Условие
Парабола задана уравнением y = ax² + bx + c. Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты её фокуса.
Разбор задания
Номер 869 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Выделим полный квадрат: y = a(x + b/(2a))² + (4ac − b²)/(4a). Вершина параболы: x₀ = −b/(2a), y₀ = (4ac − b²)/(4a), и уравнение принимает вид (x − x₀)² = (1/a)(y − y₀).
- Сравним с каноническим уравнением X² = 2pY: 2p = 1/a, p = 1/(2a). Фокус канонической параболы — точка (0; p/2), директриса Y = −p/2.
- Фокус: (x₀; y₀ + 1/(4a)) = (−b/(2a); (4ac − b² + 1)/(4a)). Директриса: y = y₀ − 1/(4a) = (4ac − b² − 1)/(4a). (При a < 0 ветви направлены вниз, формулы остаются верными.)
Ответ
Фокус (−b/(2a); (4ac − b² + 1)/(4a)); директриса y = (4ac − b² − 1)/(4a).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →