Действия с целыми числами
🔢 Математика · 6 класс
Действия с целыми числами
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … У отрицательных чисел впереди стоит знак «минус», и расположены они на координатной прямой левее нуля. Главная сложность при действиях с целыми числами — правильно определить знак результата. Чтобы не ошибаться, существуют чёткие правила знаков для каждого действия.
Сложение и вычитание
При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули (значения без учёта знака) и ставят перед результатом общий знак. При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший, а знак ставят такой же, как у числа с большим модулем. Вычитание всегда можно заменить сложением с противоположным числом.
−5 + (−3) = −8 (одинаковые знаки: складываем модули, знак минус)
−7 + 4 = −3 (разные знаки: 7 − 4 = 3, знак у большего модуля)
6 − 9 = 6 + (−9) = −3
Удобно представлять отрицательные числа как «долг», а положительные — как «деньги». Тогда −5 + (−3) — это два долга, вместе они дают долг 8, то есть −8. А −7 + 4 — это долг 7 и доход 4: часть долга погашена, остаётся долг 3, то есть −3. Такая житейская картина помогает не ошибаться со знаком при сложении.
Умножение и деление: правила знаков
Для умножения и деления правило очень короткое и удобное: если знаки множителей одинаковые, результат положительный; если знаки разные — результат отрицательный.
| Знаки чисел | Знак результата | Пример |
|---|---|---|
| + и + | + | 4 × 3 = 12 |
| − и − | + | (−4) × (−3) = 12 |
| + и − | − | 4 × (−3) = −12 |
| − и + | − | (−4) × 3 = −12 |
Разбор примера
Вычислим значение выражения (−6) × 4 + (−18) : (−3).
1) Сначала умножение: (−6) × 4 = −24 (разные знаки → минус).
2) Затем деление: (−18) : (−3) = 6 (одинаковые знаки → плюс).
3) Теперь сложение: −24 + 6 = −18
(разные знаки, из 24 вычли 6, знак у большего модуля).
Ответ: −18.
Запомни ещё несколько полезных свойств. При умножении на ноль результат всегда ноль, каким бы ни было второе число. У каждого числа есть противоположное — оно отличается только знаком, а их сумма равна нулю: 5 + (−5) = 0. Модуль числа — это расстояние от него до нуля на координатной прямой, и он всегда неотрицателен: модуль числа −7 равен 7, как и модуль числа 7.
Частые ошибки. Не смешивай правила разных действий: при умножении два минуса дают плюс, но при сложении −5 + (−3) знак остаётся минусом и получается −8. Помни про порядок действий: сначала выполняют умножение и деление, и только потом сложение и вычитание. И внимательно следи за модулями, когда знаки разные.
Кратко о главном
- Целые числа — это натуральные, противоположные им и ноль.
- Одинаковые знаки при сложении: складываем модули, ставим общий знак.
- Разные знаки при сложении: вычитаем модули, знак берём у большего.
- Умножение и деление: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
- Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.