Отношения и пропорции

Отношения и пропорции

Отношением двух чисел называют их частное. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Записывают отношение так: a : b или в виде дроби a/b. Например, отношение 6 к 2 равно 3 — значит, шесть в три раза больше двух.

Что такое пропорция

Пропорция — это равенство двух отношений. Записывается так: a : b = c : d, читается «a относится к b, как c относится к d». Числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними.

Основное свойство пропорции

Главное правило этой темы: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

То есть если a : b = c : d, то a · d = b · c. Это свойство позволяет находить неизвестный член пропорции и проверять, верна ли пропорция.

Разобранный пример

Найдём неизвестный член x в пропорции 3 : 4 = x : 20.

1) По основному свойству: 3 · 20 = 4 · x
2) Считаем левую часть: 60 = 4 · x
3) Находим x: x = 60 : 4
4) x = 15
Проверка: 3 : 4 = 15 : 20 (оба отношения дают 0,75) — верно.

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Например, чем больше пирогов, тем больше яблок — это прямая пропорциональность. Если же при увеличении одной величины другая во столько же раз уменьшается, говорят об обратной пропорциональности. Пример: чем больше скорость, тем меньше времени уйдёт на дорогу.

Эта разница важна при составлении пропорции. Для прямой пропорциональности оба отношения записывают «в одну сторону». Для обратной — одно из отношений переворачивают.

Где это применяют

Пропорции нужны в задачах на масштаб карты, на рецепты, на скорость, на проценты и при решении многих текстовых задач. Например, если на 2 пирога нужно 6 яблок, то на 5 пирогов составляем пропорцию 2 : 6 = 5 : x и находим x = 15 яблок. Масштаб карты 1 : 100000 означает, что 1 см на карте соответствует 100000 см, то есть 1 км на местности — это тоже отношение.

Частые ошибки. 1) Перемножают «крест-накрест» неправильно: умножают крайний на средний. 2) Путают, какие члены крайние, а какие средние. 3) Меняют местами числитель и знаменатель в одном из отношений. 4) Забывают сделать проверку — она занимает несколько секунд и страхует от ошибки.

Кратко о главном

• Отношение — это частное двух чисел, оно показывает, во сколько раз или какую часть.
• Пропорция — равенство двух отношений вида a : b = c : d.
• Крайние члены — a и d, средние — b и c.
• Основное свойство: произведение крайних равно произведению средних (a · d = b · c).
• С помощью этого свойства находят неизвестный член и проверяют пропорцию.