Объём призмы и параллелепипеда

Что такое объём призмы

Объём — это величина, показывающая, сколько пространства занимает тело; измеряется в кубических единицах. Призма — многогранник, у которого два равных основания лежат в параллельных плоскостях, а боковые грани являются параллелограммами. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма называется прямой, иначе — наклонной. У прямой призмы все боковые грани — прямоугольники.

Объём — одна из основных метрических характеристик пространственного тела. Для него выполняются естественные свойства: равные тела имеют равные объёмы, а если тело разбито на части, его объём равен сумме объёмов частей. Из этих свойств и выводятся все формулы стереометрии.

Для любой призмы объём вычисляется по единому правилу: произведение площади основания на высоту. Это правило не зависит от формы основания и от того, прямая призма или наклонная.

Объём призмы: V = S · h, где S — площадь основания, h — высота (расстояние между плоскостями оснований).

Параллелепипед и куб

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм; у него шесть граней, и все они параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед имеет в основании прямоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому все его грани — прямоугольники. Три ребра, выходящие из одной вершины, называют измерениями; их обычно обозначают a, b, c. Объём равен произведению трёх измерений: V = a · b · c. Для куба все рёбра равны, поэтому V = a³.

Полезно помнить и о диагонали прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений, d² = a² + b² + c². Эта формула часто нужна, чтобы по диагонали восстановить одно из рёбер.

Прямая и наклонная призма

У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром, поэтому удобно писать V = S · l, где l — длина бокового ребра. У наклонной призмы боковое ребро наклонено к основанию, поэтому высота меньше ребра: её надо опустить как перпендикуляр между плоскостями оснований. Если боковое ребро l образует с плоскостью основания угол α, то высота находится как h = l · sin α.

Разобранный пример

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы 10. Найдём сначала площадь основания, а затем объём.

S = (1/2) · 6 · 8 = 24

V = S · h = 24 · 10 = 240

Если бы та же призма была наклонной с боковым ребром 10 под углом 30° к основанию, высота равнялась бы 10 · sin 30° = 5, и объём составил бы 24 · 5 = 120 — вдвое меньше.

Частые ошибки. Путают высоту наклонной призмы с боковым ребром; забывают, что площадь основания нужна именно того многоугольника, который лежит в основании, а не боковой грани; теряют коэффициент 1/2 для треугольного основания; при подсчёте площади правильного многоугольника берут неверную формулу.

Кратко о главном

• Объём любой призмы: V = S · h.
• Для прямой призмы высота равна боковому ребру.
• Прямоугольный параллелепипед: V = a · b · c, куб: V = a³.
• У наклонной призмы высота — перпендикуляр между основаниями, она короче бокового ребра.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c².