Колебательный контур и электромагнитные колебания

Что такое колебательный контур

Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора, в которой могут возникать свободные электромагнитные колебания. Под электромагнитными колебаниями понимают периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие без затухания в идеальном случае (без сопротивления).

Колебательный контур играет в электродинамике ту же роль, что и пружинный маятник в механике: это простейшая система, способная совершать собственные колебания за счёт обмена энергией между двумя её частями.

Как возникают колебания

Если зарядить конденсатор и замкнуть его на катушку, начинается процесс перекачки энергии. Энергия электрического поля конденсатора превращается в энергию магнитного поля катушки и обратно.

1. Конденсатор полностью заряжен — вся энергия в электрическом поле, ток равен нулю.
2. Конденсатор разряжается через катушку — ток растёт, появляется магнитное поле.
3. Конденсатор разряжен — ток максимален, вся энергия в магнитном поле катушки.
4. Самоиндукция поддерживает ток, конденсатор перезаряжается с обратной полярностью.

Затем процесс повторяется в обратную сторону, и контур возвращается в исходное состояние.

Период собственных колебаний

Период свободных колебаний идеального контура определяется формулой Томсона:

T = 2π√(LC)

где L — индуктивность катушки, C — электроёмкость конденсатора. Частота колебаний ν = 1 / T, а циклическая частота ω = 1 / √(LC).

Аналогия с механикой

Заряд конденсатора аналогичен координате маятника, сила тока — скорости, индуктивность — массе, а величина, обратная ёмкости, — жёсткости пружины. Полная энергия контура сохраняется:

W = q² / (2C) + L·i² / 2 = const

Уравнения колебаний

Заряд конденсатора и сила тока в контуре меняются по гармоническому закону. Если в начальный момент конденсатор заряжен максимально, то:

q = q℈·cos(ωt), i = −q℈·ω·sin(ωt)

Видно, что заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода: когда заряд максимален, ток равен нулю, и наоборот. Амплитуда тока связана с амплитудой заряда соотношением I℈ = q℈·ω.

Разобранный пример

Пусть L = 2·10⁻³ Гн, C = 5·10⁻⁷ Ф. Найдём период колебаний:

T = 2π√(LC) = 2π√(2·10⁻³·5·10⁻⁷) ≈ 6,3·10⁻⁵ с

Чтобы увеличить период вдвое, нужно увеличить произведение LC в четыре раза, например взяв конденсатор большей ёмкости.

Затухающие и вынужденные колебания

В реальном контуре всегда есть активное сопротивление R, на котором часть энергии превращается в теплоту. Поэтому амплитуда колебаний постепенно уменьшается — колебания становятся затухающими. Чтобы поддерживать незатухающие колебания, к контуру подводят энергию от внешнего источника — возникают вынужденные колебания. Когда частота внешнего источника совпадает с собственной частотой контура, наблюдается резонанс — резкое возрастание амплитуды. Резонанс используют для настройки радиоприёмника на нужную станцию.

Частые ошибки. Период по формуле Томсона не зависит ни от начального заряда, ни от амплитуды тока — только от L и C. Нельзя путать частоту и период: они обратны друг другу. В реальном контуре из-за сопротивления колебания затухают.

Кратко о главном

• Колебательный контур состоит из катушки и конденсатора.
• Энергия периодически переходит из электрического поля в магнитное и обратно.
• Период колебаний T = 2π√(LC) (формула Томсона).
• Полная энергия идеального контура постоянна.
• В реальном контуре колебания затухают из-за сопротивления.