Условие
Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы y = k/x (k > 0).
Разбор задания
Номер 868 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Гипербола y = k/x — равнобочная: её асимптоты (оси координат) перпендикулярны, поэтому в канонических координатах a = b. Вершины — точки (√k; √k) и (−√k; −√k), лежащие на оси симметрии y = x, так что a = √(2k), c = √(a² + b²) = 2√k.
- Эксцентриситет e = c/a = 2√k/√(2k) = √2 (у всех равнобочных гипербол).
- Директрисы перпендикулярны действительной оси y = x и удалены от центра O на a/e = √(2k)/√2 = √k. Прямая x + y = d удалена от начала координат на |d|/√2, поэтому d = ±√(2k): директрисы x + y = √(2k) и x + y = −√(2k).
Ответ
e = √2; директрисы x + y = ±√(2k).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →