Одночлены
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое одночлен
Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней. В одночлене нет знаков сложения и вычитания между частями — только умножение. Примеры одночленов: 5a, −3x²y, 7, a³. А вот выражение 2x + 3 одночленом не является, потому что в нём есть знак «плюс».
Коэффициент и стандартный вид
Коэффициентом одночлена называют его числовой множитель. Чтобы коэффициент было видно сразу, одночлен записывают в стандартном виде: сначала число, потом переменные в алфавитном порядке, каждая в своей степени. Например, одночлен 3·x·5·x·y в стандартном виде записывается как 15x²y, и его коэффициент равен 15.
Степень одночлена
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. У одночлена −4a³b² степень равна 3 + 2 = 5. У числа без переменных (например, 7) степень равна нулю.
| Одночлен | Коэффициент | Степень |
|---|---|---|
6x | 6 | 1 |
−2a²b | −2 | 3 |
x³y⁴ | 1 | 7 |
9 | 9 | 0 |
Умножение и деление одночленов
При умножении одночленов отдельно перемножают коэффициенты и отдельно — степени с одинаковыми основаниями (показатели складывают): aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При делении коэффициенты делят, а показатели степеней одинаковых букв вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Пошаговый пример
Перемножим одночлены 4x²y и −3xy³.
Дано: 4x²y · (−3xy³)
Шаг 1. Перемножаем коэффициенты:
4 · (−3) = −12
Шаг 2. Перемножаем степени x:
x² · x = x²⁺¹ = x³
Шаг 3. Перемножаем степени y:
y · y³ = y¹⁺³ = y⁴
Шаг 4. Собираем результат:
−12x³y⁴
Ответ: −12x³y⁴.Возведение одночлена в степень
Чтобы возвести одночлен в степень, в эту степень возводят его коэффициент и каждую переменную. При этом показатели перемножаются по правилу (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Например, (2a³)² = 2²·a³·² = 4a⁶. Здесь часто ошибаются, забывая возвести в квадрат именно коэффициент 2, и пишут 2a⁶ — это неверно.
Подобные одночлены
Два одночлена называют подобными, если они отличаются только числовым коэффициентом, а буквенная часть у них одинаковая. Например, 3x²y и −7x²y подобны. Подобные одночлены можно складывать: 3x²y − 7x²y = −4x²y. Это понадобится при работе с многочленами в следующих темах.
Частые ошибки. 1) При умножении степеней показатели складывают, а не умножают: x² · x³ = x⁵, а не x⁶. 2) Забывают про знак коэффициента: минус на минус даёт плюс. 3) При делении вычитают показатели в правильном порядке: из показателя делимого вычитают показатель делителя. 4) При возведении в степень не возводят коэффициент.Кратко о главном
- Одночлен — произведение чисел и степеней переменных, без сложения и вычитания.
- Коэффициент — числовой множитель в стандартном виде записи.
- Степень одночлена — сумма показателей всех его переменных.
- При умножении коэффициенты перемножают, показатели одинаковых букв складывают.
- При делении коэффициенты делят, показатели вычитают.