Условие
Делится ли число 111...1 на 81? Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1. Пусть два последовательных натуральных числа будут равны n и n+1. Тогда, (n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3•(n^2+n)+1. Если n – чётное, то значение выражения n^2+n чётное. Если n – нечётное, то значение выражения n^2+n тоже будет чётным, так как сумма двух нечётных чисел будет чётной. Так как значение выражения n^2+n делится на 2, то значение выражения 3•(n^2+n) кратно 6. Соответственно, (n+1)^3-n^3 при делении на 6 даёт остаток 1. Что и требовалос