Разложение на множители
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое разложение на множители
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения нескольких многочленов или одночленов. Это действие, обратное раскрытию скобок. Зачем оно нужно? Разложение помогает сокращать дроби, решать уравнения и упрощать громоздкие выражения. В 7 классе изучают три основных способа.
Способ 1. Вынесение общего множителя
Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его выносят за скобку. Чтобы найти общий множитель, берут наибольший общий делитель коэффициентов и каждую переменную в наименьшей встречающейся степени. Например, в 6x³ + 9x² общий множитель 3x², и получается 3x²(2x + 3).
Способ 2. Способ группировки
Когда общего множителя у всех членов нет, члены разбивают на группы так, чтобы в каждой группе он появился. Затем выносят множитель из каждой группы, и если в скобках получается одинаковое выражение, выносят и его.
Способ 3. Применение формул сокращённого умножения
Многие многочлены раскладываются по ФСУ. Особенно полезна разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b) и квадрат суммы или разности.
| Способ | Когда применять | Пример |
|---|---|---|
| Общий множитель | есть общий множитель у всех членов | 4a + 4b = 4(a + b) |
| Группировка | 4 и более членов | ax + ay + bx + by |
| Формулы (ФСУ) | видна разность квадратов или квадрат | x² − 9 = (x−3)(x+3) |
Пошаговый пример
Разложим на множители способом группировки ax + ay + bx + by.
Дано: ax + ay + bx + by
Шаг 1. Разбиваем на две группы:
(ax + ay) + (bx + by)
Шаг 2. В первой группе выносим a,
во второй — b:
a(x + y) + b(x + y)
Шаг 3. В скобках одинаковое (x + y).
Выносим его за скобку:
(x + y)(a + b)
Ответ: (x + y)(a + b).Комбинирование способов
В сложных выражениях способы часто соединяют. Сначала выносят общий множитель, а то, что осталось в скобке, раскладывают по формуле. Например, 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3): здесь сработали и вынесение множителя, и разность квадратов. Поэтому вынесение общего множителя всегда проверяют первым — оно может упростить дальнейшее разложение.
Практическое правило. Начинай всегда с вынесения общего множителя — это первый шаг для любого выражения. Только потом пробуй группировку или формулы. И всегда проверяй разложение: если перемножить полученные скобки, должен получиться исходный многочлен. Разложение считается завершённым, когда ни один множитель уже нельзя разложить дальше.
Кратко о главном
- Разложение на множители — превращение суммы в произведение.
- Первым делом ищут и выносят общий множитель.
- Группировка применяется, когда членов четыре или больше.
- Формулы сокращённого умножения раскладывают разность квадратов и квадраты.
- Проверка — перемножить скобки и сравнить с исходным выражением.