Условие
Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой OA.
Разбор задания
Номер 675 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 8. Окружность · страница 71
Решение
- Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Каждая окружность касается обеих сторон угла, поэтому её центр равноудалён от сторон угла и лежит на биссектрисе угла O. Значит, O₁ и O₂ лежат на биссектрисе.
- Окружности касаются в точке A и имеют общую касательную t в этой точке. Радиусы O₁A и O₂A перпендикулярны t, а через точку A проходит только один перпендикуляр к t, значит O₁, A, O₂ лежат на одной прямой.
- Центры различны (окружности с общим центром не имеют общих точек), поэтому прямая O₁O₂ — это биссектриса угла O, и точка A лежит на ней. Итак, биссектриса совпадает с прямой OA, и центры лежат на прямой OA.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →