Уравнение плоскости
📏 Геометрия · 11 класс
Общее уравнение плоскости
Подобно тому как прямую на плоскости задаёт уравнение, плоскость в пространстве задаётся общим уравнением:
Ax + By + Cz + D = 0
Точка M(x; y; z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда её координаты обращают это уравнение в верное равенство. Коэффициенты A, B, C не случайны — они образуют важнейший объект, нормальный вектор.
Нормальный вектор
Нормальным вектором плоскости называют вектор, перпендикулярный этой плоскости. Его координаты — это в точности коэффициенты уравнения: n(A; B; C). Это очень удобно: глядя на уравнение, мы сразу знаем направление, в котором плоскость «смотрит». Если две плоскости параллельны, их нормальные векторы коллинеарны; если перпендикулярны — скалярное произведение нормалей равно нулю.
Как составить уравнение плоскости
Чаще всего плоскость задают точкой M₀(x₀; y₀; z₀), через которую она проходит, и нормальным вектором n(A; B; C). Тогда уравнение записывают сразу: A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0. Раскрыв скобки, получают общий вид с D = −(Ax₀ + By₀ + Cz₀). Если же даны три точки, не лежащие на одной прямой, нормаль находят как векторное произведение двух векторов плоскости либо подставляют координаты точек в общее уравнение и решают систему.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
В числителе — модуль (расстояние не бывает отрицательным), в знаменателе — длина нормального вектора.
| Объект | Запись | Смысл |
|---|---|---|
| Уравнение плоскости | Ax + By + Cz + D = 0 | условие принадлежности точки |
| Нормальный вектор | n(A; B; C) | перпендикуляр к плоскости |
| Расстояние | |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / |n| | длина перпендикуляра от точки |
Пример решения
Найдём расстояние от точки M(1; 2; 3) до плоскости 2x − y + 2z − 4 = 0.
1) Выписываем коэффициенты: A=2, B=−1, C=2, D=−4.
2) Подставляем координаты точки в числитель:
2·1 + (−1)·2 + 2·3 − 4 = 2 − 2 + 6 − 4 = 2.
3) Длина нормали:
√(2² + (−1)² + 2²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
4) Расстояние:
d = |2| / 3 = 2/3 ≈ 0,67.
Ответ: d = 2/3.Частые ошибки. 1) Забывают модуль в числителе и получают отрицательное расстояние. 2) В знаменателе берут A+B+C вместо √(A²+B²+C²). 3) Теряют свободный член D при подстановке. 4) Путают знаки коэффициентов, особенно при отрицательном B.
Кратко о главном
- Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
- Коэффициенты A, B, C — это координаты нормального вектора n(A; B; C).
- Параллельность плоскостей — коллинеарность нормалей; перпендикулярность — нулевое скалярное произведение нормалей.
- Расстояние: d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²).
- В числителе обязателен модуль, в знаменателе — длина нормали.