Правильные многогранники
📏 Геометрия · 11 класс
Что такое правильный многогранник
Правильным многогранником называют выпуклый многогранник, у которого все грани — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Удивительный факт: таких тел всего пять. Их называют Платоновыми телами, потому что древнегреческий философ Платон связывал их со стихиями. Почему именно пять? Потому что сумма углов при вершине выпуклого многогранника должна быть меньше 360°, и это жёстко ограничивает возможные комбинации.
Пять Платоновых тел
| Многогранник | Форма грани | Граней | Вершин | Рёбер |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | треугольник | 4 | 4 | 6 |
| Куб (гексаэдр) | квадрат | 6 | 8 | 12 |
| Октаэдр | треугольник | 8 | 6 | 12 |
| Додекаэдр | пятиугольник | 12 | 20 | 30 |
| Икосаэдр | треугольник | 20 | 12 | 30 |
Теорема Эйлера
Для любого выпуклого многогранника выполняется красивое соотношение между числом вершин В, рёбер Р и граней Г:
В − Р + Г = 2
Эта формула — отличный способ проверить себя. Заметьте также двойственность: у куба и октаэдра числа граней и вершин «меняются местами» (6 и 8), то же у додекаэдра и икосаэдра (12 и 20). Тетраэдр двойствен сам себе. Двойственность означает, что если в каждой грани одного тела отметить центр и соединить центры соседних граней, получится другое тело из этой пары.
Почему их ровно пять
В каждой вершине должно сходиться не меньше трёх граней, а сумма плоских углов при вершине обязана быть строго меньше 360°, иначе фигура «развернётся» в плоскость и не сомкнётся в объёмное тело. У правильного треугольника угол 60°: можно собрать вершину из трёх (тетраэдр), четырёх (октаэдр) или пяти (икосаэдр) треугольников, а шесть дают ровно 360° — уже плоскость. У квадрата угол 90°: подходят только три (куб). У правильного пятиугольника угол 108°: помещаются лишь три (додекаэдр). Шестиугольники с углом 120° по три уже дают 360°. Вот и весь перечень — ровно пять комбинаций.
Пример решения
Проверим формулу Эйлера для октаэдра и убедимся, что число рёбер указано верно.
1) У октаэдра: Г = 8 граней, В = 6 вершин.
2) По формуле Эйлера: В − Р + Г = 2.
3) Выразим Р: Р = В + Г − 2 = 6 + 8 − 2 = 12.
4) Сравниваем с таблицей: 12 рёбер — совпадает.
Ответ: формула выполняется, Р = 12.Частые ошибки. 1) Думают, что правильных многогранников бесконечно много — их ровно пять. 2) Путают название с числом граней: тетраэдр — 4 грани, а не 4 вершины как главный признак. 3) В формуле Эйлера ставят плюс вместо минуса перед Р. 4) Считают, что грани додекаэдра — шестиугольники; на самом деле пятиугольники.
Кратко о главном
- Правильных (Платоновых) многогранников ровно пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
- Все грани — равные правильные многоугольники, в каждой вершине сходится поровну рёбер.
- Формула Эйлера: В − Р + Г = 2 — выполняется для всех выпуклых многогранников.
- Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу.
- Грани бывают только трёх типов: треугольники, квадраты или пятиугольники.