведённых ниже последовательностей могли получиться в результате? Варианты ответов: а) 1111011111 б) 0120201120 в) 1101101021 г) 0210120111 Ответ: а) б) г) Клон 3 Катя записала десятизначное число, у которого все цифры различны. Затем каждую цифру девочка заменила на количество соседних цифр в числе, которые меньше неё. Какие из приведённых ниже последовательностей могли получиться в результате? Варианты ответов: а) 0201111201 б) 0111111120 в) 0111111201 г) 1201201020 Ответ: а) б) в) Клон 4 Катя записала десятизначное число, у которого все цифры различны. Затем каждую цифру девочка заменила на количество соседних цифр в числе, которые меньше неё. Какие из приведённых ниже последовательностей могли получиться в результате? Варианты ответов: а) 2101101021 б) 0111111120 в) 0201120201 г) 0112011120 Ответ: б) в) г) 8

7. Клон 1 В выражении ОЛ * ИМ * П * ИА * ДА требуется поставить вместо звёздочек два знака плюс и два знака минус, а буквы заменить цифрами по правилу ребуса (одинаковые буквы – одинаковыми цифрами, а разные – разными). Какое наибольшее значение выражения можно получить таким образом? Первая цифра в двузначном числе должна быть отлична от нуля. Ответ: 263 Решение Значение выражения окажется наибольшим, если слагаемые с плюсом будут максимально возможными, а слагаемые с минусом – минимальны. Плюсы необходимо поставить перед двузначными числами ИМ и ИП, тогда мы получим максимально возможную сумму из-за того, что в разряде десятков сможем использовать максимальную цифру 9 два раза. Далее максимизируем значение выражения ОЛ + ИМ – П + ИА – ДА= 10·(2И+О – Д)+(М+Л – П). Из последнего равенства видно, что И умножается на 20, О – на 10, а М и Л на 1. Чтобы получить максимальную сумму, нужно наибольшую цифру умножать на наибольшее число. Тогда И=9, О=8, М=7 и Л = 6 (можно взять 6 и 7 в другом порядке). Аналогично получаем с цифрами, перед которыми стоит знак минус. Самой маленькой должна быть Д, так как она умножается на 10. Но Д не может быть нулём, так как это первая цифра двузначного числа. Тогда Д=1, П=0. Вместо цифры А можно взять любую из оставшихся цифр, так как она на результат не влияет. Пусть, например, А=5. Наибольшее значение выражения будет в итоге равно 86 + 97 − 0 + 95 − 15 = 263. Клон 2 В выражении КР * ОС * СВ * ОР * Д требуется поставить вместо звёздочек два знака плюс и два знака минус, а буквы заменить цифрами по правилу ребуса (одинаковые буквы – одинаковыми цифрами, а разные – разными). Какое наибольшее значение выражения можно получить таким образом? Первая цифра в двузначном числе должна быть отлична от нуля. Ответ: 263 Клон 3 В выражении К * АР * ТИ * НН * АЯ требуется поставить вместо звёздочек два знака плюс и два знака минус, а буквы заменить цифрами по правилу ребуса (одинаковые буквы – одинаковыми цифрами, а разные– разными). Какое наибольшее значение выражения можно получить таким образом? Первая цифра в двузначном числе должна быть отлична от нуля. Ответ: 170

8. Клон 1 Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5 × 5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.

Ответ: А, Б, Г Решение Покажем, как можно разрезать фигурки А, Б, Г.

Теперь докажем, что фигуру В разрезать невозможно. Выделим в ней три квадратика и заметим, что никакие два из них не могут остаться в одной части, так как длина стороны полученной фигуры окажется больше 5 клеток. С другой стороны, так как мы разрезаем фигуру на две части, то найдётся часть, в которой будут находиться хотя бы два из выделенных квадратиков. Получили противоречие.

10

Клон 2 Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5 × 5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.

Ответ: Б, В, Г Клон 3 Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5 × 5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.

Ответ: А, В, Г

11

Клон 4 Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5 × 5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.

Ответ: Б, Г

12