Координаты в пространстве
📏 Геометрия · 11 класс
Прямоугольная система координат в пространстве
Чтобы задавать положение точек не на плоскости, а в пространстве, к привычным осям Ox и Oy добавляют третью ось Oz, перпендикулярную первым двум. Получается прямоугольная (декартова) система координат с началом в точке O. Любая точка пространства задаётся тремя числами — координатами: A(x; y; z). Здесь x — это сдвиг вдоль оси Ox, y — вдоль Oy, z — вдоль Oz (вверх). Из жизни это похоже на адрес в многоэтажном доме: два числа задают положение на этаже, а третье — номер этажа.
Три оси разбивают пространство на восемь частей — октантов, подобно тому как две оси на плоскости делят её на четыре четверти. Координаты точки могут быть положительными или отрицательными в зависимости от того, в какую сторону от начала отложен сдвиг. Если точка лежит на оси Ox, то две другие координаты равны нулю; если в координатной плоскости Oxy, то нулю равна координата z.
Расстояние между точками
Расстояние между точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) вычисляется обобщённой теоремой Пифагора:
AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
Это просто формула с плоскости, к которой добавили третье слагаемое — разность по оси z. Координаты середины отрезка находятся как средние арифметические соответствующих координат концов: M((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2; (z₁+z₂)/2).
Векторы и угол между ними
Координаты вектора — это разности координат конца и начала. Длина вектора находится по той же формуле, что и расстояние. Угол между двумя прямыми (или векторами) удобно искать через скалярное произведение. Метод координат — мощный инструмент: многие сложные задачи стереометрии о расстояниях и углах сводятся к простым вычислениям, если удачно ввести систему координат. Обычно начало помещают в вершину фигуры, а оси направляют вдоль рёбер — тогда координаты ключевых точек находятся почти без вычислений.
| Величина | Формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Длина вектора a(x;y;z) | √(x² + y² + z²) | модуль (длину) |
| Скалярное произведение | x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ | связь длин и угла |
| Косинус угла | (a·b)/(|a|·|b|) | угол между векторами |
Пример решения
Даны точки A(1; 2; 2) и B(3; 4; 4). Найдём длину отрезка AB и координаты его середины.
1) Разности координат:
Δx = 3−1 = 2; Δy = 4−2 = 2; Δz = 4−2 = 2.
2) Длина отрезка:
AB = √(2² + 2² + 2²) = √(4+4+4) = √12 = 2√3 ≈ 3,46.
3) Середина M:
x = (1+3)/2 = 2; y = (2+4)/2 = 3; z = (2+4)/2 = 3.
Ответ: AB = 2√3, M(2; 3; 3).Частые ошибки. 1) Забывают возвести разности в квадрат или теряют квадратный корень. 2) Считают x₂−x₁, но в одном из слагаемых меняют порядок — итог не меняется только потому, что есть квадрат, но при вычислении вектора знак важен. 3) Для середины делят на 3 (как будто координат три), а делить надо на 2. 4) Путают длину вектора и скалярное произведение.
Кратко о главном
- Точка в пространстве задаётся тремя координатами A(x; y; z).
- Расстояние: AB = √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²) — Пифагор с тремя слагаемыми.
- Середина отрезка — среднее арифметическое координат концов (деление на 2).
- Длина вектора и расстояние считаются одинаково.
- Угол между векторами находят через скалярное произведение и косинус.