Олимпиада по математике 5 класс — пригласительный этап ВсОШ 2026/2027: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКА. 2026 г. ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС ОТВЕТЫ Максимальный балл за работу – 56, каждая задача – 7 баллов. Задача 1 У Пети было 44 фантика. Он подарил Васе несколько фантиков, а Вася подарил Пете вдвое больше, чем получил. В итоге у Пети стало 55 фантиков. Сколько фантиков Петя подарил Васе? Ответ: 11 фантиков Решение: Вася подарил Пете в два раз больше, чем Петя подарил Васе. Значит у Пети количество фантиков в итоге увеличилось ровно на столько, сколько он подарил: 55-44=11 фантиков. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б. Задача 2 Мишка набрёл на куст малины. Он съел половину всех ягод и ушёл довольный. Затем к кусту подошла Маша и сорвала половину от оставшихся на кусте ягод. Остальные 120 ягод склевали птицы. Сколько ягод было на кусте изначально? Ответ: 480 ягод Решение: 120 ягод – это та половина ягод, что сорвала Маша. Значит, когда она подошла к кусту, на нем было 120∙2=240 (ягод). 240 ягод – это половина ягод, сорванных Мишкой. Значит, первоначально было 480 ягод. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б. Задача 3 В детском саду Андрей, Боря и Вера рисовали одну и ту же круглую салфетку (но смотрели на неё с разных сторон). Каждый из них успел нарисовать не все фрагменты. Восстановите, в каком порядке располагались фигурки на салфетке по часовой стрелке, начиная грибочка.

Ответ: Грибок, солнце, домик, цветок, бабочка, ёлка, яблоко, жук.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2026 г. Пригласительный этап. 5 класс. Ответы

Решение: Вторую картинку на первую можно наложить несколькими способами. Попробуем наложить третью картинку на первую, это возможно тремя способами.

1 способ

2 способ

3 способ

В первом случае в оставшиеся пустые кусочки (секторы круга) не получится разместить вторую картинку. Между жуком и домиком должно быть 2 сектора, а между жуком и цветочком – 3. Во втором случае не будет двух рядом стоящих секторов для размещения домика и цветочка. Такому условию удовлетворяет только способ 3. Тогда вторая картинка накладывается однозначно.

Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б. Задача 4 На одной чашке весов лежат 30 апельсинов, а на другой – 7 дынь. Если одну дыню переложить к апельсинам, то весы уравновесятся. Сколько апельсинов уравновесят дыню? Ответ: 6 Решение: если переложить дыню к апельсинам, то весы уравновесятся: 30 апельсинов + 1 дыня = 6 дынь. То есть 1 дыня весит 30:6=5 апельсинов. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б. 2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2026 г. Пригласительный этап. 5 класс. Ответы

Задача 5 Найдите периметр фигуры.

Ответ: 38 Решение:

(5+3)∙2+ 10∙2+1+1=38 Заметим, что два красных отрезка слева равны в сумме длине двух красных справа. То же самое можно сказать про верхние синие отрезки, они в сумме тоже равны нижнему синему отрезку. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2026 г. Пригласительный этап. 5 класс. Ответы

Задача 6 Вдоль прямой дороги через равные промежутки расположены 6 домов. Таня живет в первом доме. Она хочет расселить своих друзей в разные дома так, чтобы - Дима жил в три раза дальше от Бори, чем Аня; -от Бори до Тани было идти столько же, сколько до Вовы; - еще в одном доме жил Коля. Помогите Тане расселить друзей.

Ответ: Есть два варианта ответа: 2 – Коля, 3 – Боря, 4 – Аня, 5 – Вова, 6 –Дима 2 – Аня, 3 – Боря, 4 –Коля, 5 – Вова, 6 –Дима Решение: Если мы хотим, чтобы Дима жил в три раза дальше от Бори, чем Аня, то от Бори до Димы будет три промежутка (ведь 6 промежутков уже быть не может). Боря не может жить в доме с номером больше, чем 3, ведь от Бори до Тани идти столько же, сколько до Вовы. Значит, Боря живет в доме 2 или в Доме 3. Если Боря живет во втором доме, то в третьем доме, с одной стороны, должен жить Вова, а, с другой стороны, должна жить Аня. Значит Боря живет в доме №3, Вова в доме №5, а Дима в доме№6. Остались домики 2 и 4, в них Колю и Аню можно поселить в любом порядке. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б. Задача 7 На острове живут 10 человек ⸻ рыцари и лжецы. Среди них есть хотя бы 1 рыцарь и, хотя бы 1 лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», …, 10-й: «Число лжецов среди нас делится на 10». Сколько среди них может быть рыцарей? Ответ: 4. Решение: Заметим, что первый человек всегда говорит правду, ведь любое число делится на 1. А сколько человек сказали правду? Ровно столько, сколько делителей у числа лжецов, включая 1 и само число. Выпишем делители всех чисел от 1 до 9 (ведь среди них точно есть и рыцари, и лжецы): 4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2026 г. Пригласительный этап. 5 класс. Ответы

число 2 3 4 5 6 7 8 9

делители 1,2 1,3 1,2,4 1,5 1,2,3,4 1,7 1,2,4,8 1,3,9

Из таблицы видно, что только у числа 6 число плюс количество делителей равно 10. То есть было 6 лжецов и 4 рыцаря. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б. Задача 8 У Феди есть 150 пряников. Часть из них с начинкой, а остальные ⸻ без. После того, как были съедены все пряники с начинкой, общий вес пряников уменьшился в 5 раз. Сколько было пряников с начинкой, если один пряник с начинкой в два раза тяжелее пряника без начинки? Ответ: 100 Решение: После того, как были съедены все пряники с начинкой, остались только пряники без начинки, вес которых составляет 1/5 общего веса. Значит, вес пряников с начинкой составляет 4/5 общего веса, т.е. общий вес пряников с начинкой в 4 раза больше веса пряников без начинки. Но так как каждый пряник с начинкой в 2 раза тяжелее пряника без начинки, то количество пряников с начинкой в 2 раза больше. Тогда пряников без начинки 150:3=50 пряников, а с начинкой 150-50=100 пряников. Критерии оценивания: точное совпадение – 7 б.