Алгебраические выражения
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение — это запись, в которой числа и буквы соединены знаками действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень) и скобками. Буквы в таком выражении называют переменными, потому что вместо них можно подставлять разные числовые значения. Алгебра как раз и началась с того, что человек заменил конкретное число буквой и научился работать сразу с целым множеством чисел.
Например, 3a + 5 — буквенное выражение: пока мы не знаем, чему равна переменная a, мы не знаем и значения всего выражения. А вот 3·4 + 5 — числовое выражение, его значение можно посчитать сразу: получится 17.
Числовые и буквенные выражения
Эти два вида выражений важно не путать. Разберём разницу в таблице.
| Признак | Числовое выражение | Буквенное выражение |
|---|---|---|
| Что содержит | Только числа и знаки действий | Числа, буквы и знаки действий |
| Пример | 12 : 4 − 1 | x² − 2x + 7 |
| Значение | Одно конкретное число | Зависит от значения переменной |
Допустимые значения переменной
Не всякое число можно подставить вместо буквы. Допустимыми называют те значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Главное ограничение в 7 классе — нельзя делить на ноль. Значит, если переменная стоит в знаменателе, то значения, обращающие знаменатель в ноль, недопустимы.
Множество всех допустимых значений называют областью допустимых значений (сокращённо ОДЗ).
Пошаговый пример
Найдём значение выражения и его область допустимых значений.
Дано: выражение 10 / (x − 3)
Шаг 1. Знаменатель не должен равняться нулю:
x − 3 ≠ 0
Шаг 2. Решаем: x ≠ 3.
Значит ОДЗ: любое число, кроме 3.
Шаг 3. Найдём значение при x = 5:
10 / (5 − 3) = 10 / 2 = 5
Ответ: значение равно 5; ОДЗ: x ≠ 3.Частые ошибки. 1) Забывают записать ограничение на знаменатель — выражение «10/(x−3)» при x = 3 не существует. 2) Путают порядок действий: сначала скобки и степени, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание. 3) Подставляя отрицательное число, теряют знак: при x = −2 выражение 3x даёт −6, а не 6.
Зачем нужны такие выражения
Буквенные выражения — это язык формул. Площадь прямоугольника S = a·b, путь s = v·t, периметр квадрата P = 4a — всё это алгебраические выражения. Подставив свои числа, вы за секунду получите нужный результат, не выводя формулу заново.
Кратко о главном
- Алгебраическое выражение соединяет числа и буквы знаками действий.
- Числовое выражение имеет одно значение, буквенное — зависит от переменной.
- Допустимые значения — те, при которых выражение имеет смысл; на ноль делить нельзя.
- Чтобы найти значение, подставляют число вместо буквы и соблюдают порядок действий.