Рациональные числа

Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число (не равное нулю). К рациональным числам относятся все целые числа, обыкновенные дроби, а также положительные и отрицательные числа. Само слово происходит от слова «ratio» — отношение, ведь любая дробь это отношение двух чисел.

Какие числа рациональные

Множество рациональных чисел очень широкое. Разберём, что в него входит.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель уголком. Если знаменатель можно привести к 10, 100 или 1000, перевод выполняется ещё проще — домножением.

Разобранный пример

Переведём дробь 3/4 в десятичную двумя способами.

Способ 1 (деление):
3 : 4 = 0,75

Способ 2 (привести к знаменателю 100):
3/4 = (3 · 25)/(4 · 25) = 75/100 = 0,75
Ответ: 3/4 = 0,75

Когда дробь не переводится в конечную

Не каждую дробь можно записать конечной десятичной. Например, 1/3 = 0,333... — это бесконечная периодическая дробь, цифра 3 повторяется без конца. Такие числа тоже рациональные: они являются отношением целых чисел, хоть и записываются с многоточием или чертой над повторяющейся частью (периодом).

Практическое правило. Конечную десятичную дробь получают только те обыкновенные дроби, у которых знаменатель после сокращения раскладывается на множители 2 и 5. Если в знаменателе есть другой простой множитель (3, 7, 11 и т. д.), дробь будет бесконечной периодической. Например, 7/40 переводится, а 5/6 — нет.

Сравнение рациональных чисел

Любые два рациональных числа можно сравнить. Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое лежит правее. Поэтому любое положительное число больше нуля, ноль больше любого отрицательного, а из двух отрицательных больше то, что ближе к нулю: −2 больше, чем −5, хотя по модулю пять больше двойки. Чтобы сравнить две дроби, их приводят к общему знаменателю или переводят в десятичные.

Например, сравним 3/5 и 0,7. Переведём дробь: 3/5 = 0,6. Так как 0,6 меньше 0,7, делаем вывод: 3/5 меньше 0,7.

Частые ошибки. 1) При делении уголком ставят запятую не на месте. 2) Считают, что 1/3 нельзя записать — можно, это 0,(3). 3) Забывают, что отрицательные числа тоже рациональные. 4) Думают, что −5 больше −2, ориентируясь на цифры без учёта знака.

Кратко о главном

• Рациональное число — это число вида m/n, где m целое, а n натуральное.
• К рациональным относятся целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, ноль и отрицательные числа.
• Чтобы перевести дробь в десятичную, делят числитель на знаменатель.
• Дробь даёт конечную десятичную, только если в знаменателе лишь множители 2 и 5.
• Бесконечные периодические дроби тоже рациональны.