Условие
Исследуйте взаимное расположение параболы y = x² и окружности радиуса R с центром в точке (0; R) в зависимости от R.
Разбор задания
Номер 870 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Окружность: x² + (y − R)² = R². Подставим x² = y: y + y² − 2Ry + R² = R², то есть y² + (1 − 2R)y = 0, откуда y = 0 или y = 2R − 1.
- y = 0 даёт точку (0; 0) при любом R: в ней обе кривые касаются оси Ox, то есть касаются друг друга.
- Если 2R − 1 > 0 (R > ½), то y = 2R − 1 даёт ещё две общие точки (±√(2R − 1); 2R − 1). Если R ≤ ½, второе значение y неположительно и не даёт точек параболы (при R = ½ корень совпадает с y = 0).
Ответ
При R ≤ ½ единственная общая точка — начало координат (окружность лежит внутри параболы и касается её в вершине); при R > ½ окружность касается параболы в точке (0; 0) и пересекает её в точках (±√(2R − 1); 2R − 1).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →