Условие
Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что AC² = a·b, где a и b — основания трапеции.
Разбор задания
Номер 605 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 7. Подобные треугольники · страница 58
Решение
- Пусть BC = a и AD = b — основания. Тогда ∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие при BC ∥ AD.
- В подобных треугольниках ABC и DCA (порядок вершин пока не известен) угол C первого равен углу A второго. Углу BAC не может соответствовать угол DCA: иначе ∠BAC = ∠DCA, AB ∥ CD, и ABCD — параллелограмм, а не трапеция. Значит, ∠BAC = ∠ADC, ∠ABC = ∠DCA, и соответствие вершин таково: A → D, B → C, C → A.
- Из подобия BC/CA = CA/AD, то есть AC² = BC·AD = a·b.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →