Умножение многочленов
📐 Алгебра · 7 класс
Умножение многочленов
Умножение многочленов опирается на распределительный закон: чтобы умножить сумму на число или выражение, нужно умножить на него каждое слагаемое. В алгебре этот приём применяют и к одночленам, и к целым многочленам.
Умножение многочлена на одночлен
Чтобы умножить многочлен на одночлен, каждый член многочлена умножают на этот одночлен и результаты складывают. Например: 3x(2x − 5) = 3x·2x − 3x·5 = 6x² − 15x. Важно не потерять ни одного члена и аккуратно следить за знаками.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго и сложить все получившиеся произведения, затем привести подобные. Если в каждом многочлене по два члена, получится четыре произведения.
Правило FOIL для двучленов
Для умножения двух двучленов (a + b)(c + d) удобно правило FOIL. Это английское сокращение четырёх произведений, которые нужно сложить.
| Буква | Что умножаем | Для (a+b)(c+d) |
|---|---|---|
| F (первые) | первые члены | a · c |
| O (внешние) | крайние члены | a · d |
| I (внутренние) | средние члены | b · c |
| L (последние) | последние члены | b · d |
Пошаговый пример
Перемножим двучлены (x + 3)(x − 5).
Дано: (x + 3)(x − 5)
Шаг 1. F — первые: x · x = x²
Шаг 2. O — внешние: x · (−5) = −5x
Шаг 3. I — внутренние: 3 · x = 3x
Шаг 4. L — последние: 3 · (−5) = −15
Шаг 5. Складываем всё:
x² − 5x + 3x − 15
Шаг 6. Приводим подобные (−5x + 3x):
x² − 2x − 15
Ответ: x² − 2x − 15.Связь с формулами сокращённого умножения
Правило FOIL напрямую приводит к формулам сокращённого умножения. Перемножив (a + b)(a + b), получим a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² — это квадрат суммы. А (a − b)(a + b) даёт a² + ab − ab − b² = a² − b² — разность квадратов. Поэтому, освоив умножение многочленов, вы фактически выводите эти формулы сами и понимаете, откуда они берутся.
Степень произведения
Полезно заранее знать, какой степени получится результат: степень произведения двух многочленов равна сумме их степеней. Так, двучлен первой степени, умноженный на двучлен первой степени, даёт многочлен второй степени. Это помогает быстро проверить, не потерян ли старший член.
Частые ошибки. 1) Умножают только первые члены и только последние, забывая два средних произведения. 2) Ошибаются со знаками: минус на плюс даёт минус. 3) Забывают привести подобные средние члены в самом конце.
Кратко о главном
- Умножение многочленов основано на распределительном законе.
- Многочлен на одночлен: умножаем каждый член на одночлен.
- Многочлен на многочлен: каждый член первого на каждый член второго.
- FOIL — удобная схема для произведения двух двучленов.
- В конце обязательно приводят подобные члены.